代数学的符号化进程

赵丽丽

摘 要：循历史脚步探询代数学的发展过程，通过叙述代数符号从无到有、从杂乱无序到系统有序，进而使得代数学成为数学中的一个重要分支。由此可见，代数符号在代数学发展中所起到的重要作用。

关键词：代数学；代数符号；未知量

代数符号的引入和发展经历了漫长的历史过程的。现在的代数符号和现代数码一样，是经过世界各民族共同努力，经过几千年不断演变而逐渐形成的。尽管整个符号系统发展得如此缓慢，但无论是古代的希腊，还是东方的中国，人类都以其各自独有的文化，建树着一座座数学史上的丰碑。由于没有一套良好的符号系统，古代的欧洲和阿拉伯数学家，都为形如ax+b=0这样一个简单的一元一次方程困惑过。这似乎是不可思议的，因为在今天，这样的方程对于任何一个中学生都是不屑一顾的。然而古代数学家曾为此求助于一种较为烦琐的“试位法”。早在公元1世纪我国古代数学著作《九章算术》中，就曾使用过同样的方法，不过，书中用的是另一个名称，叫“盈不足”。由此可见，一个可靠而又简洁的符号系统对于数学的发展起着多么巨大的作用！大约始自15世纪末至17世纪中叶，代数学才真正进入符号代数时期。让我们遵循时代的脚步来探寻代数学符号的源头。

一、代数学符号的萌芽

1.古代巴比伦的代数记号

公元前4000年左右，生活在西亚的底格里斯河和幼发拉底河之间的地带（相当于现在的伊拉克一带），即“美索波达米亚”地区的人民相继创造了西亚上古时期的文明。那时候，已经有了象形文字，大约于公元前1900年形成了奴隶制的巴比伦王国。巴比伦人的代数方程是用语文叙述并用语文来解出的。他们常用“us”（长），“sag”（宽）和“asa”（面积）这些字来代表未知量，并不一定因为所求未知量确实是这些几何量，而可能是由于许多代数问题来自几何方面，因而用几何术语成了标准做法。且看如下例子是如何说明他们是怎样用这些术语表示未知量和陈述问题的：“我把长乘宽得面积10，我把长自乘得面积，我把长大于宽的量自乘，再把这个结果乘以9，这个面积等于长自乘所得的面积。问长和宽分别是多少？”很明显，这里的文字“长、宽和面积”，只不过是分别代表两个未知量及其乘积的方便说法。这个问题的现今写法就是

xy=10

9（x-y）2=x2。

值得一提的是，巴比伦人有时也用记号表示未知量，但这种记法只是偶尔用之。在有些问题里，他们用两个苏美尔文字表示两个互为倒数的未知数。又因为这两个文字在古苏美尔文里是用象形记号的，而这两个象形记号当时已不流行，所以结果就等于用两个特殊记号来表示未知量。

从出土的古巴比伦的泥板上的楔形文字中发现，巴比伦人用特殊的名称和记号来表示未知量，采用了少数几个运算记号，解出了含有一个或较多未知量的几种形式的方程，特别是解出了二次方程，甚至某些三次、四次（可化为二次的）和个别指数方程，并且能够把它们应用于天文学和商业等实际问题中去，这些都是代数的开端。

2.古代埃及的代数记号

埃及人创造了一套1到1000万的有趣的象形数字记号，有自然数和分数的算术四则运算，但分数的表示和运算方法繁杂。在古埃及有限的代数里实际上没有成套的记号，在埃及的草片文书中，加法和减法用一个人走近和走开（来和去）的腿形来表示，记号“г”用来表示平方根。除此之外，古埃及人把未知数称为‘堆（hau），它本来的意思是指数量是未知数的谷物的堆。在兰德纸草上有一个方程问题：“有一堆，它的 加它的 ，加它的 ，再加它全部共为33”，埃及人的写法非常的有趣：用现在的计算形式写出来就是：x+ x+ x+ x=33.纸草的作者用算术方法正确地解决了这个问题：x=14 。

