“数数”求源，叩问本质

王婵丹

运算律是运算固有的性质，在数系的扩展中，自然数的“基本运算律”始终保持有效;它又是学生理解算理的重要依据，也是渗透“猜想→验证→结论”这一数学研究方法的载体。可见，运算律在数学学习中具有重要的地位和作用。纵观历来的运算律教学，可能会在运算律的“有用性”上花较多的时间，但对于“什么是交换律”“交换律为什么存在”“背后的道理是什么”，很少去揭示。

因此，课前可以先思考两个问题：是纳入“简算”体验，还是深化运算律本质的理解？是只学加法、乘法交换律，还是需要去求证减法、除法交换律？如果侧重于“简便计算”教学，就会忽视对运算律教学的核心，即忽视对运算律本身的理解;如果只教学加法交换律，就无法顺应学生的思考过程。笔者对60位学生在只教学加法交换律后进行过测试，有93.3%的学生能联想到在其他运算中会不会也有交换律。因此，教学时需要站在加法交换律的基础上让学生经历类推的过程，在举例、证明、辩论等活动中真正理解乘法交换律，并否定除法交换律和减法交换律的存在。

一、交换律背后的道理是什么？

既然明确了交换律作为运算教学的第一课时，需要让学生清晰概念的核心。那么，交换律的本质到底是什么？

1. 数学上的证明

数学上，对于交换律通常是从“集合的概念”来解释的。设A和B是两个不具有公共元素的有限集合，他们的基数分别是a和b，把A和B的元素并在一起组成一个集合C，C叫作集合A和B的并集，记作A∪B=C，C的基数是c，叫作a、b的和，记作a+b=c [1]。显而易见，此证明方法抽象难懂，它超出了学生的认知水平，不合适向学生讲授。

2. 学生能理解的证明

自然数加法的意义的本源就是“集合的概念”，张奠宙教授曾在访谈中指出：“集合的概念”说白了，就是“数数”，可以用“数数”这样一种行为性的操作活动来形成自然数的概念。简单地说，有A、B两堆石子，先数A堆再数B堆，还是先数B堆再数A堆，结果都是一样的 [2]。可见，简单的“数数”活动，形象直观地阐述了“两个集合合并”的概念，是揭示交换律背后道理的有效数学活动。

其实，对于“数数”与“合并求和”的经验，学生是非常丰富的。人教版一年级上册教材就是用“接着数”理解加法含义的。二年级100以内、三年级万以内的加法教学都渗透着“两个自然数的加法与把两个有限集合并成一个集合这两种运算之间的联系”。可见，从学生已有的“加法、乘法意义”出发，借用“数数”，是一条小学生能理解的、合理的证明途径。

二、交换律学习素材该怎样选择？

既然学生已有丰富的“数数”经验，那么选择哪类素材展开“数数”活动，更利于学生感悟其背后的道理呢？

1. “点子”数数→“数线”数数，更显直观

在人教版二年级上册乘法口诀练习课中出现了两种不同的“数数”表征方式。通过“横着数、竖着数”与在“数线”上数数来熟练口诀。无论是“点子”数数还是“数线”数数，其实都是想通过“直观”方式，诠释“合并”的意义。但相比较“点子”数数，“数线”上的数数具有方向性，更能让学生体会到“合并的结果与两数的位置无关”这一本质。

2. “线段”模型→“数线”数数，更显本质

数学上，在定义有理数的加法时，用“拼接而成的线段的长度”进行解释。也就是说，如果给定有限条线段，把它们拼接而成的线段的长度与它们拼接的顺序无关。用学生熟知的“数线”模型对接“线段”模型，更能凸显交换律的本质。

