从“合并同类项”教学设计看单元整体设计路径

韩程霞

摘要：文章以“合并同类项”为例展示单元整体视角下的课时教学设计过程，即从整体视角分析课时内容，明确需要解决的根本问题，遵循概念教学的基本流程，以“任务—设计—分析”为思路进行具体阐述，尝试用案例分析的方法探索单元整体设计路径，并基于实践提炼出需要恪守的原则.

关键词：单元整体；课时教学设计；路径

本文中以单元整体思考下的课时教学设计（合并同类项）为主线，遵循概念教学的基本流程，针对课时中的每一个教学环节，以“任务（需要解决的问题）—设计—分析（如何解决）”为思路，尝试从宏观到微观、从方法到思想，探索单元整体视角下的课时教学设计路径.

1 从整体视角分析课时内容

“合并同类项”处于“代数领域→数与式主题→整式加减”教学单元，涉及数式通性和归纳、类比、转化等思想方法，其关系如图1所示.

“式”是“数”的拓展，教学中必须关注数到式的自然过渡.其中，整式作为一个具体研究对象，其研究方法类比数的研究思路，整式加减的教学重点是运算法则，而合并同类项是整式加减运算的核心所在.因为“归纳”是合并同类项最为根本的研究方法，所以“合并同类项”的教学思路定格为运用归纳的方法教概念、法则，用类比数的运算自然地体现数到式的拓展，彰显数式通性.

2 教学设计

2.1 引入

从单元整体聚焦到具体课时，首先需要勾勒出一个基于代数运算的大视角，帮助学生在整体格局下明确将要完成的学习任务.

设计：“之前数学学习的过程中，运算的对象都是数.那么，数及其运算是如何操作的？有哪些运算？经过前面对整式概念的学习，对于新的运算对象，可以类比数的运算，思考如何构建式的运算体系.”

在数的学习阶段，学生已经知道数的加与减、乘与除、乘方与开方运算的互逆关系，并且掌握了运算律.在本节课之前已经给出了单项式、多项式的概念，这意味着新的代数运算对象已经产生.这寥寥数语告诉学生，本节课将要遵循研究规律构建代数式的运算体系，为代数式的运算建立开端.从整体视角看，整式的运算将要经历加减、乘除过程，基于思想方法的一致性，在研究内容拓展的过程中不断重复代数体系的研究思路，有助于学生形成认识问题、解决问题的基本方法.

2.2 获取研究对象

2.2.1 从数到式自然迁移

勾勒出研究思路之后，聚焦具体课时操作自然会产生一个问题：式是数的进一步抽象及推广，但是式又不等同于数，那么整式到底能不能相加呢？本环节需要解决“整式能不能相加”这一问题，研究从单项式开始.

设计：以下问题怎样运算最合理？

①34×5+66×5； ②34×52+66×52；

③34×5×8+66×5×8.

追问：将上述问题中的5换成a，8换成b，还能运算吗？

上述运算具有明显的结构特征，这是考虑到学生的学习是新旧知识相互影响与整合的过程，新旧知识间相似的成分越多越容易发生迁移.追问设计的意图在于处理好从数“通”到式的过程：借助“字母表示数”的意义，用字母“替换”数字，完成从数到式的学习迁移，明确这样的式可以运算，并且只有使用分配律，才能通过改变运算顺序将两个同类单项式合并为一个式子.从思想方法层面看，用好数式通性来设计路径.

2.2.2 认识新的运算对象

数的运算是“分类”计算的（整数、分数、小数、无理数等都一样），因此，类比数的研究进一步聚焦视线：什么样的两个式可以相加？

设计：2ab+3mn，2a+3a2，2ab+3ab能不能相加？

引导学生从一般视角入手获得研究对象，通过归纳形式差异建立“类”的意识是设计出发点.这个设计中包括了两个单项式可能出现的全部类型：两个单项式中没有相同的字母（如2ab与3mn类型），无法相加；有相同的字母，但是字母个数（指数）不同（如2a与3a2类型），也无法相加；两个单项式字母相同且字母指数相同，可以相加（如2ab与3ab类型）.其中，第三种类型可以基于运算律相加得到一个新的单项式5ab，这样的两个单项式具有研究的价值，从而获得本节课的研究对象.

上述设计的出发点，目的在于解决好“是不是任意两个单项式都能相加？怎样的两个单项式相加才能得到一个单项式”的问题，同时做好对“类”的认识的拓展.

2.3 概念属性归纳

2.3.1 从结构特征认识同类项

解决好“能不能加”的问题后，本环节要解决“怎么加”的问题，这也是课时教学的重点和难点所在.实际上这一环节要归纳出，能够相加的两个单项式需要具有相同的结构，这样才可以使用分配律，在此基础上归纳出同类项的概念以及合并同类项的法则.

设计：这一组问题能不能运算？

（1）－3m+5m；   （2）x2y－13x2y；

（3）－5x5y4+7x5y4；（4）2m2n6－9m2n6；

（5）ab3－7ab3+2ab3；（6）2ab2c－ab2c+4ab2c.

从教学实践中发现，学生对“结构”相同高度敏感，能够主动调取数的运算经验，将运算律推广到结构相同的式的运算中，依据数的运算经验归纳概括出一些简单“结论”，如“每个问题中的两个（或多个）单项式除了数字以外都是相同的……”，尽管这样的表述不够精准，但却是知识的正向迁移过程，主动将分配律推广到式的运算中.其实，这段材料中的思想方法绝不止于此，由于“字母表示数”，因此运算律在式的运算中依旧成立，所以数式通性是根本指导思想.

