“三会”视角下的概念教学

李进

[摘要]文章基于“函数的单调性”教学内容，从实际问题中抽象出数学问题，从图形语言过渡到自然语言，在基于“三会”视角的学习探究过程中，数学表达由粗略到精准，自然生成函数单调性的概念，渗透数学学科核心素养．

[关键词]概念教学；“三会”；单调性

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出“三会”即“会用数学眼光观察世界．会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”，而概念教学是发展学生直观想象、数学抽象素养以及落实学生“三会”的重要载体．同时“三会”又与“六大核心素养”关系密切．高中数学课程标准修订组组长史宁中教授认为：数学的眼光就是数学抽象，与数学抽象关系密切的是直观想象；数学的思维就是逻辑推理．而数学运算则是逻辑推理的一种特殊形式；数学的语言就是数学模型，现今数据分析变得越来越重要，逐渐形成了一种新的数学语言．陕西师范大学罗新兵教授等人认为：“三会”的本质是数学学习的一种“结果”．也是学生具有数学素养的一种表现．可见，在概念教学中有效落实“三会”有利于学生数学学科核心素养的提升．因此．在数学教学时．我们可以按照“三会”来设计和实施教学活动．笔者以苏教版必修第一册第五章的“函数的单调性”这一节课的教学设计为例．浅谈笔者的想法和做法.

教材分析

函数的单调性是高中阶段学生接触并研究的第一个函数性质．也是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的性质，研究函数单调性的一般方法是数形结合、由直观到抽象、由特殊到一般，学生借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数图象“升”“降”变化的直观特征，用自然语言描述为“y随着x的增大而增大（减小）”，进一步量化，发现“y随着x的增大而增大（减小）”的数字特征，获得数学符号表达．完成对数学概念的形式化、符号化．通过函数单调递增（减）、增（减）区间以及增（减）函数概念的生成，逐步完善函数的单调性的知识体系．同时．学生用符号语言分步逐句翻译、表征自然语言获得单调性的概念，为后续奇偶性、周期性等知识的学习积累丰富的活动经验．

学情分析

学生在初中已经结合一些常见的基本初等函数对单调性有了“定性”的认识，能够从图象的直观变化感受图象的上升（下降）趋势．具备用自然语言描述这种变化趋势的能力．学生在第二章“常用逻辑用语”中学习了全称量词和存在量词．会用数学符号语言表述存在量词命题及全称量词命题，为函数单调性的“定量”研究做好了知识储备．

教学目标

从“形”和“数”两方面理解函数的单调性．能利用函数图象判断函数的单调性．能利用定义对一些简单函数的单调性给出形式化的证明．

通过对函数单调性定义的探究．渗透符号化与形式化、数形结合思想方法．培养学生观察、判断、抽象、概括能力.

教学难点

用符号语言来形式化表征函数的单调性.

教学过程

教学流程设计

1．情境引入，提出问题

问题情境：如图2所示，气温θ是关于时间t的函数，记为θ=f（t）．观察这个气温变化图．说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的．在哪些时间段内是逐渐下降的？

追问：生活中还有其他具有这种“升”“降”的例子吗？

生1：心电图、股市走势图等．

师：有很多函数具有类似性质，这就是本节课我们将要研究的函数的重要性质——函数的单调性．

设计意图 由贴近学生生活的情境引领学生感悟生活与数学之间的联系，学会运用数学眼光感知世界，从实际问题中抽象出数学问题．完成第一次数学抽象过程．

2．合作探究。生成概念

问题1 观察下列函数图象．指出它们的变化趋势．

生2：从左至右看，有的图象是上升的，有的图象是下降的，有的图象在一些区间内是上升的、在一些区间内又是下降的.

追问：图象这种“升”“降”规律反映函数值y随着自变量x的增大是如何变化的？

生3：在某个区间内，图象从左至右上升←→在某个区间内，y随着x的增大而增大．在某个区间内．图象从左至右下降←→在某个区间内y随着x的增大而减小.

师：你能说出函数y=x+1/x在哪个区间内y随着x的增大而增大吗？

生4：不能，因为不清楚这个函数图象是怎样的．

师：在我们学习的过程中，有时候遇到的函数有解析式但不清楚其图象．或者图象不明显．无法利用图象观察得到“y随着x的增大而增大（减小）”的结论，因此我们有必要进一步研究如何来刻画“y随着x的增大而增大（减小）”．

设计意图 由生活中的现实情境过渡到数学中的函数实例．为用数学思维思考世界提供具体的数学问题，将图形语言的“上升（下降）”过渡到自然语言的“y随着x的增大而增大（减小）”，完成第二次数学抽象过程．同时．在概念建构过程中让学生意识到用符号语言进行表征的必要性.

