建模思想：走向数学自觉的内设桥梁

高娟

【摘 要】为培养学生的创新能力，数学建模在初中数学教学中的重要性得到进一步体现。本文从数学建模的方法、数学建模的技巧及教师在适当情况下对学生进行数学建模思想的培养这三个方面探讨了初中数学教学建模的必要性。

【关键词】初中数学 数学建模思想 数学建模技巧 数学建模方法

数学模型是一种为了特殊目的而对现实世界所作的一个抽象化数学结构。建立数学模型的过程称为“数学建模”，其过程是用数学语言对实际问题的一种抽象。

一、数学建模有利于促进对问题的深入理解，发散学生的思维，提高学生解决问题的能力

1.纵向建模，促进对问题的深入理解。

数学题目中大多数刚开始很简单，但如果追加几个问就可能会觉得有些困难。其实这些题目大多有规律性，如果教师能及时地发现规律，并用一种固定的数学模型表示出来，不仅可以清晰地表达题目的意思，而且还可以帮助学生快速地解决问题，让学生有一种征服数学的成就感。

[案例一]教学“用火柴棒搭图形”

师：如图用火柴棒搭成的图形，搭1个三角形要3根火柴棒，搭2个三角形要5根火柴棒，搭3个三角形要7根火柴棒……问：搭10个三角形要几根火柴棒？搭100个呢？

生：搭10个要21根，搭100个要201根。

师：你是怎么算的？

生：可以假设，搭1个是1+2，搭2个为1+2×2，搭3个为1+2×3，…，那搭10个就是1+2×10，100个就是1+2×100。

师：那在这个过程中同学们发现三角形的个数与火柴棒的根数具有什么样的关系呢？你能用一个等式将它们的数量关系表示出来吗？

生：设火柴棒根数为y，三角形个数为n，则有y=2n+1。

学生建构出y=2n+1这个模型，无论搭几个三角形，只要将三角形的个数n的值代入上式中，便很快可以得出答案。这样既加快了学生的解题速度，又加深了学生对问题的理解。

2.横向建模，促进思维发散。

在平常的教学中，教师可以通过对某一问题的举一反三、不断追问将某一题型总结为一个数学模型，在建模过程中对学生进行思维训练，从而促进学生思维的发散。

[案例二]教学“用火柴棒搭图形”

师：接着“案例一”思考，如图，如果搭1个正方形需要火柴棒4根，搭2个正方形需要火柴棒7根，搭3个正方形需要火柴棒10根……搭10个，100个分别需要火柴棒多少根？

生：搭10个要31根，100个要301根。

师：你们用的什么方法？

生：仿照上一个例题，可以设火柴棒根数为y，正方形个数为n，于是得到y=3n+1。

师：很好，同学们已经学会了对于同类型题目的求解，这里只要建立数学模型，将具体数值往里代入即可。再请你们思考一下，搭三角形需要的火柴棒的根数与搭正方形所需要的火柴棒的根数这两个模型在形式上有什么区别和联系呢？

生：区别在于一个是搭三角形，一个是搭正方形，联系在于搭建方式一样，得到的模型一个是y=2n+1，另一个是y=3n+1。n表示个数，y表示火柴棒根数，n的系数决定不同的图形。

师：那如果按照此种方式搭正五边形呢？搭10个、100个正五边形分别需要多少根火柴棒？

生：设需要火柴棒的根数为y，个数为n，得到y=4n+1，则10个要41根，100个要401根。

师：很好，通过y=2n+1、y=3n+1、y=4n+1这三个等式的建立，同学们知道图形的边数与n的系数存在什么关系？

生：n的系数是图形的边数减1。

师：如果是m边形，同学们能用一个数学模型将它表示出来吗？

生：设火柴棒根数为y，多边形边数为m，搭建的个数为n，则有y=（m-1）n+1。

这样的建模过程不仅教会学生多向地思考问题，更能让学生进一步加深对此种题型的理解。

二、数学建模的技巧多样化，根据不同的数学问题，教师采用适当的方式进行建模

1.方程模型，恰当选择。

方程建模是初中数学教学中最常见的建模思想之一，方程是将我们生活中常见的等量关系转化为一个数学等式来表示。不同的数学问题，应用不同的方程模型。选用恰当的数学模型解决问题，让学生在愉快、轻松、简单的环境下学习，可以达到事半功倍的效果。

[案例三]教学“鸡兔同笼”问题

师：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只？

生：设鸡有x只，则兔有（35-x）只，由题意得2x+4（35-x）=94。

师：很好，还有其他模型吗？

生：设鸡有x只，兔有y只，由题意得2x+4y=94，x+y=35。

“鸡兔同笼”问题是一道老题，通过算式也可以找到答案，但方程模型更能直观地反映此道题目的意思，对于学过二元一次方程和一元一次方程的学生，他们更愿意用二元一次方程组去解决这个问题，此种模型思想简单，列式容易。

