运算律，为何只在加法和乘法中讨论？

钱红明 严育洪

“望”：病例观察

一位教师把“加法交换律”和“乘法交换律”、“加法结合律”和“乘法结合律”分别整合成一节课教学。

教学“加法交换律”之后，作为过渡，教师让学生猜想“在其他运算中是否也有交换律”。

在探究过程中，学生发现乘法有交换律，减法和除法不满足交换律。然而，有一位学生认为也有减法交换律和除法交换律，例如：18-2-3=18-3-2，18÷2÷3=18÷3÷2。

教师一看，傻了眼，不知如何解释，只好含糊地说道：“这是减法和除法的性质，与运算律无关。”

……

“问”：病历记录

笔者课后问执教教师：“你认为有减法交换律和除法交换律吗？”

执教教师答道：“书上说没有，只有加法性质和除法性质。”

“在‘18-2-3=18-3-2’和‘18÷2÷3=18÷3÷2’中，‘2’和‘3’不是交换位置了吗？”笔者笑着问道。

“是啊。我也搞不懂为何没有减法交换律和除法交换律？”执教教师一脸困惑。

笔者追问：“真的如你所说，运算性质与运算定律之间没有关系吗？”

执教教师缺乏自信地答道：“这个我也吃不准，总在想减法和除法的运算性质为啥不叫减法和除法的运算定律……”

……

“切”：病理诊治

运算定律与性质是计算教学中的一个特殊的学习内容，是四则运算的“等价变化”规律，一般在整数四则运算中探究相应的定律与性质，在小数、分数四则运算中进行推广。

在运算律单元中，教材编排顺序大都是“加法交换律→加法结合律→乘法交换律→乘法结合律→乘法分配律”，这是按照“运算”来安排的。上述课例中，教师按照“规律”来重组教材，好处是学生容易联想到“在其他运算中是否也有交换律”，有利于学生发散思维、类比思维、创新思维和整体思维的培养，也有利于过渡到乘法交换律的教学。也就是说，乘法定律可以让学生基于加法定律类比出来，同样，减法性质与除法性质的关系也可以通过类比得到。在教材重组中，加、减法的运算定律和性质的教学可看作“教学结构”阶段，乘、除法的运算定律和性质的教学就可看作“运用结构”阶段。

正因为重组教材之后的教学相对开放，有学生想到了减法交换律和除法交换律。根据前一篇文章所述，交换律只是指“两个元素参加运算”的情况，所以“a-b-c=a-c-b”依然属于加法交换律和结合律的推广，引入负数之后，它可以变式为“a-b-c=a+（-b）+（-c）= a+（-c）+（-b）=a-c-b”，同样，“a÷b÷c= a÷c÷b”依然属于乘法交换律和结合律的推广，引入分数之后，它可以变式为“a÷b÷c=a××= a××= a÷c÷b”。由此可见，上述课例中教师所说的“这是减法和除法的性质，与运算律无关”，前半句说对了，后半句说错了。

由此，我们还可以看出，基本运算律之所以不涉及减法和除法运算，一是因为在自然数集中，减法与除法运算不是封闭的，所以不能讨论关于它们的运算定律问题;二是因为在引入负数后，减法运算封闭了，从而把减法纳入了加法的范畴，同样在引入分数后，除法运算封闭了，从而把除法纳入了乘法的范畴。也就是说，加法和乘法的运算定律已经涵盖了减法和除法，在理论上已具完备性，所以不用再对减法和除法的“运算律”单独讨论。这就是执教教师的困惑——“为何没有减法交换律和除法交换律”的理由。

此时，可能有人会问：“a-b-c =a-（b+c）”这一减法的运算性质和“a÷b÷c= a÷（b×c）”这一除法的运算性质也能与五个运算定律挂上关系吗？确实，它们都可以通过运算定律推导出来：

不仅运算性质与运算定律之间息息相通，而且运算性质之间同样息息相通，例如“a-b-c=a-c-b”这一减法性质亦可由“a-b-c= a-（b+c）”这一减法性质推导出来，同样，“a÷b÷c= a÷c÷b”这一除法性质亦可由“a÷b÷c=a÷（b×c）”这一除法性质推导出来。

由此可见，规律是基本的，而性质是规律的延伸和推广。减法或除法的运算性质在数的理论系统中，不是源，只是流，因此与基本运算律不可等量齐观。从数学史看，我们的祖先在给出运算的定义之后，最主要的基础工作就是研究该运算的性质。在运算的各种性质中，最基本的几条性质，通常称为“运算定律”。由此可知，运算定律是运算体系中具有普遍意义的规律，可作为推理的依据，如上述根据运算定律来证明运算的其他性质，根据运算定律和性质来证明运算法则的正确性等。这就是执教教师的困惑——“减法和除法的运算性质为啥不叫减法和除法的运算定律”的答案。

基本的运算定律涉及了加法运算和乘法运算，单一的加法运算和乘法运算中包含了交换律和结合律，而分配律是加法运算和乘法运算的混合运算。无疑，分配律一直以来是教学的难点。

在小学数学中，分配律是重要的算术运算性质，它联系了乘法和加法两种算术运算，沟通了这两种运算之间的关系。然而，分配律简单地说成乘法分配律，隐去了分配律中的加法运算，给学生“加法在分配律中的作用比乘法在分配律中的作用小”的错觉。在国外的数学书中，称分配律为“加法之上的分配律”或“关于加法的乘法分配律”或“乘法对加法的分配律”，国内有些数学著作也称分配律为“加乘分配律”，拓展到减法运算时再称为“减乘分配律”，这样的命名可能更利于学生理解。在此，我们就可以根据“乘法对加法的分配律”这一名称，抓住其中的“分配”两字，来帮助学生记忆和运用：先把a分配给b与c，并分别与b和c相乘得到两个积后再做和的过程。当然，也可以说成：先把“（b+c）”分成两部分，然后把b和c分别配给a相乘，最后合起来（如下图）。

对乘法分配律而言，它也可以推广到两个数的差跟一个数相乘：a×（b-c）= a×[b+（-c）]= a×b+ a×（-c）= a×b-a×c，有的书上也称乘法对于减法的分配性质。但是对于除法，没有“a÷（b±c）= a÷b±a÷c”这个分配性质，因为从意义上来说，除法是不可以分配的，除法是平均分，所以除法不可以。如果这样转化一下：a÷（b±c）= a×，a÷b±a÷c= a×±a×=a×（±），我们不难发现“”与“±”并非一回事。

到此，可能有人会说，“（a±b）÷c=a÷c±b÷c”这个不是除法分配律吗？其实，它的真身依然是乘法分配律：（a±b）÷c=（a±b）×=a×±b×= a÷b±a÷c。

最后，顺便一提的是，在数学运算中常常需要把分配律倒过来用，不能叫作“应用了乘法的分配律”，只能讲是“逆用了乘法分配律”。因为它不再是“分配”，而是“合成”。其“分配”过程可以用来解释多位数乘法计算法则，其“合成”过程则体现着化归思想，如“78×2.1+2.2×21”可以转化成“78×2.1+22×2.1”，进而转化成“（78+22）×2.1”，即“100×2.1”。

（江苏省无锡市硕放实验小学 214142

江苏省无锡市锡山教师进修学校 214191）