基于四个理解提高备课实效

李斯林

摘 要：教学是围绕学生展开活动的，教学要服务于学生的一切需求，因此教师要学会从学生的视角看问题，备课也不例外. 本文从“四个理解”出发：理解课标，准确定位课时学习目标；理解概念，准确把握内涵与外延；理解文本，准确建构知识发生发展的思维框架；理解主体，在元认知基点上引领学生主动探究，谈如何备课.

关键词：高中数学；备课；四个理解；实效

备课，是每一位教师课前必做的工作，是教师上好课的前提和保障.为了课堂教学更具针对性，笔者从“四个理解”的角度对备课进行了尝试，取得一定的成效. 下面以幂函数的备课为例，谈如何基于“四个理解”，提高备课实效性.

[?] 理解课标，准确定位课时学习目标

学习目标是教师课堂教学设计的主要依据，是学生学习活动时要达到的预期目标. 学习目标的制订要依据课程标准、教学内容，同时还要考虑学生的基础，摸清学情，符合学生的认知规律，并具有可操作性.

幂函数在《普通高中数学课程标准》（简称课标）中是这样描述的：“通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x、y=x2、y=x3、y=、y=x的图象，了解它们的变化情况.” 从中我们可以发现幂函数的学习，需要通过对实例的感受，逐步归纳出形式化的定义. 问题情境，可以选择生活中的实例，也可以选择数学内部的例子，让学生先从具体开始，归纳出一些共同的特征，再加以科学的抽象，逐步归纳出幂函数的定义，最后结合五个具体幂函数，通过动手操作，感受图象，观察、总结出幂函数的变化情况和一些性质.

由此幂函数的学习目标可以确定为：

（1）通过实例直接感知，了解幂函数的概念；会画五个具体幂函数的图象，了解它们的变化规律和性质.

（2）了解幂函数图象的变化规律和性质；会用幂函数的单调性比较大小，解决简单的实际问题.

（3）进一步体会蕴涵在探索过程中的数形结合、分类讨论、类比和归纳的思想方法；同时学会合作意识，提升小组共同探究能力.

[?] 理解概念，准确把握内涵与外延

1. 幂函数的形式化定义

必修1教材（苏教版）对幂函数的概念描述为：“一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.” 这个定义包括三个方面：函数的解析式、自变量是x、α是常数. 其中表达式左边是因变量，右边是系数为1的指数幂形式，底数是自变量，指数是常数. 在教学时，我们可以列举一些与幂函数形式上相似的函数，让学生自主辨认、阐述理由，同时要求学生尝试写出几个“类幂函数”，让其他学生进行辨认. 这样学生通过活动理解幂函数的本质，能做到熟练辨认幂函数.

2. 指数的取值范围

课标要求研究五种类型的幂函数，它们的指数分别是1、2、3、-1、. 然而教科书的练习题、习题中却出现了其他的指数类型，我们不难发现这些指数都是有理数，它们的图象和性质可以类比于这五种类型给出. 据此表明高中阶段研究的幂指数α为实数，且幂函数只研究α为有理数的比较简单的情形，同时要求学生学会通过类比的方法得到所有的幂指数为有理数的幂函数图象.

3. 幂函数的定义域

常见的函数往往对解析式中涉及的字母做出了严格的规定，比如指数函数y=ax，a>0且a≠1，它的定义域为R. 幂函数的定义中提及函数的自变量和指数，并未涉及幂函数的定义域. 事实上，幂函数要比其他函数复杂一些，根据上面的分析，幂指数为有理数，不妨设α=（p，q是互质的整数），当p，q取不同的整数值时，幂函数的定义域会发生相应的变化，也就是说幂函数的定义域与指数有很大的关联. 如幂函数y=x2的定义域为R，幂函数y=x的定义域为[0，+∞），幂函数y=x-1的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）. 我们要教会学生相应的处理办法，根据分数指数幂的有关知识去求出幂函数的定义域. 由此可以分析，幂函数定义域的复杂程度源自于指数，课标规定的五种幂指数类型的幂函数具有代表性，能很好地反映定义域的各种情况.

[?] 理解文本，准确建构知识发生发展的思维框架

1. 文本内容的组织形式

教材按照四个环节组织了幂函数的内容.

第一环节：通过某种商品的价格和需求的关系表，得到函数y=114.82x-0.38，它与y=x-0.38是相关联的，进而提出y=x-0.38是否是指数函数的疑问，引出了幂函数的概念；第二环节给出幂函数的形式化定义；第三环节通过相应的例题，巩固和加深对幂函数的理解；第四环节作出三个幂函数的图象，找出幂函数的共同性质. 其中一、二环节之间用问题“y=x-0.38是指数函数吗”相连，三、四环节之间则加上了一道思考题：“函数y=x3、y=x、y=x-2的单调性如何”.

