定积分问题中的“一、二、三”

李永强

【关键词】定积分 微积分 数形结合法

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）07B-0085-02

与传统教材相比，高中数学新课标教材中定积分的内容更突出其概念的本质，重视它的几何意义与物理意义，强调几何直观，淡化形式化的运算。纵观近几年高考中对定积分知识考察的内容与形式，都较好地体现了这一点，这也与高考数学考纲中“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则一致。定积分知识是学生进入高等学校继续学习时将面对的重要知识，所以在高考试题中不断出现，命题的形式也不断变化，在知识交汇点上与方程、函数、不等式、二项式定理、概率、线性规划、数列、圆锥曲线等知识组合而形成各种形式的高考题。学生在高考复习与考试中，面对这么多形式多样、方法灵活的题目，该如何去提高复习效率和解答的准确性呢？笔者分析近几年出现的一些高考题目发现，定积分内容的复习和题目的解答只要抓住了“一、二、三”，就能有效解决。所谓“一”就是定积分问题常用的数学方法——数形结合思想；“二”就是两种应用：微积分基本定理和定积分运算性质的应用；“三”就是三个关键点： 一是找被积函数的原函数，二是确定积分上下限，三是确定定积分的区域。

一、解决定积分问题的主要思想方法是数形结合法

定积分的几何意义确定了它是求曲边梯形的面积问题，这为数形结合思想的应用奠定了基础。所以说，高考中涉及定积分的问题几乎都可用数形结合的思想来处理。

例1.（2013海宁冲刺卷）已知a=[∫][1][-1]（1+）dx，则[（a-）x-]6的展开式中常数项为 。

解析：本题的考查目标是定积分的几何意义及二项式定理的应用，解题的基础是定积分的运算。其中被积函数f（x）=1+较复杂，利用微积分基本定理求被积函数的原函数在高中阶段无法得出。可把曲线f（x）=1+化为x2+（y-1）2

=1，且x∈[-1，1]，f（x）∈[1，2]，应用数形结合方法，得出定积分表示上半圆x2+（y-1）2=1与直线x=-1，x=1和x轴围成的区域的面积（如图1所示）。

所以a=[∫][1][-1]（1+）dx=+2。

然后代入二项式中轻松可得常数项为-160。

实际上，对于定积分问题，数形结合法的身影可说无处不在，不论定积分与哪个知识点组合，以什么方式出现，都离不开曲边梯形这一实质；抓住了这一点，在用数形结合的方法时就容易多了。

二、微积分基本定理和定积分运算的基本性质是求定积分的根本方法

定积分的计算一般是把较复杂的式子先用定积分运算的性质化为较简单的定积分问题，然后利用微积分基本定理或几何意义（数形结合的思想）来解决。

例2.（2012江西卷）计算定积分[∫][1][-1]（x2+sinx）dx= 。

这道题中包含了三个方面的信息：微积分基本定理的应用，定积分运算的基本性质，定积分的几何意义。

解法一：微积分基本定理的应用。

[∫][1][-1]（x2+sinx）dx=（-cosx）[|][1][-1]=。

解法二：定积分运算的基本性质的应用：先转化为两个定积分的和，考虑到正弦函数y=sinx是奇函数，图象关于原点对称，其与x=-1，x=1和x轴围成的面积为0，所以可得：

[∫][1][-1]（x2+sinx）dx=[∫][1][-1]x2dx+[∫][1][-1]sinxdx=[∫][1][-1]x2dx

=[|][1][-1]=。

例3.计算[∫][2][-2]（-x3）dx的值。

解析：本题很明显可用定积分运算的基本性质化为两个定积分之差，然后再对第一个定积分利用其几何意义化为半圆的面积，三次函数曲线的定积分用微积分基本定理计算即可。也可以化为两个定积分的差后，都利用数形结合的方法计算面积，第一个是半圆面积，第二个三次曲线y=x3与x轴和x=-2，x=2所围成面积由图形的对称可得为0，从而求得结果。实际上不管采用哪种方法，微积分基本定理和定积分运算的基本性质是必不可少的，其中始终包含了数形结合的思想。

三、把握好三个关键点是求解定积分的根本

1.找被积函数的原函数：首先利用微积分基本定理，由导数与积分运算互逆的关系，结合求导公式，得出原函数。这是求定积分最有效也最常用的方法。当被积函数较复杂不易找出原函数时，主要是利用转化化归的思想方法，把被积函数化为较易得出图象的形式，然后利用几何意义结合图形直接求出面积即可。如上述例3中半圆面积的求解。

2.确定定积分的上下限也是关键：当曲边梯形由几条曲线围成时，要明确各曲线之间的交点，从而确定定积分的上下限；有时被积函数是分段函数，求定积分时，被积函数的选择不同，积分上下限也随之发生变化，要分别对待。

例5.（2002天津卷）求由三条曲线y=x2，4y=x2，y=1所围成图形的面积。

分析：根据对称性，只需算出y轴右边图形的面积再2倍即可。求出y=1与y=x2，4y=x2的交点坐标，然后利用定积分表示出阴影部分面积，由微积分基本定理求出面积即可。

解答：如图2，因y=x2与4y=x2为偶函数，由对称性，只算出y轴右侧图形面积再两倍即可。解方程组

所以，由三条曲线y=x2，4y=x2，y=1所围成图形的面积为。

点评：对称性的应用和被积函数、积分上下限的选取都影响计算过程的繁简，运用微积分基本定理求定积分的关键是找被积函数的原函数与积分上下限。

3.积分区域的确定是解决定积分的又一关键点。积分区域的确定非常直观地确定了被积函数和积分上下限。

例6.（2012上海卷）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴所围成的图形的面积为 。

定积分知识在高考中，不论是在几何还是物理中的应用，不论与哪个知识点组合交汇来命题，其实质的思想方法与解题依据始终不变。只要我们牢牢把握了定积分问题的实质，合理灵活地应用方法，就可快速准确地解决定积分问题。

（责编 林 剑）