方程的同解性和非同解性辨析

宋扬

摘 要：解方程的问题，就是要把已知方程通过变形转化为最简方程，但在变形过程中，有时可能为同解变形，有时可能为非同解变形，本文就方程的同解性和非同解性做重点探讨和理论研究.

关键词：同解变形；非同解变形；检验；同解理论

解方程是由已知探究未知的重要方法. 解决实际问题时列出方程后，求出方程的正确的解就成了首要问题. 在解方程的变形过程中，有时得到的最简方程与原方程的解集相同，有时得到的解集不同，这都需要方程的同解性和非同解性理论为其提供有力的依据.

[?] 方程的同解概念

1. 同解概念的引入

先看一个实例，解方程2x+5=3，第一步推导过程：若2x+5=3成立?2x=-2?x=-1；第二步推导过程：若x=-1成立?2x=-2?2x+5=3，明显可以看出，这里每一步推导都是可逆的. 对于“推导的每一步都可逆”这种可逆性（一种等价关系），称为同解.

2. 同解方程的定义

定义1 方程f（x）=g（x）（1）与方程f1（x）=g1（x）（2），若（1）的解是（2）的解，则方程（2）称为方程（1）的结果方程，简称结果.

例题中方程x=-1是方程2x+5=3的结果；方程2x+5=3是方程x=-1的结果，可以说方程2x+5=3与方程x=-1互为结果，这样的两个方程称为同解方程.

定义2 若方程（2）是方程（1）的结果，且方程（1）是方程（2）的结果，则方程（1）和（2）称为同解方程，简称同解.

由上述定义可知，原方程经过可逆变换得到最简方程，这样最简方程与原方程是同解的. 若是由原方程经过不可逆变换得到的最简方程，即若f（x）=g（x）?x=a，b，c，…，而不能倒推回去，那只能说后者是前者的结果，这时必须经过检验，将求出的数一个个加以检验，看是否为原方程的解.

到底哪些变换是可逆的？即经过哪些变换得到的方程与原方程是同解的？前面的例题给了我们一个启示：在方程的两边加上同一个数得到的方程与原方程是同解的；在方程的两边同乘以一个不为零的数得到的方程是和原方程同解的，等等. 下面我们将这些内容抽象出来作为定理，以后遇到这种变换就可以直接去解，以免每解一个方程都要去证明其可逆性.

[?] 方程的同解变形

为了叙述方便，先给出两个定义：

定义3 把一个解析式变换成另一个与它恒等的解析式（即原定义域不发生变化），称为第一类的恒等变形. 把一个解析式变成另一个与它条件恒等的解析式（即原定义域已发生变化，在两个解析式的公共定义域内恒等），称为第二类的恒等变形. 这两类变形统称为恒等变形.

定义4 把一个方程变换成与它同解的方程，称为方程的同解变形（即可逆变换）.

在解方程的过程中，有时需要在方程的一侧（或在方程的两侧）分别进行恒等变形，只要方程的定义域不发生变化，那么变形后所得新方程与原方程是同解的.

同解定理1 方程f（x）=g（x）（1）与方程h（x）=k（x）（2），其中f（x）≡g（x），g（x）≡k（x）. 如果方程（1）（2）有相同的定义域M，那么方程（1）与（2）同解 .

它的特殊情形是仅对方程的某一侧进行恒等变形（两方程的定义域要求相同）. 由于整式方程的定义域是全体实数，而经过去符号、合并同类项等恒等变形所得的新方程，其定义域没有发生变化，则得到的新方程与原方程是同解的.

同解定理2 方程f1（x）=f2（x）（1）与方程cf1（x）=cf2（x）（2）同解，其中c≠0.

这里的c≠0条件不可缺少. 因为c≠0，才可以将（2）的两边同乘1/c变成（1），从而变换是可逆的. 若c=0，则变换不是可逆变换，两个方程就不同解了，解分式方程和无理方程时，可能会遇见这种情况. 比同解定理2更一般的情况有如下定理.

同解定理2′ 方程f1（x）=f2（x）（1）与方程f1（x）h（x）=f2（x）h（x）（2）同解，其中h（x）对于方程（1）的定义域内的值都有意义，且h（x）≠0.

同解定理3 方程f（x）=g（x）（1）与方程f（x）+h（x）=g（x）+h（x）（2）同解，其中h（x）为一整式.

若所加的h（x）不是整式，就不能保证所得的方程与原方程同解了. 如：方程x+1=3的解是x=2，若方程的两侧同加一个分式x+1+=3+，显然x=2不可能是新方程的解，从而新方程与原方程不同解.

解整式方程时，常常用到的移项，其理论根据就是同解定理3. 解分式方程、无理方程和其他方程时，也时常将某一部分式子从方程的一边改变符号后移到另一边，其理论根据就是较同解定理3更一般的，将条件h（x）改为一解析式，且满足：方程（2）与方程（1）有相同的定义域.

同解定理4 方程f1（x）f2（x）=0（1）与方程f1（x）=0（2），方程f2（x）=0（3）同解，其中对于每一个方程的定义域中的任一个数，使得左端都有意义.

