高中数学“阅读与思考”栏目的教学实践与思考

摘  要：贯彻课程标准精神，有效发挥阅读材料的育人功能，深入挖掘阅读材料的教育价值，取决于一线教师对阅读材料的态度和实践. 目前，存在一线教师对“阅读与思考”栏目高评价、低应用的问题. 文章以“函数概念的发展历程”为例，探析“阅读与思考”栏目的教学实践与思考.

关键词：阅读与思考；教学实践；函数概念

中图分类号：G633.6     文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）03-0046-06

引用格式：赵文博. 高中数学“阅读与思考”栏目的教学实践与思考：以“函数概念的发展历程”为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（3）：46-51.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）在“教学建议”中提出：“在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，感悟数学的价值，提升学生的科学精神和人文素养.”并指出将数学史融入教学“有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开拓学生视野、提升数学学科核心素养”.

对此，人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）除了在各章节的引言或旁白中嵌入一些数学文化内容，还设置了蕴含数学文化的“阅读与思考”“探究与发现”“文献阅读”与“数学写作”等栏目. 这些阅读材料将探究性学习、数学文化和数学建模活动等融为一体，有助于学生理解、学习相关数学知识，突出了数学的人文背景，让学生了解到数学并不是枯燥的符号公式，而是一门具有深厚人文底蕴的学科，调动了学生探究学习的欲望，其对中国古代数学成就的介绍有利于激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国精神.

能否贯彻落实《标准》精神，有效发挥阅读材料的育人功能，取决于一线教师对阅读材料的态度和实践. 然而，在教学实践中，对阅读材料高评价、低应用的现象普遍存在，很多教师对阅读材料的教学仅停留在带领学生读一读、看一看的阶段，缺乏深度和广度. 如何对“阅读与思考栏目”进行加工，以使其更好地为教学服务，增加教学的弹性，体现其教育价值，是一个亟须解决的问题. 为此，笔者以“函数概念的发展历程”为例，探析“阅读与思考”栏目的教学实践与思考.

一、教学设计构架

“函数概念的发展历程”是教材必修第一册第三章“函数的概念与性质”的“阅读与思考”栏目的内容. 在此之前，学生已经学习了函数的概念和表示方法，学习过程一直经历着对初高中相关数学知识的融合和比较，很多学生对函数的概念的理解停留在“能写出解析式的就是函数”和“函数就是两个变量之间的关系”上，对高中阶段函数概念的“集合对应”理解不到位，以致在定量刻画函数的单调性、奇偶性时存在困难，导致学生在解决函数问题时更倾向于从容易理解的水平进行判断.

学生对函数的理解过程，与历史上数学家对函数的探究过程具有相似性. 因此，“函数概念的发展历程”内容的教学对学生理解函数的概念具有极大的促进作用.

从数学知识的角度来看，不仅可以让学生了解函数概念的发展历程，更重要的是让他们体会函数概念发展的历史原因，跨越认知障碍，从数学文化的角度进一步理解函数的概念；从数学育人的角度来看，不仅是让学生了解函数在生活生产、科学技术、社会发展中的作用，以及函数的概念表述的变化，体会数学概念抽象的层次性，更重要的是让他们感受数学精神和数学文化，培养学生的直观想象和数学抽象素养；从教学评价的角度来看，参照历史坐标，可以对学生的函数概念理解水平进行诊断，也可以对已经完成的函数概念教学进行反思，从而对后续函数性质的教学进行调整.

“函数概念的发展历程”这一阅读材料介绍了函数概念产生和发展的背景，函数一词的来历，函数概念发展历程中由解析式到变量再到对应，并提出问题：你能以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗？

将“阅读与思考”栏目内容中的一段史料设计成一节课，既有挑战更有乐趣，没有既定的教学案例可以参考，可以更灵活地采用课题研究、论文撰写、展示交流等多种教学方式体现其价值.

本节课以课前阅读、课上交流、课下写作的思路进行教学设计，流程如图1所示.

二、教学过程分析

1. 前置阅读任务

课前阅读“函数概念的发展历程”材料，并查阅和搜集有关函数概念发展历程的素材，通过查阅和搜集素材，独立思考以下问题.