这里的编写意图主要是让学生从实例中感受数学，并通过提出问题，思考、碰撞，改变原有的观念，接纳新的知识. 教师在这一环节还可加入一些数学中的实例，如：正方体的体积是边长的函数关系式，正比例函数、反比例函数、顶点在原点的二次函数. 接下来课本通过对几个常见的幂函数图象进行观察、分析、归纳，让学生总结出规律. 教师在让学生做“规定”动作的同时，要求理解五个具体的幂函数，由此及彼，归纳出不同类型的幂函数图象和性质. 教材编写的顺序是让学生在不断地体验数学、运用数学的过程中，加深对函数概念的理解和把握，进一步提高数学研究的能力，提升数学素养，同时也激发了学生不断学习的兴趣.

2. 文本蕴涵的数学思想方法

数学学习的关键在于有所感“悟”，在于发现隐藏在显性的数学知识背后的数学思想方法，教师要教学生学会反思、感悟，对蕴涵其中的数学思想方法进行提炼，加以理解、为己所用. 幂函数这一节从文本的字里行间、环节之间的留白、思考题的设置，都充分体现了编者在不断地引领学生探索蕴涵在知识背后的数学思想方法.

（1）类比思想

幂函数的教学安排在指数、对数函数之后，学生已经基本掌握了研究函数性质的一般步骤和方法. 这是学生在高中阶段学习的第三种函数模型，学生可以根据前面的活动经验对新函数加以研究. 因此教师可以设计活动让学生先回忆指、对数函数的研究方法和步骤，再让学生尝试用类比的方式对幂函数加以研究.

（2）数形结合思想

函数的大多数性质一般都是在观察图象时直接获得，幂函数也不例外. 教师引导学生先在坐标系中作出一个幂函数的图象，小组内的不同学生可以选择不同的幂函数进行研究，观察该图 象的形状和位置，判断函数的变化规律.接下来小组内合作交流，将不同类型的幂函数放入到同一直角坐标系中，总结出五种情形的幂函数图象的共同特征. 最后教师可以用几何画板等数学软件直接作图，和学生们一起验证观察总结出的结论. 这样学生亲历幂函数的作图过程，体会到图象的变化规律，直接感知幂函数图象，从形到数、又由数到形，逐步加深了对幂函数的理解和认识.

（3）归纳思想

在教学时，通过五种不同类型的幂函数图象，研究一般的有理数指数的幂函数. 教师可以引导学生通过观察归纳出五个具体的幂函数的共性. 比如在第一象限，所有的幂函数图象均过定点（1，1）；指数大于0的幂函数都是增函数，且过点（0，0）；y=x-1与其余四个共过定点（1，1），单调性也不相同. 并由此总结归纳出所有的不同类型的幂函数图象性质.

（4）分类讨论思想

幂函数指数的不同取值给其带来了许多变化，也导致其图象的多样化，但变化之中总蕴涵着不变的规律. 教师可以引导学生通过观察，对不同的指数合理分类，寻找分类标准，比如按照指数α与1、0的大小关系来分，共分为五类，先研究第一象限内全部的幂函数共有的性质，再根据奇偶性、对称性研究函数的整体性质.

[?] 理解主体，在元认知基点上引领学生主动探究

1. 确定认知基点

先前学习的知识和活动经验会对后续学习产生影响，因此教师在教学活动之前必须摸准学生的基础. 学生在幂函数学习之前，不是白纸一张. 他们学习过分数指数幂，会熟练运用指数的运算法则. 他们对函数的研究方法、一般步骤也有一定的认识.比如他们已经学习了函数的两种不同定义，又系统地学习了一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、指数函数、对数函数. 这些知识和他们在活动中积累的经验都可以看做是幂函数学习的基础.

2. 基于主体需要

人的一切活动始于需要，学习需要直接推动着学生积极参与学习. 教师通过设置活动情境，激起学生的认知冲突，引导学生分析幂函数与其他函数的异同点. 学生在活动中进行思维碰撞，从发现问题到解决问题，满足了学生发展的需要，极大地激发了学习数学的兴趣.另外幂函数从外在的简洁形式、曲线之美，到本身知识所蕴涵的内在魅力，吸引了学生求知的眼球，学生在探究过程中又会不断产生新的需要. 上述需要让学生产生了要学习幂函数的紧迫感，促使他们对幂函数知识进行全面系统的学习，完善了认知结构，提升了数学素养.

3. 引领认知体验

教师设计活动的初衷不是任务驱动，而是引领学生进行认知体验. 学生主动参与教师精心设计的活动，经历了观察、操作、交流、辨析、否定、论证等过程，对幂函数做出了自己的解释. 教师在学生活动时，适时地给予鼓励，在关键节点给予点拨，使其思维趋于理性化.课堂活动的组织改变了学生以往被动的学习方式，把学生从听讲中完全解放出来，成为课堂的主体，让学生发挥自己的想象，充分参与活动，体验知识的产生过程，及时总结活动经验，感悟数学知识.

综上所述，教学是围绕学生展开活动的，教学要服务于学生的一切需求. 因此教师要学会从学生的视角看问题，备课也不例外. 教师在备课时要通过加强四个理解，准确把握教学，切实提高备课实效性. 这样，教师指导方向会更准确，学生活动会更有效，学习针对性会更强，学生对教学会更满意.