抓好数学概念，突破教学难点

马仲良

摘要：本文中采用案例分析法，从概念特点、本质属性、内涵分析、实践运用四个角度提出初中数学概念教学策略，旨在夯实数学知识的认知与理解基础，提升初中生依据数学概念解决数学问题的能力，相关策略对于促进学生自主探究、个性化学习具有积极意义.

关键词：初中数学；概念教学；教学策略

数学概念是采用凝练的语言对数学现象、经验、特点、规律等进行的概括，它以抽象风格的表达方式揭示了客观事物的本质属性［1］，既是数学思想方法的重要载体，也是利用数学解决问题的工具.初中阶段的数学教学活动中，数学概念既是基础教学内容，也是教学难点.这是因为如果忽略了数学概念的基础性，学生对于数学知识内涵、价值的认知会停留在浅层维度，难以确保数学核心素养的形成.而之所以将数学概念作为一个教学难点，是因为数学概念的形成过程非常复杂，需要经历“从一般到特殊”的逻辑推导与“从具象到抽象”的思维转化.基于此，初中数学概念教学不能死记硬背、机械运用，一切教学活动都应该建立在理解的基础上展开.

1 抽象转为具象，增设知识桥梁

1.1 提供直观材料

数学概念的基本特征是抽象性，即排除客观事物的个性特征、物理表征、具体象征等非数学属性，仅保留数学概念表述所需要的共同点.基于抽象性的表达能够让数学概念更简洁、更确定，但理解难度也更大.为了让学生更好地理解，可以采取逆向思维“化抽象为具象”，多角度展现数学概念的现实媒介.例如，人教版七年级上册数学教材中“角的概念”被描述为“有公共端点的两条射线构成的图形”，提供直观材料（如图1）辅助学生认知，更容易让学生理解什么是角.

1.2 明确概念背景

数学概念为什么会产生？它的存在有什么意义？如果不解释清楚类似问题，初中生学习数学概念时会很容易出现认知错误，甚至不能准确定位数学概念的应用场景.在教学过程中，明确数学概念的产生背景，更有利于学生掌握数学概念的本质与应用范围.例如，讲解“负数”的概念时，引入社会生产、商业交易等现实背景，表明负数用来代表“欠缺”“负债”等意义，这有助于初中学生更全面地认识负数的概念.

1.3 建立概念联系

数学概念并不是孤立、排他的，这是因为它源自现实事物的抽象，而现实中各种事物之间又存在复杂的联系［2］.因此，初中数学教学过程中要强调数学概念关系的建立，可以引导学生将“旧概念”的认知经验迁移到“新概念”的学习和理解上.例如，人教版初中数学教材中提出“有理数”的概念时，将其解释为“分数与整数的集合”，在教学之前可以先引领学生回忆小学阶段关于整数、分数的概念，建立它们与有理数概念之间的联系.

2 解析本质属性，归纳概念定义

2.1 通过“正例解析”教学

所谓“正例解析”，就是从包含着概念或规则的本质特征和内在联系的一系列具体案例、题例中分离出共同属性，进而归纳出一个完整且静态的概念.不难发现，“正例解析”教学模式属于概念的常规研究进程，在正向思维的引领下，按照“从一般到特殊”的技术路线发展即可.例如，人教版数学八年级下册关于“一次函数”概念的教学，重点在于设计完整的概念归纳、抽象过程.首先，为学生提供大量符合“一次函数”属性的案例、题例，如高铁运行路程与“速度×时间+车辆长度”的关系案例，通过对大量实例的观察、辨别、简化、概括等，最终判断式子是否符合“y=kx+b，k，b为常数，且k≠0”的条件，这样就可以基于“正例解析”的教学方式，水到渠成地得到一次函数的概念.

2.2 通过“反例解析”教学

“反例解析”教学是“正例解析”教学的逆向化过程.通常来说，利用正向思维展开概念探究，需要从大量“一般特征”着手，在抵达“特殊属性”之前，整个思维过程非常复杂.利用反向的案例解析概念的本质属性，主要是依据“客观肯定”与“客观否定”的绝对对立，即在反例解析教学场景中，能够发掘出与概念本质属性完全不同的特征［3］.例如，人教版数学八年级下册“特殊的平行四边形”中，对矩形概念的解读为“有直角的平行四边形”和“长方形”，教学过程中可以提供一些反例供学生解析，如“有一个直角的四边形是矩形”“有两个直角的四边形是矩形”“对边平行且相等的四边形是矩形”等，这些都可以画出反例图形，如图2所示.