（1）函数概念产生的背景是什么？

（2）函数概念经历了哪些发展历程？

（3）从数学史的角度来看，初中阶段和高中阶段对函数概念的定义有什么不同？

（4）中文“函数”一词是如何引入的？

【设计意图】让学生阅读材料，在阅读中思考，在思考中阅读.

2. 师生活动，展示交流

活动1：阐述函数概念的发展背景.

问题1：函数概念产生的背景是什么？

针对阅读材料的描述，研究运动过程需要明确变量之间的关系，这是函数概念产生和发展的背景. 由此引导学生进一步思考，17世纪的科学家为什么要计算天体的位置，为什么要远距离航海，为什么要计算炮弹的射程，让学生站在历史的角度思考一个数学概念的产生背景，了解数学是推动社会进步的工具.

【设计意图】让学生体会一个数学概念的产生不仅源于数学本身，还源于社会发展和生产的需要.

活动2：梳理函数概念的发展阶段.

问题2：函数概念经历了哪些发展历程？

学生通过交流整合资料，对函数概念发展的历史进程进行简单重构，明确函数概念发展的五个时期为：几何起源—解析式说—变量依赖—对应说—关系说.

【设计意图】“函数概念的发展历程”阅读材料介绍的是函数概念发展的简史，重点阐述了初高中需要学生掌握的函数变量说和对应说，但是对函数概念发展的必然性、演变的复杂性和概念的进阶性介绍得不够详细. 学生通过交流分享整合资源，梳理函数概念发展的线索，增长数学见识.

活动3：展示函数概念的发展历程.

思考1：如图2，在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的任意一点P运动时，你能找出哪些几何量也随之变化吗？

学生很容易想到点[P]到[x]轴、[y]轴和原点的距离都在变化，[∠xOP]的大小也在变化，如果过点[P]作切线，与[x]轴交于一点，则点[P]到这个交点的距离也在发生变化.

由这些几何量的变化与函数的关系，引出函数概念的几何起源.

学生展示：展示内容如表1所示.

生1：原来函数概念起源于几何，是随着点的横坐标变化的几何量，学习函数图象很重要.

师：是的，几何起源不仅是函数图象的雏形，后续大家所学习的一些数学定义都源于对几何图形的抽象，数形结合思想是我们理解数学概念的重要工具.

生2：应该如何刻画变量之间的关系呢？

师：这是个好问题，历史上数学家们在解决微积分问题时也遇到了同样的问题，他们是如何解决的呢？

学生展示：展示内容如表2所示.

生3：数学家们通过解析式刻画了两个变量之间的关系.

师：函数概念的发展经历了从对几何图形的理解到对代数式的表达的过程. 对此，你有什么想法吗？

生4：解析式能够更精确地表达两个变量之间的关系.

生5：所有的函数都有解析式吗？所有的函数都有函数图象吗？

师：大家的想法特别棒，提出的问题也是当时困惑数学家们的问题.

思考2：18世纪中期，数学家们一直在争论振动弦问题，即拨动一根两端固定的弹性弦，使其具有某种初始形状，然后将其释放出来振动. 如何用函数描述某一时刻弦的形状？

生6：如果把弦的振动看成一段音乐的话，可以用简谱描述声音的变化.

生7：声音是连续的，可以用弦离开平衡位置的位移来描述弦的变化，但是时间和位移之间的解析式怎么写呢？

师：当弦振动时，数学家们对任意一段曲线是否有函数解析式展开了讨论，从而推进了函数概念的发展.

学生展示，展示内容如表3所示.

生8：也就是说，函数不一定能用函数解析式来表达，只要两个变量之间有依赖关系，那就是函数.

师：是的，欧拉和柯西定义函数的方式朴素地反映了函数概念中蕴含的辩证思想，体现了从自变到因变的过程，自此函数的“变量依赖”定义登上了历史的舞台.

思考3：1829年，德国数学家狄利克雷因为傅里叶级数创造了一个新函数：[y=1，x∈Q，0，x∈?RQ，] 这个函数用“变量依赖”定义如何解释呢？

生9：这个函数不能用变量依赖定义解释，也不能画出它的函数图象.