问题2 如何用数学符号语言来刻画“在区间D内，y随着x的增大而增大”？

（学生独立思考，小组合作讨论．）

生5：取x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）．

师：你这里“x1＜x2”体现的是什么？“f（x1）＜f（x2）”体现的又是什么？

生5：“x1＜x2”体现的是“x增大”，“f（x1）＜f（x2）”体现的是“y增大”．

师：“y随着x的增大而增大”能不能保证“x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”？取“x1，x2”两个值能保证“y随着x的增大而增大”吗？

（小组再次合作讨论）

生6：“在区间D内，y随着x的增大而增大”能推出“在区间D内，x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”，但“在区间D内，x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”不能保证“在区间D内，y随着x的增大而增大”，范例如图4所示．

在范例中，“在区间（0，+∞）内，x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”，但“在区间（0，+∞）内，y随着x的增大而增大”不成立．因此，应该改为“在区间D内，所有的x1

师：在第二章“简易逻辑用语”中我们学习了两个逻辑联结词“任意”和“存在”．所以这里的“所有”我们可以用“任意”来替代.

师：我们再来看这句话，“在区间D内，y随着x的增大而增大”，这里“随着”怎么体现？

生7：当x1＜x2时.

师：这里“在区间D内”怎么体现？

生8：x1∈D，x2∈D．

最后得到结论如下：任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）←→在区间D内，y随着x的增大而增大.

设计意图通过问题串引导学生思考，给予学生表达、修正的机会．学生先独立思考形成初步认识．再小组合作讨论、思维碰撞提升认识，在此过程中学会用数学语言表达世界，感知数学语言的严谨性、数学概念的完备性．将自然语言“y随着x的增大而增大”过渡到符号语言．完成第三次数学抽象过程，通过对这两种描述方式的对比．让学生体会数学符号语言的美.

问题3 如何用符号语言刻画一般函数y=f（x）在定义域l内的区间D上单调递增？

问题4 能类比函数单调递增的定义得到函数单调递减的定义吗？

设计意图 由特殊到一般．学生归纳出函数单调递增的定义．类比出函数单调递减的定义，学生的思维得到升华；在数形结合中体会数学语言与数学图象的一致性，学会用数学思维分析世界．

3．例题精讲，迁移内化

例1 画出函数y=1/x（x≠0）的图象，并写出其单调区间．

生9：递减区间（-∞，0）U（0，+∞）．

师：这个结论对不对？符不符合定义？

生10：-1<1，但f（-1）＜（1），因此y=1/x在定义域内不是单调递减的．

师：所以函数的单调性是局部性质．不一定在整个定义域内具有单调性．

例2 证明：函数f（x）=1/x-1在区间（-∞，0）内单调递增．

（学生独立证明，小组合作讨论．）

设计意图 例1是利用函数图象判断其单调性．引导学生理解函数的单调性是对定义域内某个区间而言的．它是函数的局部性质．例2是应用定义给出形式化的证明，培养学生运用符号语言的习惯．两个例题引导学生从“形”和“数”两个方面理解函数的单调性．

4．课堂小结，收获经验

本节课学习了哪些知识？我们是如何得到这些知识的？你有什么收获？

设计意图合理归纳总结．形成思维体系，感受思想方法，提升数学素养．

5．课堂延伸，升华思维

（1）记y2-y1=△y，x2-x1=△x，那么函数的单调性与△y/△x的符号有什么关系？

（2）利用定义研究函数f（x）=x+1/x的单调性．

设计意图 继续深化函数单调性的应用．引领学生深刻认识概念的内涵与外延．提升数学运算等核心素养．

教后反思

1．注重概念的自然生成，培养数学素养

本节课是一节数学概念课．学生获得单调性概念的数学抽象过程分为三个阶段：

（1）用数学眼光观察世界.

课初引入环节，将实际问题去生活化转化为数学问题．抽离出事物的本质特征．用图形语言进行表征——在什么范围内图象从左至右上升，在什么范围内图象从左至右下降．从而提升学生的数学抽象和直观想象素养．

（2）用数学思维思考世界.

在概念探索环节，借助小组合作的方式．鼓励学生深入思考，从而将图形语言过渡到自然语言——y随着x的增大而增大（减小）．在自主探索的过程中．学生的逻辑推理能力得到发展．

（3）用数学语言表达世界.

通过设置问题串．充分给予学生表达、修正的机会，将自然语言过渡到符号语言，用符号语言分步逐句翻译“y随着x的增大而增大（减小）”，最大限度地尊重并引导学生建构“自己的表达”．从而生成函数单调递增（减）、增（减）区间、增（减）函数等概念．最后设置课堂小结环节，不断加深学生对研究函数性质的一般方法的理解，提升学生的数学抽象素养．

2．关注学生的学习方式，提升学习力

在整节课的教学中．关注“三会”目标的同时遵循学生的认知规律．利用学生自主探究、小组合作等方式充分发挥学生的主观能动性，在探索的过程中逐步感悟特殊到一般等数学思想，对于小组合作学习环节．教师要提前建立学习小组．以4-6人为一组，设置组长一名．要求组长组织合作学习的开展．教师提出问题后．先让学生独立思考．然后让学生小组交流．交流时分工明确，轮流发言，一人发言，其他人认真倾听，中途不打断，不重复别人的发言．可以补充别人的发言．小组内达成共识后由组长汇总记录，汇报时由一人作为代表即可，小组合作学习不限于小组内、课堂内，以形成一个数学学习与研究“共同体”为目标．学生在合作中积极倾听、分享表达，增强合作意识，提高合作能力，提升学习效能．本节课讲解的是函数单调性的研究步骤与方法．为学生研究函数的其他性质提供了依据，增强了学生自主学习的能力．