3.古代希腊的代数记号

在希腊，一个对代数有着特殊贡献的人是必须提到的，他就是亚历山大时期的著名数学家丢番图。他的一部巨著《算术》也像某些埃及的草片纸本一样是个别问题的汇集。丢番图做出的一步重大的进展是在代数中采用一套符号。由于我们没有他的亲笔手稿而只看到很久以后的本子，所以不能确切地知道他引入了哪些符号。据说他用来表示未知量的记号是“s”，就像我们的“x”一样，这“s”可能同用在希腊字末尾的那个希腊字母σ是一样的，而丢番图之所以用它来表示未知量，可能就是因为用字母表示数的希腊记数制中只有这个字母没有被用来表示数。丢番图把未知量称作“题中的数”。我们的“x2”丢番图记为ΔY，而Δ是希腊字δνυαμιs的第一个字母。x3是KY；这里的K是从κνβο而来的。x4是ΔYΔ，

x5是ΔKY；x6是KYK。在这套符号里，KY没有清楚地表明是x的立方，而我们的x3则明白表出它是x的立方。丢番图的S=1/X，他又用一些名次称谓这些乘幂，例如称x为“数”，称x2为“平方”，称x3为“立方”，称x4为“平方平方”，称x5为“平方-立方”，称x6为“立方立方”。

出现这一套符号当然是了不起的，但他使用三次以上的高次乘幂更是件了不起的事。古典希腊数学家不能也不愿考虑含三个以上因子的乘积，因为这种乘积没有几何意义，但在纯算术中，这种乘积却确有其意义，而这正是丢番图所采取的观点。

丢番图写加法时把相加的各项并列在一起，把所有负项都写在正项之后。加法、乘法和除法的运算记号是没有的。符号用来表示相等。代数式的系数都是特定的数；他不用表示一般系数的符号，因他确实用了一套记号，所以后人把丢番图的代数称作缩写代数，而把埃及，巴比伦的代数称作文字叙述代数。

丢番图的解题步骤是像我们写散文那样一个字接着一个字写的。他做的运算是纯算术性的，不求助于几何直观来作具體说明。总的说来，丢番图发展了巴比伦的代数，采用了一整套符号，使得代数学发展到了一个新的阶段，这些都是非常了不起的。所以丢番图也被后人奉为代数学的鼻祖。

4.古代印度和阿拉伯的代数记号

在数学史上，希腊人的后继者是印度人。公元2～12世纪是印度数学的高潮时期，印度人大大推进算术和代数的进展。他们最先制定了现在世界通用的印度——阿拉伯数码。在代数上他们用缩写的文字和一些记号来描述运算。当有一个以上的未知量时，他们用颜色的名称来代表。例如，第一个叫未知量，其他的就叫黑的、蓝的、黄的等。每个字的头一个字母也被他们拿来作为记号。这套记号虽然不多，但足够使印度代数称得上是符号性的代数，并且符号肯定比丢番图的缩写代数用的多。

从9世纪开始，外国数学发展的中心转向了阿拉伯和中亚细亚地区。阿拉伯数学起着承前启后的作用。他们发展了代数，建立了解方程的方法，得到一元二次方程的求根公式。在此必须一提的是阿拉伯数学家花拉子米，他从印度回国后著《代数学》一书。他的第一个贡献是创建“代数”这门学科的名称。代数来自于阿拉伯文的“al-jabr”.阿拉伯文“jbr”的意义是“恢复”“还原”。解方程时将负项移到另一端，变成正项，也可以说是一种“还原”。书名后面的那个阿拉伯文“muqabala”原意为“对抗”“平衡”，用来指消去方程两端相同的项或合并同类项，也可译为“对消”。花拉子米称未知量为“东西”或（植物的）“根”，从而把解未知量叫做求根。可惜的是阿拉伯人没有采用成套的符号。他们的代数完全是用文字叙述的，比起印度人甚至比起丢番图都后退了一步。

