结构化视角下解析几何的教学内容分析

虞涛 时杰

摘  要：结构化视角下，对中学数学教学内容的把握需要体现联系入手、整体思考和发展演绎的特点. 在此结构下，分析了解析几何的建立框架，包括其建构设想、学科基石、方法精髓和教育价值，提出解析几何的研究重点应该包括用代数方法研究几何问题的学科观念、建立曲线与方程对应的知识脉络，以及以曲线方程和坐标法为核心和纽带.

关键词：结构化；解析几何；学科框架；学科核心

中图分类号：G633.6     文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）03-0014-05

引用格式：虞涛，时杰. 结构化视角下解析几何的教学内容分析［J］. 中国数学教育（高中版），2024（3）：14-18.

课程内容结构化是新一轮课程改革的重要议题，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）在“前言”关于“修订的主要内容和变化”中强调“重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领”，并在“教学与评价建议”“学业水平考试与高考命题建议”“教材编写建议”中反复强调. 关注课程内容的结构化是由数学的联系性和整体性特点决定的. 数学的结构是客观存在的，只有从整体上看待数学，才能把握数学内容的本质，厘清中学数学课程内容的结构与发展脉络，建立各条内容主线之间的逻辑关联，从而发展学生的数学核心素养.

结构化视角下对中学数学教学内容的把握体现在三个方面：其一，联系入手，站在数学知识整体的立场探寻知识产生的背景，捋顺知识发生发展的逻辑过程和知识之间的层级关系，理解知识外在的符号表征；其二，整体思考，确定知识的核心概念，以核心概念为中心将形式分离但本质一致的内容统整起来，构建前后一致、逻辑连贯的内容主线；其三，发展演绎，剖析内容主线中知识学习的渐进性，提炼内容主线中蕴涵的数学思想和方法，优化整合促进不同数学思想方法的融合，形成统摄性更强、适用性更广的数学一般观念，促进数学学科进一步更新迭代. 本文尝试基于结构化视角，分析沪教版《普通高中教科书·数学》选择性必修第二册（以下统称“新教材”）中的解析几何内容，供数学教师研究参考.

一、解析几何的建立框架

1. 解析几何的构建设想

17世纪的数学家笛卡儿认为，古希腊的几何学只限于形，演绎推理只能证明已经发现的事物，却不能帮助发现未知的事物，而代数受公式和法则的束缚. 他希望能将几何学和代数学中最好的东西结合起来，取长补短. 他想要创造一个理想的解决各种问题的“万能方法”：任何问题—数学问题—代数问题—解方程. 要实现包含数形转化、数形结合和各取所长的想法，需要两个基本要素，或者说需要两个基本想法：一个是坐标想法，另一个是点的运动变化想法. 坐标想法使“点”和“数”之间形成联系，运动变化想法则通过点动成线，把曲线上的“点集”和相应方程的“坐标数集”对应起来，且能够相互转换，实现了曲线的代数化，从动态的角度解决了几何问题. 这两个基本的萌芽想法最终不断完善发展，促使解析几何成为数学发展过程中的重要学科分支.

2. 解析几何的奠定基石

从这两个基本想法谈起. 先说前者，点与数组如何对应起来？即如何选取基线. 这就需要构建坐标系的灵感. 在平面上建立坐标系，建立点与有序的一对实数的一一对应关系. 数对就是所谓平面上点的横坐标和纵坐标. 这样给出了点的位置数量化的具体方法，是从“形”到“数”的基本出发点. 再议后者，在运动变化想法的前提下，以平面情形为例，动点的坐标成为两个变量，曲线成为两个变量的关系. 将带有两个变量的方程与平面上的一条曲线对应，建立起对应的统一体. 已知给定一条平面上的曲线C，把曲线看成动点M的轨迹. 利用点的坐标的概念，可以建立曲线C在平面坐标系中的二元方程[F]，使得该曲线上任何一点的坐标都满足这个二元方程[F]，而不在该曲线上的任何点的坐标都不满足这个二元方程[F]. 一个二元方程[F]的解集所对应的点集确定了平面上的曲线C. 在几何图形与代数方程的统一下定义曲线的方程（或方程的曲线）的核心概念. 因此，对“平面直角坐标系”“坐标”“曲线的方程（方程的曲线）”等概念的定义，完成了解析几何的奠基工作.

