数形结合在初中数学课堂教学中的应用

王鑫

摘 要： 随着新课改的推进，数学思想方法方面的教学得到教师的重视。数学的思想方法是数学这门科学的精髓，可以让人通过它领会到数学的本质，并且从数学的角度思考和解决问题。而数形结合是一种数学思想，在数学知识和解题方式上，都有进一步深化。数形结合贯穿了初中数学的两条主线，即“数”和“形”。倘若教师在初中数学教学中贯穿数形结合的方法，引导学生形成数形结合的思考直觉，则有助于学生培养良好的数学思维和解题思路。本文从数形结合的教学策略、数形结合在数学问题解决中的应用及数形结合教学的启示三方面进行阐述。

关键词： 数形结合 初中数学 数学思想

“数形结合”作为数学思想方法的一种，可以使学生领悟数学这门科学的本质，并运用数学思想进行思考和问题解决。初中数学学习过程中，主要涉及的数学思想方法有数形结合、函数、归类等，而数形结合贯穿初中数学中的“数”与“形”两条主线。华罗庚曾经就数形结合说过这样一句话：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”可以得出，数形结合离不开“数”与“形”的相互转换。运用“数”的方法解决“形”的问题，可以使问题更直白，帮助缺乏空间想象能力的学生建立更直接的对问题的理解，找到更直白的解决办法。运用“形”的方法解决“数”的问题，可以将数量关系中较难用文字和数字理解到的关系转换得更直观，使学生更容易理解“数”中蕴含的关系。

一、数形结合的教学策略

随着新课改的要求，运用方法解决问题越来越受到教育工作者的重视。为满足这一需求，教师要挖掘教材中隐藏的思想方法，在平时教学活动中引导学生培养数学思想方法的意识。在实际教学活动中可以采用多种形式以调动学生的主观能动性，更好地建立学生对数形结合的印象。可以采用多媒体手段展示数形结合、在数学问题的解决过程中渗透数形结合、在反思过程中提炼数形结合。运用多媒体手段来展现数形结合，可以通过动态的变化验证问题解决的过程，培养学生的动态感。

例如，教师在进行“走进图形世界”这一章节的教学时，可以运用多媒体展示几何图形的展开图、正视图、俯视图和侧视图，等等。如图1所示，可以直观地演示六棱柱的侧面展开图。这样直观地进行六棱柱的展开和折叠的过程，有助于培养学生的空间能力。类似的，我们也可以利用多媒体，进行一系列立体图形的侧面展开图。可以让学生观察得出立体图形由哪些平面图形组合得到，这一过程如图2所示。总体来说，多媒体的数形展示，使数学知识的展示方式得到新的优化，让数与形相结合。

图1

图2

二、数形结合在数学问题解决中的应用

在恩格斯的定义里，数学是一门研究现实世界空间形式和数量关系的科学。换句话说，也就是一门研究“数”与“形”的科学。数形结合在数学的问题解决里的应用主要表现为“以数解形”和“以形解数”两种形式。“以数解形”，即利用“数”的精准表现表达“形”中蕴藏的数学关系。我们在“以数解形”中可以借助代数法、参数法、解析法等解决几何问题。例如，在进行几何问题解决时，有这样一道题。如图3所示，⊙O内切于△ABC，已知AB=9，AC=11，BC=13，试求过△ABC的各个顶点的切线长。

对此题进行分析，观察到过△ABC的三个顶点的切线是AD、AE、BD、BF、CE、CF，并且AD=AE，BD=BF，CE=CF。题目中给出的已知条件知道AB、AC和BC的长度，那么我们可以用方程组的思想，将其转化成三条边都是两条线段的和，用方程组进行求解。即：设AD=x，，BD=y，CF=z。已知⊙O内切于△ABC，切点分为为D、E、F，可得：

x+y=9x+z=11y+z=13

可以解得：x=5，y=4，z=9。

类似的，“以形解数”即利用“形”的直白解决较抽象的“数”的问题。我们可以利用图形的直白解决函数问题、方程和不等式问题、统计与概率问题、代数问题，等等。例如，在教师进行“一次函数”的教学活动中，可以利用数形结合的数学思想解决一次函数与坐标轴围成图形的面积问题。如题目：已知，直线y=kx+b（k不为0）经过点A（-2，0），并与y轴相交于点B，直线AB与坐标轴围成图形的面积是2，试求直线的解析式。分析这个题目，可以作一次函数的图像进行辅助解题，如图4所示。题目中已知函数与坐标轴围成的图形面积，即图中的三角形AOB的面积。此处应注意，因为题中没有给出直线与y轴交于正半轴还是负半轴，所以两种情况都应该考虑。依据三角形AOB的面积是2，可以得出S■=0.5·2·|b|=2，可解得b=±2。

三、数形结合教学的启示

数形结合这种数学的思想方法，在数学知识和数学教学中被深入渗透。数形结合的基础是数学知识，然后把空间和数量结合起来，运用数与形的互补解决各样的问题。通过对数形结合方法在初中数教中的教学研究，得到以下启示：首先，数学是美的，在教学中可以尽量向学生展示数学富有魅力的一面，从而使学生从情感的方向感受到数学在运用数形结合的方式解题时富有数与形的统一美和运用方法解题的简洁美，而不只是对于初中生而言较抽象的数字推理过程。其次，在运用数形结合的方式教学时，可以将数形结合上升为一种思想，在教学中反复地灌输，让学生形成数形结合解决问题的思维直觉。最后，要将数形结合建立在心理学的基础上。通过对问题解决的研究，得出在利用数形结合进行解决问题的过程中人的思维方式。

四、结语

数形结合的思想方法是以数学知识和数学问题的解决为基础的，而初中学生要对它有一段较客观的认识和较直接的思考反应还需要一个比较长的时间。除了对初中数学课本的学习，教师要对学生进行引导和指导。当然，也和学生自身的理解和吸收是分不开的。数学的思想方法对于学生的影响远远大于数学知识的积累。这就需要教育工作者在教学活动中参加强调和引导，从而使学生有基本的对数学思想方法的认识，有利于其之后的发展。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001.

[2]代钦.初等几何问题解次教学研究[M].两安：陕两师范人学出版社，2010.