“列方程解决问题”教学难点突破策略
2019-03-20沙晓霞
沙晓霞
【摘 要】对于人教版教材五年级上册《简易方程》单元中“实际问题与方程”板块的学习，学生或多或少有一种抵触心理。究其原因可以发现，该板块教学过程中存在数量关系难找、未知量难感知、方程优势难体现等教学难点。如果能突破这些难点，就可以正面化解学生对方程的“排斥”。对此，教师在教学中可以通过丰富学生寻找等量关系列方程的方法、提升学生对条件中未知量的敏感程度、增强学生列方程解决问题的实践经验等举措，拉近方程和学生之间的距离。
【关键词】方程意识;等量关系;未知量;难点突破
人教版教材五年级上册《简易方程》单元的“实际问题与方程”板块中有这样一道例题：
我们发现，绝大多数学生毫不犹豫地选择算术方法进行解决。而在使用算术方法解决的过程中，有超过一半的学生给出错误的回答。其实该类型的题目，采用方程解决既顺应问题的思路，也保证解题结果的正确性，却鲜有人问津。
对此，教师可能会有疑惑：学生为什么不喜欢使用方程解决问题？将《简易方程》单元中“实际问题与方程”板块的教学难点进行梳理，主要有以下几方面。
难点一：等量关系难以寻找
学生缺少寻找等量关系的方法，找不准关系更不用说列出方程了。
难点二：未知的量难以把握
学生对设哪个量为未知数没有把握，尤其是有两个或以上的未知量时。
难点三：方程优势难以体现
练习时就题论题不够系统，学生体会不到列方程解决问题的优势所在。
那么，如何破解“实际问题与方程”板块在实际教学过程中所遇到的难点？我们对此进行了探究。
一、授之以渔，丰富学生寻找等量关系列方程的方法
列方程解决问题的教学难点之一是寻找等量关系，这也是能否列出方程的关键所在。学生方程意识的薄弱，对列方程方法的排斥，很大一部分原因是找不准条件当中的等量关系。在教学中，我们要为学生打开思路，教给学生寻找等量关系的辦法。
（一）关键句中藏有玄机
学生对信息的理解源自文本，因此从文本直接入手，细读精读后借助“画、圈、注”等方式进行辅助理解，就能找到等量关系。
读题时要特别留意描述两个事物之间关系的语句，通常这些就是关键句。如果不确定可再多读几遍，因为有些题目的关系是隐含的，甚至有可能在语言的表达上是不完整的。学生读完文本，将表示两个量之间关系的关键句画出。
例：白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块。共有多少块黑色皮？ （书本例题） 关键句
长江是我国第一长河，长6299千米，比黄河长835千米。黄河长多少千米？（书本习题） 关键句
每平方米阔叶林每天制造75克氧气，是每平方米草地每天制造氧气的5倍。 关键句
每平方米草地每天能制造多少克氧气？（书本习题）
接下来对关键句进行分析。圈出不同的量，并对文本进行数学符号的翻译，也就是将关键文字用运算符号进行标注，让等量关系得以呈现。
这样一来给了学生一根表述事件的“拐杖”和一个支点，逐步习惯顺向思维，强化“事件表述等量关系”，淡化求未知量的值，且与之前“用字母表示数量——代数式”的教学产生正迁移。通过引导，学生自觉把未知量参与表达或运算，迅速并正确地找到等量关系。
（二）“讲故事”里异曲同工
史宁中教授曾经提到如何理解方程的定义问题，他说：“虽然教科书中定义为‘含有未知数的等式，但应当知道方程的本质是在讲两个故事，这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等。”
史宁中教授的话形象地讲出了方程的本质特点，从“不同的角度”表述“同一个量”时，就能形成等量关系。相对于抓整体结构，找出关键句，这两者其实是可以互相转化的，转化的过程就是在寻找等量关系，通过方程的本质意义带给学生更深的建构。
例：人教版教材五年级上册《实际问题与方程》例3。
这类问题并没有关键句可以寻找，可以借助“讲故事”的方式引导学生抓整体关系，找出等量关系 ，列出相应的方程。
对总价的表述可以是10.4元，也可以是苹果总价+梨总价，或者是（苹果单价+梨单价）×数量，那么就有：
当学生列出这样的方程：2x=10.4-2.8×2，请学生判断是否正确？学生迟疑了一下，然后非常肯定是正确的，因为学生分析出代数式的意义，“左右两边都讲述了苹果的总价”。
以这样的等量关系所建构的方程，自然正确。接下来的小组讨论中，学生思维得到了充分发散，列出了以“梨的总价”为故事主体、“苹果单价+梨的单价”为故事主体的不同角度的等量关系的方程。
1千克苹果和1千克梨的单价
通过这样的拓展，让学生充分体验到“从两个不同角度表示同一个量”，体验了找等量关系的另一种方法，让思维变得更灵活和深入。这更像是一种开放教学，落点不在题目，而在于一种思维方式。学生可以体会到从不同角度思考问题就会得到不同的方程，甚至多中择优，分辨哪种思路更好，实现用方程解题的多样性和优化。
（三）应用公式对号入座
在课堂教学中，我们应当关注对基本数量关系的积累。比如部总关系、行程问题、工程问题。同时，对于一些计算公式也应掌握，比如求周长、面积、体积等。在列方程解决问题时如果遇到相同问题背景，学生就可以借助已有的数量关系进行重组。以不变应万变，体验用方程解题的优越性。
[基本数量关系或计算公式 → 得到等量关系][代入]
图3 利用公式得到等量关系示意图