5.古代中国的代数记号

中国古人很早就有了关于方程的知识，早在秦汉时期，天文历法有了较大的发展，为了编制历法，当时的中国数学家就已经知道了一些方程的解法。起初，人们还用“天、上……仙”九个字分别表示未知数的正幂，用“地、下……鬼”九个字表示负幂，用“人”表示常数项。以后经过简化，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》中使用了天元术，明确地用“天元”表示未知数一次项，“立天元一为某某”相当于现代数学中的“设x为某某”，用天、地表示方程的正次幂和负次幂，用“太”表示常数项。规定正幂在上、常数和负幂在下。根据问题设未知数，列出两个相等的多项式，进行多项式运算，最后列出有待求解的方程，并且建立了设立方程解决实际问题的方法。天元术已有现代列方程记法的雏形，难怪现代史家称它为“半符号代数”。在天元术中，一次项系数旁记一“元”字（或在常数项旁记一“太”字），“元”以上的系数表示各正次幂，“元”以下的系数表示常数和各负次幂（或“太”以上的系数表示各正次幂，“元”以下的系数表示各负次幂）。

约公元50年成书的《九章算术》，是中国流传至今最古老的一部数学专著。在这本书中就已经使用了“方程”这个名词，把天元术的原理应用于联立方程组，并且出现了解一元一次方程和一元二次方程等许多代数问题。由于中国古代使用算筹计算，利用算筹的位置表示未知数及其次数，只用算筹摆出其系数就可以求解，1247年南宋秦九韶引入了一元高次方程的一般解法，除了用位置表示未知数及其次数外，还用了一些专门术语。

把天元术的原理应用于联立方程组，先后产生了二元术、三元术和四元术。这是十三世纪中到十四世纪初我国宋元时期数学家又一辉煌成就。现有传本的朱世杰的《四元玉鉴》就是一部杰出的四元术著作。所谓四元术，就是用天、地、人、物四元表示四元高次方程组。列式的方法是：在常数右侧记一“太”字，天、地、人、物四元和它们的乘幂的系数分别列于“太”字的下、左、右、上，相邻两未知数和它们的乘幂的积的系数记入相应的两行相交的位置上，不相邻的几个未知数的积的系数记入相应的夹缝中。我们用x、y、z、u分别表示天、地、人、物四元。用“元”代表未知数的说法，也一直沿用到现在。

二、代数学符号的发展

在16世纪以前，自觉运用一套符号以使代数的思路和书写更加紧凑更加有效的人只有丢番图，但他基本上是简写或缩写。记号上的所有其他变动无非是标准文字的缩写，而且颇为随便。例如p代表plus（加），m代表minus（减），等等。尤其是用符号表示未知量及未知量的乘幂的进展更为缓慢。像radix（拉丁语“根”），res（拉丁语“东西”），cosa（意大利语“东西”），coss（德语“东西”）这类的词，都曾被用于作未知数，因此，在当时代数是以“cossic”术（意即求根术）之名出现的。15、16世纪不少欧洲数学家在改进符号方面做了许多贡献。现代用的等号“=”叫雷科德符号（Recordessign），是雷科德（R.Recorde）在1557年出版的一本书《硕智石》中第一次作为等号使用的。书中写道：“为了避免反复使用‘isequalto这个短语，我采用了一对等长的平行线段来表示，因为没有任何其他两样东西比一对等长的平行线段更显得相等了。”但其推广非常缓慢，后来的著名人物如开普勒、伽利略等人一直用文字或缩写语如aequab，aeqantar，ae，esgale等表示相等，笛卡儿在1637年还利用“=”表现代“±”号的意义，而用“∞”作等号。直到17世纪晚期，用“=”作等号才为人们所接受，并逐渐得到通用。

而代数名称与符号记法因人而异。卡丹在他的《重要的艺术》中把未知量称作“remignotam”（不知道的东西），他还用qdratuaeqtur4rebusp：32表示x2=4x+32。邦贝利（R.Bombelli，1526～1572）在他的《大术》一书中把x，x2和x3写成1，2和3。例如，1+3x+6x2+x3就成了1p.3p.6p.1。1585年，Stevin把这个式子写成1+3+6+1。Stevin还用分数指数表示平方根，表示立方根等等。

