运用运动变化思想优化解析几何中的运算

刁成章

摘 要：解析几何综合题的解法具有“好想的不好算，好算的不好想”的特点，运算量大，过程烦琐，易出错. 本文尝试通过具体实例，体现运动变化思想在寻求简便运算的方法、降低运算复杂性、提高运算准确率等方面的优越性.

关键词：运动变化思想；解析几何；运算；优化

常听学生说解析几何的解法“好想的不好算，好算的不好想”，很难完整地解对一道题，究其原因是解析几何综合试题的运算量大，过程烦琐，易出错. 然而解析几何综合题在全国各地的高考试题中都会出现，且是倒数第一、二题，其难度都比较大. 高考数学要想考出好成绩，必需迈过解析几何中的运算这道坎.本文尝试通过具体实例，体现运动变化思想在寻求简便运算的方法、降低运算复杂性、提高运算准确率等方面的优越性.

思想是一种意识，如果这种意识不断得到强化就会成为我们的一种习惯. 运动变化思想在解析几何解题中的应用即通过几何元素的运动变化，探索已知条件和结论之间的联系，从而找到解决问题的方法. 经过多年的经验总结，在几何元素的运动变化过程中，我们需要特别关注：（1）运动变化过程中的变量与不变量（或不变关系）；（2）运动变化过程中相对于条件和结论的特殊位置；（3）运动变化过程中所求结论的变化规律.

[?] 观察几何量在运动变化过程中对所求结论的决定作用，选择恰当的量作为自变量，降低运算难度

分析：在第（2）问中，当圆T的半径r增大时，点M，N在椭圆C上从左至右运动，在此运动变化过程中，（1）M，N关于x轴对称的关系不变；（2）运动变化过程中特殊位置有：①M，N无限靠近T，②⊥，③M，N到达右顶点；（3）·的变化规律：①点M的位置决定·的值，②点M从左至右运动时，·的值先减小且为负数，当到某一位置时最小，继而增大，当M，N到达右顶点时最大.

点评：在第（2）问中，因运动变化过程中发现点M的位置决定·的大小，所以选定点M的坐标（横坐标或纵坐标）作自变量，比选用圆T半径r作为自变量更易表示·，不仅简化了运算，而且结论中点M的位置符合·的取值变化规律，可以说运动变化思想还验证了运算的准确性.

[?] 观察运动变化过程中的不变关系，变变量为常量，降低运算复杂性

例2 如图2，已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN中点，直线l与l1相交于点P.

（1）求圆A的方程；

（2）·是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.

分析：在第（2）问中，直线l绕点B旋转，（1）运动变化过程中不变关系有：①Q为MN的中点，AQ⊥BP；②A，B点位置不变. （2）运动变化过程中的特殊位置有：①l

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2）.

点评：正是因为在直线l绕点B旋转过程中发现了AQ⊥BP这个不变关系，将所求结论·中两个变化的向量，，转化成·中只有一个变化的向量，减少变量个数，从而使运算得到简化.

[?] 观察运动变化过程中几何量的变化规律，变未知为已知

例3 在平面直角坐标系中，点P（x，y）为动点，已知点A（，0），B（-，0），直线PA与PB斜率之积为-.

（1）求动点P轨迹E的方程；

（2）过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴对称的点为Q（M，Q不重合），求证：直线MQ过定点.

分析：在第（2）问中，直线l绕点F旋转，在此过程中，（1）不变关系有：①l过点F，②Q，N关于x轴对称；（2）特殊位置有：l不与x轴垂直，也不与x轴重合；（3）由椭圆关于x轴对称，且点F在x轴上，可观察出直线MQ所过定点在x轴上.

解：（1）动点P轨迹E的方程为+y2=1（y≠0）（过程略）.

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则Q（x2，-y2），

设直线l：y=k（x-1）代入+y2=1（y≠0）得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，

从而x1+x2=，x1·x2=，

所以直线MQ的方程为y-y1=·（x-x1）①.

令y=0，可得x=x1+=x1+==2②，

所以直线MQ过定点（2，0）.

点评：由于在直线l绕点F旋转过程中观察出“直线MQ所过定点在x轴上”，才有在第①式中“令y=0”，左边从多项式变成单项式，简化了运算. 又因为定点在x轴上，①式中的x必为定值，才知将①式化为②式并将前面的结论代入得出x的值. 通过运动变化思想不仅将未知数y变成已知数0，还指明了运算方向，使运算变得快速而准确.

[?] 观察运动变化过程中所求量的变化规律，变求值为证明

例4 如图4，已知过坐标原点且互相垂直的直线l，l与椭圆L：+=1（a>b>0）相交于A，C，B，D四点，求四边形ABCD面积的最大值.

本题是2013年某地二诊文科最后一题，解法一是命题人所给标准答案，解法二是笔者所做答案.

解法二：

分析：根据椭圆对称性易得：四边形ABCD为菱形，让直线l1，l2绕原点旋转，其过程可看做点A从椭圆右顶点M沿椭圆第一象限的部分移动到椭圆上顶点N的过程，在此过程中（1）不变关系有：①四边形ABCD是菱形，②SABCD=4S△AOB=2

2）特殊位置有：①A在椭圆的右顶点M处，②A在第一象限角平分线与椭圆交点P处，③A在椭圆的上顶点N处；（3）△AOB面积的变化规律：点A从M移动到P时，△AOB面积递减，从P移动到N时，△AOB面积递增，且点M与N处△AOB面积相等.

综上，SABCD的最大值为2ab.

点评：解法一是值得商榷的，首先未讨论直线l1，l2斜率是否存在，存在时斜率k不能为0，所以③式中2ab·只能得到小于2ab；且在运算过程中，从①式到②式，为什么要提出2ab？②式为什么要化成③式？学生很难看懂，更难想到. 而解法二中，通过运动变化过程感知点A所在三种特殊位置，自然会想到l1，l2是否为坐标轴时四边形ABCD面积算法的不同，从而进行分类；发现△AOB面积的变化规律，知道l1，l2不是坐标轴时，SABCD会小于l，l是坐标轴时四边形ABCD的面积，从而将求②式的最值问题转化成证明<2ab，使得后面的每一步骤思维自然，运算方向明确，大大降低运算难度.

在解析几何教学的每一节课中渗透运动变化思想，让学生掌握运动变化过程中观察、分析相关几何量的方法，使运动变化思想成为解决解析几何问题的开路先锋，让解题思路和解题过程顺其自然，有效降低运算难度，提高运算准确性，增强学生信心，才能提高学习成绩，解析几何的学习才会变得轻松愉快.