高考数学中的恒成立问题的应用与探究

杨金全

摘要：高三数学中恒成立的学习一定要打牢基础，充分掌握好高三数学课中有关分支的知识点学习培养良好的解题技能。文章开头引言部分引出了所要写的话题，中间内容则写了高考数学中的恒成立问题的应用和解决高考数学中的恒成立问题对学生的要求，文章最后高考数学中的恒成立对学生的学习提出很高的要求。

关键词：高考 数学 恒成立

高考数学中的恒成立问题包含的内容有二次函数和一次函数、有关的函数图像和函数本身的性质，需要进行有关的换元，归类、题型和图像相结合、还包含由函数的思想方法，对提高学生的综合解题能力很有帮助，培养学生的创造性和思维的灵活性。高三数学的恒成立问题主要有以下的几种形式：三角函数、指数、一次函数、二次函数。恒成立问题涉及到的知识比如有将换元的思想引入到相关函数的图像和性质等。可以通过以下几种方法解决出现的恒成立问题。这些方法分别是：赋值型，一次函数型，二次函数型，变量分离型，数形结合型。面对高考数学中的恒成立问题的应用的出现，有必要进行相关的研究，为高考数学的复习工作提供相关的帮助。

一、高考数学中的恒成立问题的应用

（一）高考数学中的恒成立在基础题中的应用

在高三数学中有这样一个恒成立的问题：涵盖了一次函数的知识点和高三数学知识点。变量X和Y在一个变化过程中，每一个确定的x值，都有唯一确定的y值与x对应，那么我们就说y是x的函数，x是自变量。

也有这样一道题：“Amn表示高三数学恒成立问题，n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=Amn公式中表示从n开始由大到小连续m个自然数的连乘积”;“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的排列数，无限制条件的排。”

还有：若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自 然数n是（ ） （A）4005 （B）4006 （C）4007 （D）4008。

分不清充分条件和必要条件，分析如下：“‘有两个条件A和B，假设A=B正确，那么B是A的充分条件，A是B的必要条件，;‘假设B=A正确，那么B是A的必要条件，A是B的充分条件，;‘假设B=A，那么B和A互为充要条件”。

夯实基础是高三数学学习的第一关。高三数学恒成立的学习过程实际上就是对基本公式的运用，灵活使用概念原理，注意提高良好解题思路，提高分析和解决问题的能力，当具备了一定的知识能力之后，个人的解题细心度和坚强的毅力起着至关重要的作用。

（二）高考数学中的恒成立问题在综合题中的应用

高考数学中的恒成立在综合题中出现的概率也比较大，这就需要较高的解题技巧。高中数学中的恒成立问题，涉及的知识面广，综合性强。综合题往往涵盖了多个知识点，恒成立问题的解决需要多动脑筋，充分运用逻辑思维，解题要认真。如果哪个环节出了问题，整个解题结果就会功亏于溃。

我们来举个例子：f（x）是负无穷大和正无穷大上的定义域，0=f（1），0到正无穷大是增函数，奇函数f（x）;θ在0到π/2的区间，函数sin2θ+m·cosθ-2m等于g（θ）。如果集合M等于g（θ）小于0，集合N等于m，问M和N的交集。

复合函数f（x）中有N，不知道如何进行解决，无法求出M和N的交集。当束手无策时，查看题目，f（x）在0到正无穷大是增函数，奇函数f（x），所以在负无穷大到0区间f（x）也是增函数。根据f（1）等于0知f（-1）等于0，画图可知，当f（x）小于0时可得0小于1或者x小于1。

∴N=m=g（θ）<-1或0<1，

∴M∩N={g（θ）<-1。如m·cosθ-2m+1+sin2θ小于0，相关变换得到2m-2cos2θ-m.cosθ+大于0结果是恒成立的。

在这个双变量中不知道主元是谁，判断得知是m。学生们习惯按照传统的解题思路：使“cosθ=t，属于0到1的区间，可看成二次函数t”，即：“（t-m/2）2+2m-2-m2/4=Φ（t）=t2-mt+2m-2，属于0到1的区间。”这是常见到的最大值和最小值问题，有三种情况需要讨论，得到“m>4-2=M∩N”。

从m的角度进行思考就会想到用采用分离变量的方式：“t2-mt+2m-2大于0<=> m大于（2-t2）/（2-t）”，

使“‘（2-t2）/（2-t）等于h（t），那么‘t2+2/（t-2）+4≤4-2=>m>4-2”

“h（t）等于‘t2+2/（t-2）+4≤4-2=>m>4-2”。

该题包含的知识点有不等式、三角和函数。若换成解二次函数的话，有三个不等式组需要解决，运算过程繁杂，如果不细心，就会出错，分离变量法有较高的对代数恒等式的要求，抽象思维的想象较高，在这个过程中不容有一点差错，这样才能取得运算结果的准确性。本题涉及主要数学思想方法有：

1.借助不同方式实现有关问题的解决

将不等式转化为函数来解决：

闭区间不等式的恒成立往往在函数中多有出现，这是解题要注意的第一个方面;在求解m的范围时，m被看做了一个常数，变换到二次函数中包含有t的变量，华丽变身是解题的第二个步骤。

2.图形和函数相结合的方式

本题中有两次用到该方法，一处是由f（x）<0得x<1或0<1，从而得g（θ）<-1或0<1;另一处是是求二次函数Φ（t）在区间[0，1]的最值。

该题所用到的解题技巧有：

a.函数最值的恒成立问题：若m>f（x）恒成立，且M=f（x）max，则m>M。

b.分离变量法。

c.配方法。不要小看这种方法，特别留意含有二次函数的配方题型。

d.不等式向二次分式的转换实现恒等变形。

二、解决高考数学中的恒成立的问题对学生的要求

解题要想有清晰的思路，思想方法和技巧很重要，另外就是个人因素，这其中包括认真程度和良好的意志力，还有一点就是学习过程中形成的学习方法，个人因素往往因人而异。在做同一道题时，会出现不同的结果，有的学生能把题做出来，有的学生做不出来。学习方法的培养是一个人慢慢积累的过程，而学习意志的培养则是一个漫长的过程，这个过程的很大一部分因素取决于个人的价值取向和人生价值观。当学生看到比较困难的题时就会感到浑身不舒服，束手无策，满脑子一片空白，做题的意志力在不断下降。具有超强意志力的人会抓住题目不放，平静下心情，认真进行分析，寻求新的解题思路，即使结果不能令人满意，但是在部分解题过程中还是有点解题思路的。

参考文献：

[1]侯新兰.探析高考数学中恒成立问题的解题策略[J].考试：高考数学版，2009（Z4）.

[2]曹泽纪.高中数学中的恒成立问题[J].学问，2009（2）.

（责编 金 东）