2.函数模型，符合实际。

数学实际生活问题常常用复杂的语言来进行表述，文字和数字越多，越会给学生造成一种混乱感。函数建模即是对日常生活中普遍存在的实际问题的归纳加工，运用函数的办法进行求解，可以将问题简单化。当然这种模型的建立必须要求学生要针对确实存在的模型才可以，初中阶段常见的函数模型有：（1）正比例函数模型y=kx（k≠0）；（2）反比例函数模型y=（k≠0）；（3）一次函数模型y=kx+b（k≠0）；（4）二次函数模型y=ax2+bx+c（a≠0）。运用这些基本的函数模型可以巧妙地解决数学教学中的一些难题，同时也避免了繁琐的文字描述。

[案例四]教学“环境保护”问题

师：某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解决该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷？

生：设沙漠面积增加数y与年份x之间的关系图象近似地为一次函数的图象，设y=kx+b。

将x=0.1y=0.2x=2y=0.4代入y=kx+b，解得k=0.2，b=0，即y=0.2x（x∈N）。

生：95+0.2×（2010-1995）=98（万公顷）。

首先建立起y=0.2x这个基本模型后，问题可以快速地解决。

3.图形模型，形象具体。

数形结合思想是初中数学学习中解决问题的一种有效方法，它用图形本身的特点给人一种视觉上的感知，让学生通过自己的视觉和听觉整体感知来消化知识，从而达到对所学知识的完整性和实质性的认识。

[案例五]教学“多项式乘以多项式”

师：请计算下图的面积，你有哪些不同的方法？并把你的算法与同学交流。

生：（1）a（c+d）+b（c+d） （2）ac+ad+bc+bd

（3）c（a+b）+d（a+b） （4）（a+b）（c+d）

师：我们知道以上4个代数式的值是一样的，同学们可以得到什么样的数量关系呢？

生：（a+b）（c+d）=a（c+d）+b（c+d）=c（a+b）+d（a+b）=ac+ad+bc+bd。

师：于是我们选出（a+b）（c+d）=a（c+d）+b（c+d）。

请学生观察其中的规律。

通过图形的解释让学生更加容易接受多项式乘以多项式的法则，理解起来更形象，让学生在图形中体验数学的知识，同时也教会了学生可以借助图形来分析问题。

三、数学建模是教师必备的一种技能，也是检验教师基本功的最好手段

在新课改的形势下，对教师专业素养的要求越来越高。在教学过程中，面对着不同的教学内容和不同的课型，我们要能够采取不同的方式进行教学才能适应新课改，从而让学生的学习更加轻松，能够快乐地应对各种挑战。所以教师应抓住适当的时机向学生渗透建模思想，通过数学建模，让数学课堂变得直观、简单。

1.数学建模，概念教学更简洁。

数学概念较为抽象，通常使用一段长长的文字把某个新名词解释一下，而学生对于文字的记忆和理解较为困难。模型可以让学生的思维条理化，将较为抽象的形容性的文字语言变为较为直观的数学模型，让学生对概念有着直观的印象和深刻的理解，加深学生对概念的记忆。

[案例六]教学“反比例函数”

初中数学课本中函数的定义：在某一过程中有两个变量x，y，当x在某一个范围内取一个值时，y都有唯一的值和它对应，这时，我们说x是自变量，y是x的函数（或因变量），而反比例函数是建立在函数基础上加上自变量和因变量的乘积为一个定值。如果就这样跟学生解释，有绝大部分学生不能深刻理解反比例函数的意义。但如果用数学模型抽象出反比例函数的定义，例如：一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数叫反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。对于y=这种数学模型，能够既简洁又形象地将反比例函数中的数量关系表示出来，学生就更容易接受。

2.数学建模，解决实际问题更简单。

学习数学的目的就是将数学更好地应用于实际问题的解决中，应用题教学一直是初中数学教学中的一个难点。数学模型的建立不仅可以给教师的教学打开一扇方便之门，同时又能提升学生解决问题的能力，增强学生学习数学的信心和乐趣。

[案例七]教学“相遇类追及类”应用题

师：问（1）甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲跑5秒可以追上乙；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可以追上乙，问甲、乙的速度各为多少？

生：设甲的速度为x米每秒，乙的速度为y米每秒，由题意得5x-5y=104x-4y=2y，解得x=6y=4。

师：问（2）A、B两地相距490千米，甲、乙两车从两地出发，相向而行，若同时出发，则7小时相遇；若甲先开7小时乙再出发，结果乙出发2小时后两车相遇，求两车速度。

生：设甲的速度为x千米每小时，乙的速度为y千米每小时，由题意得7x+7y=4907x+2x+2y=490，解得x=50y=20。

对于像这样的应用题，学生可以借助数学模型进一步理解题意，让实际问题变得更简单。

现代教学要求教师不能死教书，学生不能死学习，将数学建模思想融入到数学课堂教学中，恰好能够做到让教师掌握好的思想方法，培养学生整体处理和创造性解决问题的能力，让学生在不知不觉中发现问题、提出问题、分析问题并解决问题，这是数学教学的最终目标。作为新时代的教师，我们一定要能够清醒地认识到数学课堂教学中建模思想的重要性，以及它给学生学习带来的方便性，让建模思想成为数学自觉内设的桥梁。

（作者单位：江苏省淮安工业园区实验学校）