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小学阶段如何处理“极限”?

2015-09-10张奠宙

教学月刊·小学数学 2015年9期
关键词:级数总和极限

张奠宙

小学数学教材里有一些内容涉及无限,一向多有争论。本文拟谈一些不同看法,就教于方家。

人教社2014版教材六上的“数学广角”栏目里有以下的题目:

计算:

接着是两句对话:

“从图上可以看出,这些分数不断加下去,总和就是1。”

“有些问题通过画图,解决起来更直观。”

结论是:

读了以上文字,说明小学数学里已经正面地提出无穷级数来了。教材能够说得清楚吗?值得关注。

一、这段教材容易引起混乱

这段教材内容涉及无限过程,但教材不作任何提示。现在的小学数学教材,多半“不作正面叙述,让学生依靠生活经验自己去发现”。这对一些浅显的概念建立,自然可行。但是对于已经具备初步逻辑思考能力的六年级学生来说,尤其是对涉及无限这样的超经验课题,就需要在逻辑上把事情说得更清楚些。由于学生没有关于“无穷”的基础知识储备,也没有关于“无限”的生活体验作支撑,学生对上述的几句话,只能去“猜”,以至产生一些思想混乱。

首先,“计算:…”的提法本身就有问题。无穷级数意味着是无限多项相加。这在小学数学里从来没有出现过。也就是说,“计算”二字,从来都是有限项的计算,无穷多项是不能相加的。然而,教材对此没有任何说明。学生于是只好“猜”,认为这是前有限项不断相加的过程:

这是一个无限的计算过程,没完没了、万世不竭。

接着,教材的对话说:“从图上可以看出,这些分数不断加下去,总和就是1。”

这个“总和“是什么意思?又是突然冒出来的。无穷项相加能不能加完?有没有“总和”?教材仍旧不加解释。教材编者的意思是,从图形来看,不断相加形成的无限数列,越来越接近于1,而且无限地接近1。这个数1,就是“无限项之和”。这意味着,无限项都已经加完。跨过了潜无限的鸿沟,完成了无限相加的过程。

最后,教材里又突然出现等式:

这一等式中,左边原本是一个无穷级数,右边是一个数字1。这两个不同性质的对象,怎么可以相等?教材编者的意图还是要求学生“猜”:等式左边所写的式子已经不是无穷级数本身了,而是指无穷级数的“和”。“和”是一个数,所以可以相等。

总之,这段教材,要学生先猜“什么是无穷级数”;二猜“什么是无穷级数之和”,三猜“无穷级数本身与它的‘和’是同一个表示式”。明明白白的数学,成了模糊的“谜语”,未免失当。

教材编者会争辩,我们只是看一个例子,用图形显示它有“和”是1。但是,小学生看到的只是“不断加”“不断接近于1”,并没有达到那个“总和”。这就是说,教材这样的写法,令人疑窦丛生。事实上,根据王永春的一次测验统计[1],能够依照编者意图给出此题答案的学生只占 31.33%,可见,教材内容未被学生充分理解。

二、关于无穷级数的阅读材料的建议

小学数学的基础内容不宜过多。无穷级数不是小学生所必须知道的事情。不过,不同的人学习不同的数学。为优秀学生写一段无穷级数的阅读材料,也是有必要的。小学数学要符合六年级小学生的认知水平,不可能正面讨论极限,只能大体描述,不求严格。但是对于无限过程,要尽量说清楚。

不妨设想,在数学广角栏目里,有一页的标题就是“无穷级数的和”。内容为:

我们把形如以此类推。

如果这一数列能够随着加项的增加无限地接近一个常数A,而且彼此的距离要多小就可以有多小,我们就说A是无穷级数的和。

例如:无穷级数

即此无穷级数之和是1。

并非无穷级数都有有限的“和”。如:

就不会以一个有限的数作为“和”。事实上,只要将它逐项与下列无穷级数进行对比,就可以看出,它的部分和数列会无限增大:

(注意:后一个无穷级数的每一项都小于前一个级数的相应项,但是括弧里的项加起来都是。无限多个加起来就会越加越大而无止境了。)

总之,在这段文字里,没有提“计算无穷级数”,也没有用“总和”的字样,避免误会,只把能说清的尽量说得清楚些,使人可以琢磨、理解。至于一时说不清的,如极限概念,也只好定性地描述,不去过多地涉及。