例：人教版教材五年级上册《实际问题与方程》例5。
这是一道非常典型的相遇问题，学生已具有学习经验，知道相遇问题的基本数量关系是速度和×相遇时间=相遇路程。我们只要对这个基本数量关系进行代入就可以得到方程。
速度和×相遇时间=相遇路程
↓ ↓ ↓
（小林速度+小云速度）×相遇时间=小林家和小云家的距离
↓ ↓ ↓
（250+200）× x =4500
教学中，只要牢牢抓住“速度和×相遇时间=相遇路程”这一组基本数量关系，“以不变应万变”，根据题目给出的数据对基本数量关系进行补充和完善，由公式或者基本数量关系做等量关系的基础，对号入座从而列出方程。
二、对比尝试， 提升学生对条件中未知量的敏感程度
列方程解决问题在教学过程中的难点之二就是学生对未知量的感知能力较弱。在教学中，我们可以采取对比尝试等一系列方法，提升学生对未知量的敏感程度。
（一）正反对比感悟便捷
小学阶段，学生列方程解决实际问题时通常“问题求什么就设什么为x”。但有些实际问题中有两个或以上的未知数，这时就需要选择最为合适的未知量来设未知数，在解方程时体现便捷性。
例：人教版教材五年级上册《实际问题与方程》例4。
例题呈现中设陆地面积为x亿平方千米，那么海洋面积为2.4x亿平方千米。
我们应引导学生思考，既然陆地面积和海洋面积都是未知量，为什么要设陆地面积为x呢？
借助线段图表示题意：
学生经过思考：“陆地面积小，是一份。设未知数的时候，设陆地面积为x亿平方千米，这样海洋面积可以表示为2.4x。”
学生列出方程：x+2.4x=5.1。
教师追问：如果设海洋面积为x亿平方千米，可不可以？
学生也列出方程“x+x÷2.4=5.1”，但是发现计算非常麻烦。
学生会感受到，当题目中出现两个或两个以上的未知量，并且这几个量之间呈现出相差关系、倍数关系等，把一倍数或者较小数设为x，不论在解题思路上，还是方程表达上，抑或是方程计算上都是最为方便的。
（二）横向对比发现坦途
有些题目中，可以找出多组不同的数量关系。由于数量关系表达形式的不同，学生列出的方程也会“五花八门”。虽说从意义上解释也许都能说通，但在解答过程中却出现了难以下手的情况。
例：鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有48条。鸡和兔各有多少只？
在这道题目里面学生可以找到以下几种数量关系并相应列出方程：
[解：设鸡有x只，兔有x只 数量关系 列出方程 鸡的腿+兔的腿=48 2x+4=48 鸡的腿=48-兔的腿 2x=48-4x 48-鸡的腿=兔的腿 48-2x=4x ]
虽然数量关系都成立，方程也都正确，但在解题的过程中还是产生了容易解和不容易解的对比。经过学生的横向对比，显然，2x+4x=48这样的方程在解答过程中更具优势。
由此可见，在列方程解决实际问题的过程中，顺应题目语言表述的数量关系是最为适合列方程的，思路也更为顺畅。
三、形式多样，增强学生列方程解决问题的实践能力
列方程解决问题在教学中的难点之三是学生的练习不成体系。在学生掌握基本步骤和方法之后，教师应提供形式多样的练习，使学生有针对性地提升技能和技巧。熟能生巧，巧能生慧，让学生对列方程解决实际问题得心应手。
（一）变式练习中触类旁通
在问题情境中，对条件的呈现方式不断变化和调整，以变式题组的形式出现。这样，学生在变与不变中灵活运用所学知识，在技能提升的同时也促进方程运用意识的敏感程度。
例：童声合唱团共有60人。
（1）女生是男生的3倍，男生有多少人？
（2）女生是男生的3倍，女生有多少人？
相同的條件，不同的问题，其目的在于打破学生看问题设未知数的定势思维。在分析数量关系后，我们很容易发现，将男生的量设为未知数最为合适。
又例如：180人组团去A市旅游。
（1）成年女性是儿童人数的2倍，成年男性是儿童人数的3倍，成年女性有几人？
（2）成年女性是儿童人数的2倍，成年男性比成年女性多30人，成年男性有多少人？
当未知量在两个以上时，若想用算式方法解答，思路就不容易厘清了。此刻用方程解题则展现了优越性，抓住最小量即将儿童人数设为x，根据信息用代数式分别表示出成年女性、成年男性的人数，即可列出方程。由此触类旁通，使学生感受列方程解决问题时顺向思维的便捷。
（二）丰富解方程的技能训练
在列方程解决问题过程中，由于解方程方法的不熟练，最终导致解题失败的现象也时有发生，这对学生来说也是一种负影响。
教材中，解方程的基本策略是“等式的基本性质”。但由于其抽象性，部分学生在解诸如“60-x=24”“80÷x=2.5”此类方程时，非常容易出错。在列方程解决问题的实际操作时，由于学生提炼的等量关系未必统一，所列方程就会更加复杂。使得部分学生望方程而兴叹，列出了方程却解不出方程的现象也就由此而生了。
因此在教学中，在学生应用等式性质解方程的基础上，同时应补充四则运算各部分之间的关系等解方程的方法。只有学生掌握更多技能，更容易解出方程，才能带来更多成功的体验，有利于增强列方程解决实际问题的实践经验。
方程，是学生从算术思维走向代数思维的一座桥梁，也许在学习过程中始终有一些学生对方程比较抵触。作为教师我们应帮助学生突破学习障碍，不断让学生感知列方程解决问题的便捷，体验成功，感受到方程的魅力。
（浙江省杭州市星洲小学 310000）