3 深挖概念内涵，促成意义建构

3.1 通过分析关键字明确含义

数学概念的一大特征是严谨性［4］，这一点在数学语言表达方面尤为明显.因此，从某种意义上来说，初中数学概念教学必须要“抠字眼”，即通过分析已给出的概念内容中的关键字，进一步明确其含义，以确保其在应用过程中的合理性.如人教版数学七年级上册“单项式”的概念被表述为“数字或字母的积”，“有理数”的概念被表述为“整数和分数的统称”.这两个概念中，“或”与“和”就是关键字，需要结合具体案例深入讲解.

3.2 利用多重表征提升表达性

数学概念是数学语言高度凝练、数学属性高度概括的结果，但从教学角度出发，不能把它视为不可转化的单一表达形式.事实上，数学概念可以利用多重表征进行表达，由此也能够符合不同数学智能（依据多元智能理论）特点学生的需要.例如，同样是讲解“一次函数”的概念，对于“言语语言智能”非常优秀的学生，直接用字母、运算符号等形式表达即可，而对于“视觉空间智能”表现优秀的学生，可以利用一次函数图象的方式进行表达.

3.3 对比概念以明确新旧联系

鉴于数学概念之间存在的密切关系，在教学活动中可以利用思维导图将所学过的概念梳理出脉络，让学生清晰地看到新旧概念的对比.从建构主义理论角度分析，对比概念以明确新旧联系的教学方式，非常符合学习维度的“同化思想”，可极大地减轻学生对新概念的理解难度.例如，在学习二次函数概念之前先回顾一次函数，并从函数式各项出发进行对比，找出异同点所在，这种教学方式不仅可以实现“温故而知新”，而且能够引领学生数学概念认知思维螺旋上升.

4 注重概念实践，促成知识迁移

4.1 设计变式教学

数学概念是数学知识体系中的最小单位，也是解答数学问题的基础.因此，在初中数学概念教学中，要注重概念实践，促成知识迁移，确保学生灵活地理解和运用概念.例如，为实现一元二次方程概念的“学以致用”，可专门提供如下练习进行训练.

练习1 筛选出符合一元二次方程概念的式子.

（1）2x2-10x=3；  （2）2x2-4y=0；

（3）-x2=0；（4）2x-5=0.

练习2 根据练习1中选定的一元二次方程式，逐一指出二次项及系数、一次项、常数项等.

练习3 如果m（2x-1）-x（1-2x）=0是一元二次方程，那么m的值应该是多少？

4.2 强化步骤归纳

初中阶段数学概念多属于陈述性类型，加上语言简洁的特点，难以直接被运用到数学问题的解决中.换言之，初中数学概念教学要强化步骤归纳，即将平铺直叙的数学概念转化成一系列可执行的步骤.这样做的优点在于，一方面可以提高数学概念的利用效率，确保概念与数学问题“对号入座、程序符合”；另一方面，有利于培养学生的发散思维及算法意识.例如“解一元一次方程”的概念通过转化，可归纳为“去分母、去括号、移项、合并、系数化为1”.

综上所述，初中阶段数学概念教学的价值，不在于让学生理解、记忆数学概念的内容，而是要引导学生了解概念形成的过程、推导的步骤，更重要的是培养学生从无到有、从一般到特殊、从具象到抽象的思维能力.从教师角度出发，抓好数学概念教学工作，夯实学生数学概念基础，可有效减轻后续“进阶教学”阶段的压力，为打造初中数学高效课堂奠定扎实基础.

参考文献：

［1］马艳华.重视概念生成 强化数学能力——例谈初中数学概念教学探索［J］.数学学习与研究，2022（16）：101-103.

［2］高娜，吴善和，赖村如.刍议初中数学概念教学策略——从教学设计到教学过程［J］.初中数学教与学，2022（12）：15-18.

［3］殷德权.初中数学概念教学的实践与反思［J］.新教育，2022（17）：66-68.

［4］孙丰.在初中数学教学中融入“大概念”［J］.江西教育，2022（12）：28-29.