三、关于小学数学里有关无限过程的一些认识

小学数学里不可避免地要涉及无限过程。因为自然数是无限的,直线是可以无限延长的。不过,这两个无限都是没完没了的潜无限。小学生凭直觉可以想象,接受起来没有困难。至于极限是有限数的变化过程,小学数学有两处要涉及:一是“圆面积公式”的导出,二是分数表示为无限循环小数。

圆面积公式的导出,多采用刘徽的割圆法,但那只是定性地描述,直观地观察内接正多边形面积随边数增加无限逼近圆面积的过程,没有定量地进行计算。至于通过剪拼、转化为矩形面积,需要用直线段代替圆弧,只能依靠直观观察,无法定量地推导,因而谈不上有多少极限思想。

比较复杂的是无限循环小数。这不得不涉及定量的极限计算。尤其是对0.9999999… =1 ,存在着许多争议。我们认为,各种认识没有对错之分,也不是用“极限思想”就可以统一的,关键在于把 0.9999999… 看作怎样的对象。一般说来,有以下四种。

1. 0.9999999… 是一个没完没了的潜无限过程。

这种认识来源于自然数,一个比一个大,没完没了。然而1是一个数,过程怎么可以等于一个数?所以0.9999999…=1 是不成立的。许多人持这种观点,并不是错误。但是我们要向他们解释不能局限于此。

2. 0.9999999… 是一个循环无限小数。

这种认识把无限小数当作一个独立的对象。现在要问0.9999999…=1 是否成立,就要问什么是无限小数之间的相等。不妨把常数 1也看作一个无限小数 1.00000… ,然后依照无限小数相等的规则去看它们是否相等就好了。

3. 0.9999999… 是一个数列。

在数系扩充过程中,实数系的对象可以是无限小数,可以是戴德金分割,也可以是“基本列”,即满足柯西收敛准则的数列(基本列都是收敛的,有有限的极限值)。这时{0.9,0.99, 0.999,… }和{1,1,1,1,…} 都是基本列。那么,什么是两个基本列相等呢?就是它们的极限相等。因此0.9999999… = 1就转化为两个基本列的极限值是否相等的问题。其实,极限为1的数列多得很,它们彼此都是等价的。例如{0.9,0.99,0.999,… }={ 1.1,1.01,1.001,1.0001,…}它们都等于基本列{1,1,1,1,…}。这就是说,0.9999999… =1,是指两个基本列相等,它们的极限都是1。

4. 0.9999999… 是无穷级数。

这时0.9999999… 被看作无穷级数 ++ +… ,它的部分和数列是

Sn = 1- ,n=1,2,3,…. Sn 有极限1。

按照无穷级数理论,部分和如果有极限值A,就称A为无穷级数之“和”。这样一来,0.9999999… =1就是指0.9999999… 以1为它的和,等式两边都是一个数。

值得注意的是:无穷级数的“和”不过是其部分和数列存在极限的同义语,一个规定而已。和,依旧是在被不断地逼近,并没有说完成了无限多项相加的操作。

通过以上四种看法,我们有以下的结论:

首先,把0.9999999…看作一个过程,是很自然的事,并非错误。说0.9999999…在过程中一直小于1,也是对的。但是,我们不应局限于此,还可以有另外的看法,应该多角度地观察和思考。

其次,后三种看法,都会用到极限概念,但是处理方法并不相同。0.9999999…=1 的意义各有不同。所谓相等,各有各的含义。除了数值的相等之外,还可以有无限小数的相等,数列的相等。

最后,无穷级数的处理,结合图形表示,可以有“无限项之和”。由于只有0.9999999…看作无穷级数,才有“无穷项之和”的说法,给人以“可以达到无穷”的意象。看起来似乎跨越了无限的鸿沟,但究其实质,只不过是数列有极限的一种说法。并不是真的“加了无穷次”,得到了“无穷多项相加的结果”。也就是说,我们只是把部分和数列的极限值叫作“和”而已。有极限,不意味着能到达无穷,完成了无穷的操作。

总之,0.9999999… =1的各种说法都有其存在的意义,容许共存。不要只奉一种说法作为正确的典范,而否定其他的说法。

至于0.9999999… =1 的许多所谓论证,只是一些说明而已。例如

设x= 0.9999999…,10x = 0.9999999… ×10  = 9.999999…

由于 10x–x = 9, 所以 x=1。这些所谓证明都是经不起推敲的。因为什么是无限循环小数的相乘,还没有定义过,而那又是很复杂的事情。

参考文献:

[1]王永春,再论极限思想[J].小学教学(数学版),2015,(5):50.

(华东师范大学数学系   200241)

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