三、交换律课堂教学该如何实践？

那么，如何借“数数”活动，架起“自然数的加法”与“集合的概念”联系，从而触及交换律背后的道理？笔者结合课堂实践从三条策略上进行阐述。

1. 多层“数数”，直观感知

【片段描述】

第一层：形成“数数”过程。

师：小袋鼠跳格子比赛，结果会怎样？你是怎样想的？

生1：聪聪先跳了2格，又跳了5格，是2+5=7格;明明先跳了5格，又跳了2格，是5+2=7格。它们都跳到了7的位置，所以它们的结果是一样的。

生2：2和5位置反了一下，答案是一样的。

第二层：丰富“数数”素材。

师：如果想知道一共有多少元钱，一共有多少根小棒，你能不能通过数一数与算一算，发现与刚才差不多的现象？

第三层：“列举”形成猜想。

师：通过“算”与“数”我们发现了“交换两个加数的位置，和不变”这一规律。那我们能不能说，交换所有加数的位置，和一定不变？为什么？

生1：万一数字很大呢，可能就不能确定了。

生2：我们不知道下一个加数会是什么样子的，所以不能下这个结论。

从三层“数数”中，学生的思维经历了“初步感悟、模仿應用、列举猜想”的过程。尤其到了第三层“数数”，学生的表征形式丰富多样，有图、有式，还涉及小数、分数加法领域的验证。可见，学生在经历多次“数数”的过程中，已经初步体会到了运算律的广泛适用性，这也是学生对运算本质理解的一个直观表现。

2. 对比“数数”，凸显本质

【片段描述】

师：通过举例验证我们知道了加法与乘法中有交换律。那为什么会有这样的现象呢？让我们再回到数轴上去“数一数”。

生1：加法与乘法的箭头都是朝一个方向的，最后都到了同一个地方。

生2：其实乘法是加法的一种。所以，乘法里也有交换律。

生3：在加法中，无论是2在前，还是4在前，反正都是把两个数合起来，跟2和4的位置没有关系。所以，位置交换了一下，结果是不会变的。

生4：我同意他的想法，加法与乘法都是把几个数合并起来，跟位置没有关系，所以加法与乘法中有交换律。

当学生发现只有在加法与乘法中有交换律后，需要再一次回到“数线”上去表征“运算中的交换关系”，再经历数数、观察、对比、发现、归纳等学习活动，去领悟“自然数加法概念”的含义，并尝试着去说明白其中的道理。经历这样的“对比”数数，学生已经架构起了“两个自然数的加法与把两个有限集合并成一个集合”这两种运算之间的联系。

3. 回顾“遇见”，深化理解

【片段描述】

第一层：回顾解释。

生：加法与乘法的验算，用到了交换律的知识。一年级学过根据“点子图”写加法算式，也有加法交换律。

第二层：拓展说理。

师：老师找到了几个新问题，你能在这儿发现交换律吗？

生1：可以先收38元，再收53元;也可以先收53元，再收28元。反正把这两部分的钱合起来，先收哪个部分都没有关系。

师：如果还想再买个排球呢？可以怎样收费呢？不是说交换两个加数的位置，和不变，现在交换三个加数的位置，和也不变吗？你是怎样想的？

生3：我认为，这和收“足球与篮球的钱”是一样的。只要是把这三个价钱合并起来，前后的位置、先后的顺序，都不会影响结果。

在课的最后环节安排回忆旧知，谈谈最初的遇见，这激活了这些数学化的“交换”体验，能让学生进一步了解交换律。当学生有了这层“亲切”的感知后，再呈现上学路线、黑白点子、超市购物的情境，让他们再“想想”交换律、再“用用”交换律、再“说说”交换律，在引导学生经历发现、观察、提炼蕴藏的交换律后，进一步深化学生对交换律的认知，进一步理解了交换律存在的价值。

参考文献：

[1]  余元希. 数的概念浅说[M]. 上海：上海教育出版社，1980.

[2]  张奠宙，戎松魁.正本清源，通过“数数”活动理解运算律——关于加法和乘法交换律的讨论[J]. 教学月刊小学版（数学），2015（6）.