简析分类讨论思想在初中数学教学中的应用

陆建群

摘要：新课标指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。本文从分类讨论思想的概念和特点、引起分类讨论的原因、分类讨论的理论依据、解答分类讨论型问题的步骤以及分类讨论思想在数学教学中的应用举例等内容展开，比较系统、全面地介绍了分类讨论思想。

关键词：数学思想；分类讨论；初中数学；应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）11-0115

在数学教学中有效地渗透、培养数学思想方法，已逐渐成为数学课改的热点。所谓数学思想，是指人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。数学思想是数学的精髓。初中阶段常见的数学思想包括：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等。其中，分类讨论思想是初中数学中最常见、最重要的一种数学思想，它贯穿于整个初中数学，它有利于考查学生的综合数学基础知识和灵活运用能力。

一、分类讨论思想的概念

分类讨论思想是一种最基本的解决问题的思维策略，就是把要研究的数学对象按照标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究、求解的一种数学解题思想。它是问题不能以统一的同一种方法处理或同一形式来表述、概括时，根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，再按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将对象划分为若干个既有联系又有区别的部分，进行逐类讨论，最后把几类结论汇总，从而得出问题的答案。实质上，分类讨论是“化整为零，分而治之，各个击破，再积零为整”的策略。

二、引起分类讨论的原因

分类讨论思想贯穿于整个中学数学的全部内容中。初中阶段数学运用分类讨论思想解决的数学问题，其引起分类的原因主要可以归结为以下几个方面：1. 概念本身是分类定义的。如绝对值等。2. 问题中涉及的数学定理、公式或运算性质、法则是有条件或范围是限制的，或者是分类给出的。3. 含有字母系数（参数）的问题，有时需对该字母的不同取值范围进行讨论。4. 某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置，不确定的结论等都要进行分类讨论。

三、分类讨论的理论依据

逻辑划分原则是：一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级进行，不可以越级。

分类讨论首先是分类，没有正确的分类，就不可能有正确的讨论，而分类本身是一种逻辑上的划分。

划分是揭示概念外延的逻辑方法，逻辑划分原则是进行逻辑划分的依据，也是借以进行分类的标准。

因此，弄清划分的依据于规则是正确进行分类讨论的基础。

划分的规则：1. 划分后各个子项应当互不相容（不重）。2. 划分后各个子项必须穷尽母项（不漏）。3. 每次划分都应按同一标准。

划分规则举例：

规则1：划分后各个子项应当互不相容（不重）。从集合的角度看，划分后的子集两两交集均为空集。

例如：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们的关系如图所示：

如果把平行四边形分为矩形、菱形、正方形三类，这其中就有三处重叠（交集不空），不符合规则1。

规则2：划分后各个子项必须穷尽母项（不漏）。从集合的角度看，划分后所有的子集的并集应该等于是全集。

例如：自然数可以分为奇数和偶数两类。

如果把自然数分为素数与合数两类，就漏掉了自然数1，因为1既不是素数也不是合数。

从集合的角度看，划分后两个的子集的并不等于全集，因此，这样分类不符合规则2。

规则3：每次划分都应按同一标准。分类的标准直接影响到分类的结果，如果在一次分类中标准是变化的，那么这个分类就失去了意义。

例如：三角形可以如下分类：

如果把三角形分为等边三角形、等腰三角形和直角三角形，就没有按同一标准进行划分，不符合规则3。

四、解答分类讨论型问题的步骤

分类讨论型问题常与开放探究型问题综合在一起，不论是在分类中探究，还是在探究中分类，都需要具备扎实的基础知识和灵活的思维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。解答分类讨论型问题的关键是要有分类讨论的意识，克服想当然的错误习惯。

通常解答分类讨论型问题的一般步骤是：1. 确定分类对象。2. 对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准，进行合理分类。（需理清分类的界限，选择分类标准，并做到不重复，补遗漏）。3. 逐类进行讨论。（有时分类并不是一次完成，还须进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一）。4. 对各类讨论结果进行归纳，并加以整合、归纳出结论。运用分类讨论思想解决问题时要在确保正确的基础上尽量减少分类，使问题解决过程简洁化。