师：用高中学习的函数定义能解释吗？

生10：可以用高中学习的函数定义来解释. 有两个集合分别是[A=R，B=1，0]，[A]中的任意一个元素在[B]中都有唯一确定的一个元素与它相对应，所以这是从集合[A]到集合[B]的函数.

师：狄利克雷自圆其说了他创造的函数.

学生展示：展示内容如表4所示.

师：从变量对应到集合对应，函数对应说摆脱了变量的约束，将函数概念置于集合映射这一更加一般的框架之中，较清楚地说明了函数的内涵，使函数的适用范围更广泛.

生11：原来对应说经历了变量对应和集合对应，集合对应就是我们高中学习的吧.

生12：从狄利克雷创造函数到他对这个函数的解释，我觉得他特别有创造力.

师：是的. 历史上很多数学家都是逆境成才、永不言弃的典范，也都是勤学不怠、百折不挠的楷模. 我们要汲取榜样的力量，锤炼坚强的意志，向数学家学习.

学生展示：1939年，法国的布尔巴基学派还给出了十分形式化、抽象化的函数定义. 设[A]与[B]是给定的数集，[f]是笛卡儿乘积集[A×B=x，yx∈A，y∈B]的一个子集（也称[A]与[B]的一个关系），如果对于任意[x∈A]，存在唯一[y∈B]，使得[x，y∈f] （等价于若[x，y∈f， x，z∈f，] 则必有[y=z]），则称[f]是定义在[A]上、取值在[B]中的函数. 这个定义是在集合论的基础上，消除了变量、对应的用语，是完全数学化的定义. 这个定义被称为“集合关系说”.

师：至此，数学家对函数概念的讨论并没有完结，函数空间、泛函、广义函数概念、超广义函数概念还在不断地丰富和涌现，而且随着研究的深入，函数概念得以不断严谨化、精确化.

思考4：在函数概念发展的五个阶段中，历史动因是什么？概念的进阶性又体现在哪里？

经过师生讨论，得到如表5所示的内容.

【设计意图】教材中“函数的概念”一课基于知识结构和逻辑关系的需要，根据现实生活中列车运行、工资标准、空气质量指数、恩格尔系数创设情境建立函数集合对应关系. 仅凭对教材内容的学习，学生难以获得数学知识的原貌和全景，忽视了那些被历史淘汰掉的、但对现实科学有用的数学背景. 因此，从数学史上曾让数学家感到困惑的问题出发，设计同样或类似的问题情境，激发学生学习数学的兴趣，并通过学生展示后的师生互动，让学生自己提出困惑和问题，深入分析、理解数学知识的本质. 最后通过总结，让学生从根源上理解概念为何这样规定，从而实现对数学概念的深层次理解. 同时，教师可以对学生对函数概念的理解水平进行诊断.

活动4：以史为鉴，理解函数概念.

问题3：从数学史的角度来看，初中阶段和高中阶段对函数概念的定义有什么不同？

生13：初中阶段的函数定义是变量说，高中阶段的函数定义是集合对应说. 高中阶段的函数定义更抽象了.

生14：不对，初中阶段的函数定义也是对应说，x是自变量，y是因变量，高中阶段的函数定义中增加了x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合[fxx∈A]叫作函数的值域.

生15：初中阶段的函数定义只说y是x的函数，高中阶段的函数定义表达的是f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作[y=fx，x∈A].

师：大家说得都很好，从数学史的角度来看，初中阶段动态的描述性定义是欧拉的变量依赖说与黎曼的变量对应说的产物，生动直观，突出了函数变化的特征，又蕴含着对应的本质. 高中阶段静态的表述定义是维布伦的集合对应说与戴德金的映射定义结合在一起演变而来的，形式化和精确化的集合论语言凸显了函数是一个整体概念，普适性更强.

【设计意图】从数学史的角度解释初中阶段和高中阶段函数定义的不同.