此定理不仅仅适用于解一元二次方程，一元二次方程是整式方程，定义域始终是一切实数，若定理中没有附加条件，则结论不成立. 较同解定理4更一般的，指一个方程与多个方程同解的情形，仍然成立.

同解定理5 如果方程（1）与（2）同解，方程（2）和（3）同解，那么方程（1）与（3）同解. 这一性质又称方程同解关系的传递性.

依据这些定理，我们先看一元一次方程的解法，中学课本总结了五个步骤：①去分母（根据定理2）；②去括号（根据定理1）；③移项（根据定理3）；④合并同类项（根据定理1）；⑤系数化为1（根据定理2），最后是根据同解定理5（用若干次），以上各步都有相应的同解原理作保证，则解方程的检验步骤就可以省略. 如果真要检验，其作用也只是验算计算是否正确. 关于方程的同解性问题，课本上采用等量公理→等式的基本性质→方程的基本性质→方程的同解原理进行叙述，明确同解原理是解方程的理论根据，为了便于学生接受，仅仅换了一种说法.

再看一元二次方程的解题方法（课本上介绍了四种）和各自的步骤，一元二次方程求根公式的推导，每步都有相应的同解定理作保证，直接开平方法、配方法和因式分解法更是如此，也就没有提出检验的必要，整式方程（含一元高次方程）都是如此.

然而，在解其他类型的方程，如分式方程、无理方程时，出现的情况往往不那么简单，未必步步都可逆，也就是出现了非同解变形.

[?] 方程的非同解变形

解方程的过程，就是指将方程进行一系列变形的过程. 如果所做的变形有同解定理作保证，那么此变形一定是同解变形（即可逆的）；如果所做的变形没有同解定理作保证，那么这种变形就是非同解变形（即不可逆的）. 在中学教学中，常用的非同解变形主要有以下几类：

1. 方程的两边分别自乘同次方. 由方程F1=F2（1）得到F=F（2）. 一般情况下，方程（1）与方程（2）不同解，但只可能引起客解，而不会出现失解. 客解是由方程F1=ωF2中来的，这里的ω是1的n次方根中任一个非1的根. 特别的，由F1=F2?F=F可能引进客解，这种客解就是方程F1=-F2的解.

如解方程=7-x，两边平方得到（）2=（7-x）2，即[+（7-x）]·[-（7-x）]=0，就相当于用原方程左边的共轭根式去乘方程的两端，而增根x=10恰恰就是使所乘式子等于零的值.

2. 方程两边取同次方根. 例如f（x）=g（x）?=，在实数域内，一般也不是同解变形. 因为对于后一方程要求未知数满足附加条件f（x）≥0，g（x）≥0；而原方程却不需要有这一条件.

3. 方程两边取倒数. 由方程=（1）转化为方程=（2），方程（1）与方程（2）一般不同解，原因是定义域有了改变. 这里方程（1）中x满足条件g1（x）≠0，g2（x）≠0，而方程（2）中x满足条件f1（x）≠0，f2（x）≠0，所以这种变形既可能丢失解，也可能引起客解.

4. 应用诱导比例. 应用合分比定理将方程=（1）转化为方程=（2）. 一般情况下，方程（1）与方程（2）也不同解，原因是定义域有了变化. 如解方程=，由合分比定理得，=，则x2-2x+1=0，x1=x2=1，在变形中失去了原方程的一个解x=0.

5. 根式化简. 例如·=φ（x）?=φ（x），因为前一方程要求x满足f（x）≥0，g（x）≥0，而后一方程要求x满足f（x）g（x）≥0，所以在一般情况下，这种变形也不是同解变形.如解方程·=，通过恒等变形，=，原方程的定义域是x∈[1，+∞）扩大为x∈（-∞，0]∪[1，+∞），而增根x=-1恰恰就在定义域扩大的那一部分里面.

类似地，lg[f（x）]2=φ（x）?2lgf（x）=φ（x）之类的变形，一般也不是同解变形.如lgx2=lg4，若推出2lgx=2lg2，得到x=2，就将x=-2这一个根丢了；若推出x2=4，得到x=±2，这就避免了丢根的情况.

方程定义域的变化可引起根的增减. 对于方程变形中所引进的客解，只要通过检验就能解决问题；但对于变形中失去的解，却不易找回. 所以在变形时要及时考虑变形是否会引起失解，如果发生要及时做补充处理予以避免.

当然，以上几种非同解变形只是常见的，不是详尽无遗的，具体可另文讨论.

[?] 相关理论在中学方程教学中的处理

根据循序渐进的教学原则，又根据学生知识面的局限性和可接受性，在中学阶段要阐述较多的同解性和非同解性理论是不符合实际的，课本上在具体处理上恰到好处. 有关同解理论的阐述，初中阶段可分为：整式方程阶段、分式和无理方程阶段；高中阶段也可分为：对数方程阶段、简单的三角方程阶段. 教师可根据方程教学的几个阶段逐步介绍一点，注重方法，而不必过分强调理论. 个人认为，教师本人则需要理论理解，实际操作上把握，就这部分内容的教材与教法做深入探讨，以便在教学中有理论保证.