再谈含参数不等式a—f（x）>g（x）恒成立的问题

游爱玲

摘 要：含参数不等式

>g（x）恒成立的问题是一个重要问题，近年有多位老师对此做了研究，本文对此问题再做进一步的研究，以期找到此类问题错误解法的真正原因.

关键词：参数；不等式；恒成立

蔡德华老师写的《含参数不等式

>g（x）恒成立问题的一个常见错误解法》（简称文[1]）指出了含参数的不等式a-f（x）>g（x）恒成立问题的一个常见错误解法，并给出了几种正确解法，但是并没有对这种错误解法进行深刻的剖析. 简绍煌老师写的《以题目错解反思含绝对值不等式的解法》（简称文[2]）试图从含绝对值不等式的解法上对此错误解法进行剖析，但是笔者认为文[2]对此错误解法的剖析也不够深刻，而且文[2]中个别说法也值得商榷.

[?] 含参数绝对值不等式的解法

文[2]认为湘教版教师用书里介绍的不等式解法不适合解含参数绝对值不等式，笔者认为值得商榷.

例1 解不等式ax+b

湘教版教师用书的解法：ax+b

若a=0且b

文[2]中用“讨论绝对值符号外的零点”方法得到的结果与用湘教版版教师用书解法得到的结果是等价的，只是用“讨论绝对值符号外的零点”方法得到的结果在分类上更详细一点，因此，用湘教版教师用书的解法解含参数绝对值不等式是没有问题的.

[?] 错误解法进一步剖析

例2 已知不等式a-2x>x-1，对x∈[0，2]恒成立，求a的取值范围.

错误解法：对x∈[0，2]，a-2x>x-1恒成立，

?对x∈[0，2]，a-2x>x-1或者a-2x<1-x恒成立，

?对x∈[0，2]，a>3x-1或者a<1+x恒成立，

?对x∈[0，2]，a>3x-1恒成立或者对x∈[0，2]，a<1+x恒成立，

?a>[3x-1]max=5或者a<[1+x]min=1.

这个解法中前2步等价变形是没有问题的，但是第3步是有问题的，原因是命题“任意x∈D，a>F（x）或者aF（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）或者aF（x）恒成立或者任意x∈D，a

设a>F（x）关于x的不等式解集为A，aF（x）或者aF（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）或者aF（x）或者a

结论1：若F（x），G（x）在区间D上连续，且x∈D，恒有F（x）≥G（x），则“任意x∈D，a>F（x）或者aF（x）恒成立或者任意x∈D，a

结论2：若F（x），G（x）在区间D上连续，且x∈D，恒有F（x）F（x）或者a

结论3：若F（x），G（x）在区间D上连续，且F（x）≥G（x）的解集为A，A∩D=A1，则“任意x∈D，a>F（x）或者aF（x）恒成立或者任意x∈A1，a

现对结论1加以说明，上文已经对“任意x∈D，a>F（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）或者aF（x）或者aF（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）或者a

设D=[m，n]，若x∈D，恒有F（x）≥G（x），即x∈D=[m，n]，恒有函数y=F（x）图象在函数y=G（x）图象的上方，“任意x∈D，a>F（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）”在D上的解集为D1=[m，t），关于x不等式“aF（x）或者aF（x）或者aF（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）或者a

对于结论2和结论3也可以结合图形加以说明，本文在此不予赘述.

[?] 讨论绝对值符号外的零点的真正本质

文[2]中认为含参数的不等式a-f（x）>g（x）恒成立问题的一个常见错误解法是没有对绝对值内或者绝对值外的零点进行讨论，通过剖析，可以发现没有对绝对值内或者绝对值外的零点进行讨论只是错误解法的表面现象，而本质的错误是逻辑上出现了错误. 文[2]通过例题说明解决这类问题需要对绝对值内或者绝对值外的零点进行讨论，但是并没有对这2种解法做出合理的解释.

利用上述3个结论能够解释对此类问题为什么要对绝对值外的零点进行讨论. 现对文[2]中例2解法1进行阐述.

文[2]中例2解法1（讨论绝对值符号外的零点）：

原不等化为x-1<0，

a∈R①

或x-1≥0，

a-2x>x-1或a-2x<-x-1. ②

由②得x≥1，

a>3x-1或a[3x-1]max=5或a<[x+1]min=2，由①②可得a的取值范围为（-∞，2）∪（5，+∞）.

对不等式①的处理，其实就是利用结论2，因为a-2x>x-1?a>3x-1或a

对不等式②的处理利用的是结论1，当x∈[1，2]，3x-1≥x+1，故“对于x∈[1，2]，a>3x-1或a3x-1恒成立或者对于x∈[1，2]，a

综述，对于x∈[0，2]，a-2x>x-1恒成立，a的取值范围为（-∞，2）∪（5，+∞）.

因此，讨论绝对值符号外的零点的本质是为了找到“a>3x-1或a

[?] 问题的拓展

例3 已知不等式3a-2x>x-2a-1，对x∈[-4，0]恒成立，求a的取值范围.

分析：本题若用绝对值外零点讨论的解法，分类繁杂，而且逻辑上容易出现混乱，但如果用湘教版介绍的含绝对值不等式解法先对不等式3a-2x>x-2a-1实施等价变形，结合上文的3个结论，问题就迎刃而解了.

解：对x∈[-4，0]，3a-2x>x-2a-1恒成立.

?对x∈[-4，0]，3a-2x>x-2a-1或者3a-2x<1-x+2a恒成立，

?对x∈[-4，0]，a>x-或者a<1+x恒成立，

当x∈（-3，0]，因为x-<1+x，则a∈R，

当x∈[-4，-3]，因为x-≥1+x，则有：

对x∈[-4，-3]，a>x-或者a<1+x恒成立，

?对x∈[-4，-3]，a>x-恒成立或者对x∈[-4，-3]，a<1+x恒成立.

故a>

x-max=-2或者a<[1+x]min=-3.

综述，a的取值范围（-∞，-3）∪（-2，+∞）.

点评：对于“任意的x∈D，

h1（a）-f（x）

>g（x）-h2（a）恒成立，求a的取值范围”这类问题，可以用以下方法解决：

任意的x∈D，h1（a）-f（x）>g（x）-h2（a）恒成立.

?任意的x∈D，h1（a）-f（x）>g（x）-h2（a）或者h1（a）-f（x）

?任意的x∈D，h1（a）+h2（a）>f（x）+g（x）或者h1（a）-h2（a）

令F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）-g（x），然后按照上文3个结论进行等价转化即可.

最后，请读者探究下面三组命题是否等价.

若F（x），G（x）在区间D上连续，“任意x∈D，F（x）F（x）恒成立且任意x∈D，a

若F（x），G（x）在区间D上连续，“存在x∈D，使得F（x）F（x）成立且存在x∈D，使得a

若F（x），G（x）在区间D上连续，“存在x∈D，使得aG（x）成立”与“存在x∈D，使得aG（x）成立”是否等价.