问题4：中文“函数”一词是如何引入的呢？

生16：1859年，清代著名数学家李善兰和英国传教士伟烈亚力合译《代微积拾级》，首次把“function”翻译成“函数”. 在中国古代“函”与“含”通用，都有“包含”的意思. 书中定义为“凡式中含天，为天之函数”，中国古代用天、地、人、物四个字表示四个不同的未知数或未知量，因此该定义翻译成现代文就是“凡公式中含有变量[x]，则该式子称为[x]的函数”. 书中又解释道：“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即一个量中包含另一个量，则这个量就是另一量的函数. 李善兰所译的函数概念是解析式说.

【设计意图】介绍中文“函数”一词引入的过程，增强学生的民族自豪感.

3. 归纳总结，布置作业

（1）以时间轴、图表或思维导图的形式整理函数概念的发展历程.

（2）通过查阅书籍、上网等方式搜集素材，进一步了解函数概念的发展历程，选择自己感兴趣的一个主题形成数学小论文，在班里交流讨论.

参考选题：函数产生的社会背景；函数符号的故事；数学家与函数.

【设计意图】整理函数概念发展的历史线索，布置数学写作的任务，发挥“阅读与思考”栏目的作用，课内知识和课外拓展相结合深化学生对函数发展历程的了解.

三、教学思考

1. 借助数学史料，培养阅读能力

“阅读与思考”栏目是教材内容的一个重要组成部分，数学文化渗透其中，数学史浸润延伸，阅读是积淀，思考是升华. 因此，对其相关内容的教学可以分为两个阶段：先读，目的是培养学生的自学能力，个别不懂之处可以请教老师；再思考，正所谓“学而不思则罔”，读懂了不是目的，应用、思考、探索，开阔视野，拓宽思维，以材料为“酵母”让学习“发酵”，才是栏目设置的初衷和教学的出发点. 因此，要在读与思的过程中，让学生读懂文化背景，获取数学信息，理解数学内涵，应用数学知识，解决实际问题. 例如，在“函数概念的发展历程”教学过程中，学生在阅读史料时会遇到很多数学专业术语，如狄利克雷函数、傅里叶级数、积分等，这些术语会极大地激发学生的学习兴趣和创造力，有些学生还在课后专门购买了高等数学的书籍，想进一步了解这些术语背后的数学知识，这就是阅读的魅力. 通过阅读数学史料，让学生实现从掌握阅读方法到提升阅读技能的跨越，并将阅读技能迁移至日常的数学阅读中，逐步形成良好的数学阅读习惯，积累数学阅读经验，发展数学核心素养.

2. 应用数学史料，彰显教育价值

函数概念的建立从直观到抽象，从模糊到严谨，从朴素到深入，逐步完善，符合我们认识事物的一般规律. 初中阶段到高中阶段函数定义的进阶是函数概念发展历程的一个缩影，函数的由来是数学家理解数学概念的一个真实写照. 学生学习数学知识的过程具有相似性，这是一种数学精神的传递. 在思考中阅读“函数概念的发展历程”阅读材料，渗透数学文化，凸显了数学的人文情怀，让学生了解到数学不是冷冰冰的公式和符号，这背后有着很多数学家为之思考和探索的经历；让学生感受到前人对科学执着探索的精神，激发学习热情；让学生参考数学家的思考方式，认识函数概念发展的来龙去脉，帮助学生更加系统地理解函数概念的发展历程. 带领学生从数学史的角度理解函数的概念，了解不同的定义方式体现了函数概念的进阶，也体现了时代的进步和发展. 当一个概念以历史的发展过程呈现时，揭示的是知识发展的自然与和谐. 所以从数学史的角度呈现数学概念，赋予了数学概念鲜活的生命力，打开了学生学习数学的另外一扇大门. 通过这种方式，学生会更深刻地理解概念、理解思想、理解历史，这就是史料的育人价值.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建锋. 人教A版新教材中“阅读材料”的内容分析与教学思考［J］. 中学数学教学参考（上旬），2023（1）：38-41.

［3］李兵. 高中数学“阅读与思考”栏目教学研究［J］. 中学数学教学参考（上旬），2021（11）：30-32.