直到16世纪中，迅速发展的科学对数学家提出了引进符号体系的迫切要求。代数性质上最重大的变革是由法国数学家韦达（FrancoisVieta，1540～1603）在符号体系方面引入的。韦达是第一个有意识地使用字母的人。他在研读了Cardan，Bombelli，Stevin和Diophantus的著作后获得了使用字母的想法。他不僅用字母表示未知量和未知量的乘幂，而且用来表示一般的系数。通常他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。他把他的符号性代数称作logisticaspeciosa（类的筹算术），以别于logisticanumerosa

（数的筹算术）。1591年，他出版的《分析术引论》（InArtemAnalyticamIsagoge）是一部符号代数的最早著作，规定了算术和代数的分界线，建立“类”的概念，用一般的类取代特殊的数。通俗地说就是把形如求解方程x2+10x=39演变成求解方程x2+ax=b的初等代数。这种认识把代数看成关于字母的计算，即关于由字母构成的公式的变换以及关于代数方程的科学。代数就一下子成为研究一般类型的形式和方程的学问。正因为有了符号体系，代数才得以进一步发展。后来，数学家笛卡儿（ReneDescartes，1596～1650）对此作出了改进，第一个提倡用x、y、z表示未知数。他在《几何学》（1637年）中用x3--9xx+26x--240表示x3-9x2+26x-24=0。这与现在的写法基本类似。

在有了系统的代数符号以后，数学家们开始研究二次方程的解，后来有了一般的求根公式，再后来对三次、四次方程也有了一般的求根公式，而且从中导致了复数的发现。但对五次或五次以上的方程求解，在找一般的求解公式时，却遇到的极大的困难。不断的失败启示人们，是否这样的一般公式根本就不存在？在1832年，天才的伽罗瓦（E.Galois）彻底解决了这个问题。即一般的五次或五次以上的方程没有求根公式。伽罗瓦在解决这个问题时，第一次明确提出了群的概念，他正是用“群论”的方法创造性地解决了上述问题。随着四元数、向量、矩阵、线性变换等一系列更具一般性的研究对象的出现，代数的面貌发生了一系列深刻的变化。尽管代数仍是一门关于运算的科学，但它已经从局限于研究数的运算性质的数学分支，变成研究更为一般的代数运算的规律和性质的龐大的数学分支。这就是抽象代数，或称近世代数。

尽管代数学向前迈了一大步，但为了使记号精简起见，规定除非绝对必要时，一般不引进新的记号，或者根据需要对原来的记号稍加修改。哈密而顿（W.R.Hamilton）定义了向量的外积和内积，格拉斯曼（H.G.Grassmann）给出了包括内积、外积在内的几种积。向量的外积在向量分析中占有中心地位。1846年格拉斯曼用a×b表示内积，1862年又表示为[ulv]，在1844年和1862年他用[uv]表示外积。最先用“uv”表示向量积的是俄国的索莫夫（1907年），吉布斯（J.W.Gibbs）把数量积成为“点积”（dotproduct）并记为u·v，他还用u×v表示向量积，这种用法一直沿用到现在。荷兰数学家洛伦兹（HendrikAntoonLorentz，1853-1928）把数量积记为（u，v），向量外积记为[u·v]。特纳等人于1903年记内积为（u，v），现在也常用，对应的向量外积记为[u，v]。人类对科学的探索永无止境，随着代数学的不断前进发展，根据使用的需要还会产生更多的符号。

代数学发展的关键是建立了一套有效的符号体系，首要的一步是引进符号代表数字，用符号代替文字叙述。正如克莱因所说：“代数学上的进步是引进了较好的符号体系，这对它本身和分析的发展比16世纪技术上的进步尤为重要。事实上，采取了这一步，才使代数有可能成为一门科学。”有了这些先进、简明的代数符号来表示并反映事物的内在本质，人们的思维活动才能以惊人的方式得以简化。

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（作者单位 广东省深圳市高级中学初中部）

编辑 鲁翠红