关注两个切线不等式的解题应用

摘要：结合几则例题，分类讨论两个切线不等式的应用，以提高学生的解题能力，发展学生的数学思维，培养学生的核心素养.

关键词：切线；不等式；应用；高中数学

高中数学中，学习导数之后，易知曲线y=ln x在点（1，0）处的切线方程为y=x－1，从而结合图象可得切线不等式ln x≤x－1；同时也易知曲线y=ex在点（0，1）处的切线方程为y=x+1，从而结合图象可得切线不等式ex≥x+1.

1 运用切线不等式ln x≤x－1解题

一般地，当涉及自然对数时，可考虑切线不等式ln x≤x－1（当且仅当x=1时不等式取等号）及其变式ln（x+1）≤x（当且仅当x=0时不等式取等号）的灵活运用.

1.1 求值

1.2 证明数列类不等式

1.3 证明函数类不等式

2 运用切线不等式ex≥x+1解题

一般地，当涉及以无理数e为底的指数时，可考虑切线不等式ex≥x+1（当且仅当x=0时不等式取等号）及其变式ex≥ex（当且仅当x=1时不等式取等号）的灵活运用.

2.1 求参数的取值范围

2.2 证明函数类不等式

3 综合运用切线不等式ex≥x+1和ln x≤x－1解题

一般地，当试题中同时涉及自然对数和以无理数e为底的指数时，可综合考虑切线不等式ln x≤x－1（当且仅当x=1时不等式取等号）和ex≥x+1（当且仅当x=0时不等式取等号）在解题中的的灵活、综合运用[2].

3.1 比较大小

3.2 证明不等式

一般地，当所求证不等式中同时含有“ex”和“ln x”时，可在等价转化（即实施适当的变形）的基础上，灵活运用切线不等式ln x≤x－1和ex≥x+1加以思考、分析，往往可获得目标不等式的巧妙证明.

此外，还需特别提醒的是：作为解答题，在具体考试时，需要先证明切线不等式，再灵活运用切线不等式；否则，若直接利用切线不等式，则会被适当扣分.

总之，关注切线不等式ln x≤x－1和ex≥x+1及其变式在解题中的灵活、综合运用，往往有利于帮助我们迅速获得具体的解题思路，进而给出简洁、明了的解答过程，同时可提高处理此类相关数学问题的技能技巧，也有利于较好地提升数学运算与逻辑推理方面的核心素养.

参考文献：

[1]许秋峰.赏析考题 变式探究[J].中学教学参考，2022（17）：31-33.

[2]孟庆杰.巧用曲线y=ln x与其切线y=x-1解高考题[J].理科考试研究，2019，26（23）：20-23.