五、分类讨论思想在初中数学教学中的渗透与应用举例

初中数学教学中处处都渗透着分类讨论思想。运用分类讨论思想解题对学生的能力要求较高，除了在课堂教学中渗透、提炼外，还要有意识地增加平时运用这一思想方法的机会，得到强化。克服分类讨论中的盲目性和随意性，提高学生综合运用此种数学思想解题的能力。

课本内容中处处隐含分类思想方法的教学内容：有理数的分类、相反数、绝对值、有理数的大小比较、有理数的运算法则、平方根、立方根、分式的加减、一元二次方程的解、一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质、图形的分类、线的分类、面的分类、角的分类、三角形全等的性质及判定、等腰三角形边和角计算、勾股定理的应用、弦、弧的分类、与圆有关的位置关系、圆周角定理、相似三角形的对应关系、三角形外心的位置……

下面，笔者简单例举几类运用分类讨论思想来解答的题型。

1. 涉及的代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。

例1. |x|=3，|y|=1，且xy<0，则x+y的值等于（ ）

A. 4或-4 B. 4或-2 C. 4或2 D. 2或-2

分析：有xy<0得x、y异号，可以分两种情况讨论。

答案：D

2. 几何图形中的分类讨论则更多

例如，从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类讨论解决的问题。

例2. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是有一个角为30°的直角三角形。△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD。

（1）画出四边形ABCD；

（2）求四边形ABCD的面积。

分析：有一个角为30°的直角三角形ACD中我们可以把AC作为斜边、AC作为直角边二类情况来研究。如图1是以AC为斜边和等边三角形ABC拼成的四边形ABCD。AC为直角边又可分为两种不同情况如图2和图3。

从图3，S四边形ABCD= ；从图4（图4略），可算S四边形ABCD=

从图5（图5略），添辅助线，过B作BEDC交DC的延长线于E，可算得：

S四边形ABCD=3

又如：等腰三角形的分类讨论。等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论；给出的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。还有直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论，相似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类，动点问题的分类讨论……几何题型中，分类讨论无处不在。

3. 分类思想在实际问题中的应用

例3. 有一个钢筋三角架的三边分别是20cm、50cm、60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm、50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下的两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有 种。

分析：由题意及三角形三边关系知，长为30cm、50cm的两根钢筋中，30cm的钢筋必为欲做的钢筋三角架的一边，不妨设从50cm的钢筋上截下两段长为xcm、ycm，且x>y，应分三种情况讨论之：（1）若 = = 时，得x=90，y=75，显然x+y=165>50，不符合题意。

（2）若 = = 时，得x=36，y=12，因为x+y=48<50，这种截法符合题意。

（3）若 = = 时，得x=25，y=10，因为x+y=35<50，这种截法符合题意。

综上可知，可有两种不同的截法。

从以上的例题中不难看出，分类讨论思想在初中数学练习的应用中占有很重要的地位。它能让我们在解题过程中化繁就简、化难为易，使思维有序、有条理、全面而又缜密。

六、初中阶段分类思想方法教学过程的几点经验总结

1. 抓准时机，渗透分类的思想方法。（1）在概念的学习中，渗透分类的思想。（2）在法则的探究中，渗透分类的方法。（3）在图形的求解中，渗透分类的意识。

2. 启发诱导，揭示分类思想方法的本质。（1）根据问题的需要，进行分类。（2）分类要有明确的标准。

3. 深化提高，运用分类的思想方法研究问题。（1）根据字母的取值范围分类。（2）根据几何图形的位置关系分类。

我们在学习数学的同时要不断积累数学知识，形成知识网络，领悟其中蕴含在数学教学内容中的数学思想方法，以提高学生自身的数学解题能力。所以，在教学中要对分类讨论思想，有意识地加以渗透；对于蕴含在数学知识中的思想适时予以揭示，反复强化以优化学生的思维品质。分类讨论思想不仅能帮助学生有效地解决问题，同时还可以培养观察能力、全面思考问题的能力。相信会使学生对数学知识在认识层次上得到极大的提高，教师也能收到事半功倍的教学成效。

（作者单位：浙江省宁波市鄞州区高桥镇中学 315100）