2.3.2 归纳要素，获得概念和法则

设计：对于以上每一组“结构相同”的单项式，可以利用分配律相加.那么到底什么是“结构相同”？这样一个模糊的表述能否用单项式的要素加以解释？这样的每两个单项式的要素之间满足怎样的关系？

同类项概念是本节课的重点，对要素的归纳过程是本节课的难点，难在概念的归纳与它的上位概念单项式相关，因此设计了一组问题串引发学生的思考.具体教学中可以以直观的形式对单项式的要素作分析，如图2：

在分析了同类项的要素特征后，需进一步追问：在合并同类项的过程中为什么可以将系数相加，字母连同指数不变？这样操作的理由需进一步明确：字母可以表示数，所以在数中成立的所有规律，在式中都可以沿用，这是数式通性的体现.

上述设计的出发点是根据要素特征归纳出同类项的概念和法则，用加数与和的关系归纳出同类项的本质特征代替模糊表述的“结构”，即“所含字母相同，相同字母的指数也相同”是两个单项式能够相加的基础.通过进一步归纳获得同类项的概念以及合并同类项的法则，在数式通性思想下使用分配律获得概念与法则，归纳、转化等思想方法同步得到渗透.

2.4 落实运算技能

从概念教学流程来看，获得概念与法则之后，落实运算技能是必备环节.另外，“合并同类项”向上承接单项式（整式）概念，向下为整式加减提供运算原理，处于整式加减运算的关键节点，是第一次对式实施运算，因而是式的运算开端，所以本环节需要在阐明原理的基础上规范思考，形成解决问题的基本步骤.

设计：

例1 合并多项式中的同类项4x2－2x+7+3x－8x2.

例2 （1）求多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x=1.

（2）求多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x1=－1.8，x2=53，x3=－998.

考虑到同类项的概念主要通过具体运算来落实，因而设计中没有单独的“概念辨析”环节，而是将其隐含在例1中，以辨析（同类项概念）—分组（加法交换律结合律的使用）—合并（合并同类项法则的使用）来实现.而例2不但承载了步骤化解题的功能，还兼顾了方法的合理选择功能.第（1）问中，对于x=1而言，无论是先合并后代入（式的运算），还是直接代入（转化为数的运算）均比较简单，为后续形成认知冲突埋下伏笔.第（2）问需要合理选择方法，帮助学生体验多项式运算的结果具有一般性，只需对合并之后的结果取特殊值即可，如果将多项式的加减转化成熟悉的有理数运算，不但不具有一般性，而且复杂易出错.

从能力培养层面看，合并同类项的步骤化操作中蕴含着运算技能的培养：运算对象的认识（明确观察式子，划出同类项）—运算方法的认识（用运算律进行项的交换、结合等）—按步骤进行操作（得到运算结果）—形成自动化（思维和能力提升）.对思维的逻辑性的培养，使解决问题的过程更加有序，从更高层次看是培养学生良好的做事情习惯.

2.5 构建知识框架

2.5.1 课时小结

设计：①本节课主要学了什么知识？②为什么式的运算可以使用运算律？③同类项的概念和合并同类项法则是怎样获取的？④你有办法解决两个多项式加减问题吗？

这几个问题不但回顾了本节课的知识内容、研究思路，还结合教学内容揭示了所反映的数学思想和方法，以期达到理解本质、领悟思想、掌握方法、形成结构等目的.

2.5.2 单元小结

从单元整体视角来看，每一节课教学都是构建单元知识体系过程中的具体环节，因此单元教学完成后，仍需进一步小结并构建单元知识框架，如“整式加减”单元框架（如图3）.

2.5.3 主题小结

从数学的整体性来看，单元与单元之间的有机衔接形成教学主题.基于这样的观点，同一主题之下不同单元的学习过程是更大的知识框架建构的过程，也是统一认识的过程.如整式的加、减、乘、除、乘方、开方运算全部学完后，可以构建“数与式”的运算研究结构框架图（如图4），将式与数的研究方式统一.从本质上看，整式的运算是数的运算的推广，因而数的运算的全部法则和运算律在整式运算中都没有发生改变，数式通性是研究思想，归纳是基本研究方法.点滴积累，反复实践都是对学生素养的培育和提升.

3 教学设计思考

对于单元整体教学设计，还需要遵循以下原则.

3.1 遵循数学内部规律

任何一节课在单元整体视角之下都有其所属的“领域→主题→单元”，不同的视角对教学有不同的要求，如“用归纳的方法研究代数、用类比的方法研究几何”是“领域”视角下的研究要求；“数式通性”是对“主题（单元）”视角下的研究要求.这些反复强调的思想方法和教学手段是对数学内部规律和一般观念的遵循.事实上，由于同一类数学对象的研究套路、数学思想和方法一脉相承，因此教学设计必有其可以遵循的内在规律，要从更高的视角认识教学内容，用相同的套路解决不同的问题，从知识结构、认知结构、综合应用上进行系统整合.

3.2 尊重不同课型差异

本文中的案例是一节概念教学课，因而以概念教学基本流程为明线，融思想方法于其中展开设计，所阐述的操作路径分析仅限于新授课.事实上，由于课型不同（概念课、规则课、习题课、复习课等）、学习阶段不同，对学生能力和素养的培养各有侧重，因此教学设计要关注课型差异，根据课型功能对设计做出相应调整.

3.3 明确主导突出主体

单元整体教学需要教师发挥主导作用，从师生所拥有的知识水平来看，学生显然不具备纵观知识整体的水平，教师要做学生思维的引领者，围绕核心概念通过合理的问题设计，为学生搭建学习阶梯，引导学生的学习活动，激发学生的主动学习意愿，让学习真实发生.“用数学的方式育人”是数学教育的最终落脚点.