圆锥曲线中一个统一性质的简证与统证

韩兴国

摘 要：本文利用圆锥曲线的光学性质，对圆锥曲线一个统一性质给出简洁证明，并利圆锥曲线的统一定义，对性质给出统一的证明.

关键词：圆锥曲线；性质；简证；统证

《数学通讯》2012.9（下半月）刘立伟在《圆锥曲线中一组漂亮的统一性质》文中介绍了圆锥曲线中一个漂亮的统一性质，本文利用圆锥曲线的光学性质，给出该性质的简洁证明，同时给出性质的统一证明，与大家交流.

性质1 若抛物线y2=2px（p>0）上某点P的法线与x轴交于点G，过点G作焦半径PF的垂线l，垂足为L，则PL=p.

所以b2tanθ=a·PL·tanθ，即PL=.

性质3 若双曲线-=1（a>0，b>0）上某点P的法线与x轴交于点G，F1，F2是双曲线的两个焦点，过点G作焦半径PF1的垂线l，垂足为L，则PL=.

由以上三个性质得：

统一性质：若圆锥曲线E上某点P的法线与对称轴（抛物线指对称轴，椭圆指长轴，双曲线指实轴）交于点G，过点G作焦半径的垂线l，垂足为L，则PL的长度为圆锥曲线的正焦弦长的一半.

作为为圆锥曲线的统一性质，能否不就抛物线、椭圆、双曲线分别进行证明，而是由圆锥曲线统一定义，给出统一的证明？出于这样的思考，笔者进行了尝试，证明如下.

证明：设圆锥曲线E的焦点F到其相应的准线m的距离为p，离心率为e. 如图4，以F为坐标原点，过F与准线m垂直的直线为x轴，建立直角坐标系，且准线m过点H（-p，0）. 设M（x，y）为圆锥曲线E上动点，由圆锥曲线的定义有：=e，即E的方程为x2+y2=e2（x+p）2.

对方程两边关于x求导得：2x+2yy′=2e2（x+p），即y′=.

设点P（x0，y0），则=ex0+p，且点P处切线的斜率为，从而法线PG的斜率为，法线PG的方程为y-y0=（x-x0）. 令y=0，得x=e2（x0+p），即G（e2（x0+p），0）.

又kGL=-=-，所以GL的方程为：y=-[x-e2（x0+p）]，

即x0x+y0y-e2x0·（x0+p）=0，

从而PL===ep，

此正为圆锥曲线的正焦弦长的一半（对于抛物线ep=p，对于椭圆、双曲线ep=×=）.