三角函数综合问题解题策略分析与反思

摘要：近年来，以三角函数为背景的导数综合题是高考命题的亮点之一，可谓常考常新．本文中通过对典型试题进行解法探究，揭示本质，形成解题策略．

关键词：三角函数;导数；解题反思；策略分析

以三角函数为背景的导数综合题是近几年高考命题的一大亮点，它不仅丰富了高中数学教学的素材，有效引导教学，而且体现了高考在核心价值引领下对知识的交叉、能力的复合、素养的融合的全方位考查．由于考题中常含有三角函数与其他函数的综合，以至于问题的后续处理困难较多，但三角函数具有周期性、有界性等显著的性质，使问题解决又丰富多样，有益于问题考查的宽度和深度，这也必将会成为以后高考试题命制的生长点，因此，有必要对以三角函数为背景的导数综合题进行策略分析，以期提高教学有效性，发展学生关键能力．

1 策略分析

以三角函数为背景的导数题，注重考查学生利用导数工具分析问题、解决问题、推理论证、运算求解等能力，以及分类讨论、转化与化归、数形结合等数学思想，对思维的灵活性、严谨性、创新性提出了较高的要求，符合“四翼”中综合性、创新性的考查要求．其求解策略和方法归纳如下：

策略一 利用构造新函数求解

根据函数与导数的思维特征，当面临一个难以求解的函数问题时，其中一个行之有效的方法就是构造一个辅助函数，分析函数解析式的结构，利用导数研究函数的图象与性质（定义域、单调性、最值、极值、零点等），体会其中蕴含的函数与方程、数形结合、转化与化归等数学思想．

策略二 利用正余弦函数有界性求解

有界性是正余弦函数的主要性质之一．在处理以三角函数为背景的导数题时，除了运用参变量分离、分类讨论等方法外，还需结合三角函数的有界性求解，可以快速找到讨论的“分界点”，有效突破解题困境，使问题得以顺利解决．

点评：利用分类讨论分析和求解问题，关键是要准确找到讨论的分界点，本题第（2）（3）问都是根据正余弦函数的有界性找到了讨论的分界点，突破了难点．过程中还结合不等式|a＋b|≤|a|＋|b|将等式进行了合理放缩，体现了高考在知识交汇处命题的思想［1］.

策略三 利用必要性探路求解

在处理含参数不等式恒成立问题时，大多时候会优先考虑参数与变量分离并构造函数，但往往解题受阻，那么也可以换个视角思考，先利用必要条件探路，再验证其充分性，这就是必要性探路解题的思想．利用必要性探路解题不仅能够简化思维程序，而且也能为难点的突破提供一种很好的解题思路．

点评：第（2）问巧妙地应用“必要性探路”的方法求解，在一定程度上优化了解题路径．当然在解决问题的过程中，仍然要密切关注正余弦函数的有界性．

策略四 利用设而不求法求解

在数学解题中，有时需要设立题目中没有直接给出的中间变量，从而构建“未知”和“已知”的关系，为问题的解决起到纽带的作用，这就是“设而不求”的数学思想.函数“隐零点”是近几年高考的热点也是难点，对于与三角结合的导数题，“设而不求”将是处理这类问题的一个较好的策略．即通过形式上的虚设，实现运算上代换、策略上等价转化、方法上引导分类等，从而达到优化解题的目的．

点评：第（2）问中既有指数、对数形式，又有三角形式，让学生望而生畏．运用前后联系的观点审视问题，第（1）问中，当a＝1时，可证f（x）≥0在（－1，＋∞）上恒成立（当且仅当x＝0时，f（x）＝0），那么第（2）问中对参数a的分类讨论应有分界点a＝1，这将对讨论带来启发．对于零点不可求问题，可以虚设零点得到一个含零点的超越方程，通过变形实现部分代换或整体代换，将超越式变成非超越式，从而简化运算．

2 策略反思

以正余弦函数与指对数函数的复合形式为背景考查不等式的证明、不等式恒成立求参数的值或范围，此类问题在高考中常考常新．问题解决过程中常需要构造新函数、运用必要条件探路、结合正余弦函数的有界性、设而不求隐零点等多种方法的综合运用．

2.2 释疑解惑

通过对以三角函数为背景的导数综合题解题策略的分析与反思，梳理发现高考导数压轴题越来越重视“四翼”的考查，突出数学问题本质的回归，试题立意高但不“冷”，落点低但不“俗”．同时具有“反套路”的味道，突出关键能力的考查，区分度高，实现“以考促教、以考促学”的目的［2］，对高校人才选拔和高中数学教与学的改革起到积极的引导作用．因此，加强对典型试题解题规律的研究是十分必要的．

参考文献：

[1]蓝云波．与三角函数交汇的导数压轴题的解法探究[J]．中学数学研究（华南师范大学版），2019（1）：20-23.

[2]教育部考试中心．中国高考评价体系[M]．北京：人民教育出版社，2019：12．