3. 解析几何的方法精髓

构建解析几何的第一想法，是点与数组的对应，将几何中的基本元素“点”和代数中的基本研究对象“数”建立起对应关系. 这是由形到数，数形结合的基本点. 利用坐标系，可以建立平面上的点与有序的一对实数的对应关系. 构建解析几何的第二个想法，是点的运动变化，使得几何图形与代数方程达成了统一. 这里需要把曲线看成动点的轨迹，动点就可以用一对有序的变数来表示. 在此基础上，平面上的曲线就可以用方程来表示. 这是依形判数，数形结合的转折点. 于是，可以通过研究方程的代数问题来研究曲线性质的几何问题，需要使用代数方法进行字母推导运算，这是由数推形，数形结合的制高点，也就是解决几何问题的关键点. 可以看到，解析几何充分利用了代数方法和几何方法中最有利的功能：几何图形的具体、直观和形象，便于想象、认识和理解；代数方法的表达方便、结构清晰、操作性强，以及可程序化. 解析几何数学分支的建立实现了笛卡儿对普适性方法探索的初衷. 它的创建是科学发展的需要，也是数学学科发展对普适性方法的需求，具有强烈的方法论的观念. 因为数学是从“数”和“形”两个视角展开研究的，所以数形结合是中学数学的主要思想方法，而解析几何正是数形结合的经典数学分支.

4. 解析几何的教育价值

解析几何素材具有丰富的教育价值. 在解析几何发展的各个阶段都可以呈现出教育价值，包括应用价值、人文价值、科学价值、创新价值和审美价值等. 在探究圆锥曲线的起源阶段，可以了解圆锥曲线名称的来历，以及如何从图形角度进行定义，感受圆锥曲线的现实背景；在查阅圆锥曲线的历史成果阶段，可以欣赏并感受古希腊数学家的理性与智慧，明确解析几何的发展史，感受解析几何悠久的学科历史；在解析几何学的创立阶段，可以分析解析几何的核心学科思想，以及它对数学学科发展的重要作用，了解从数量关系角度定义圆锥曲线的时代背景和学科发展背景，引出圆锥曲线的几何性质；在圆锥曲线性质的发现阶段，经历从具体情境中抽象获得圆锥曲线本质特征的过程，了解圆锥曲线的最初定义与圆锥曲线的本质特征的联系，渗透化归思想，体验数学模型思想的应用；在圆锥曲线的定义阶段，经历从数量关系角度定义圆锥曲线的过程，培养探索真理和理性分析的思维品质，掌握圆锥曲线的概念，引出椭圆的标准方程；在圆锥曲线的应用阶段，经历运用解析几何思想和方法解决实际问题的过程，了解圆锥曲线的实际应用，激发学生的学习兴趣，体会数学的应用价值.

二、解析几何的研究重点

1. 解析几何的学科观念

《标准》强调对数学概念本质的认识和基本数学思想方法的学习，如运用代数方法进一步认识、运用平面解析几何方法解决、感悟平面解析几何中蕴涵的数学思想等，还有进一步体会数形结合的思想. 这里简要说明这些思想方法之间的逻辑关系，如图1所示.

解析几何是数形结合的典范，是基于它将“数”与“形”的对立关系统一了起来，从而实现了用代数的观点和方法解决几何问题. 解析几何的思想方法主要包括坐标法和代数法. 新教材在“平面直角坐标系中的直线”单元着重运用坐标法，借助坐标系表示确定直线位置所需要的几何元素，构建多种形式的直线方程，并利用直线方程判定两条直线的位置关系. 在“圆锥曲线”单元涉及大量的代数运算，着重运用坐标系下的代数法建立曲线方程，研究几何性质及直线与曲线的位置关系. 曲线方程是坐标法和代数法实施的载体. 基于运动与静止的观念，把曲线看成动点的轨迹；基于二元变量的观念，形成曲线的方程或方程的曲线的概念. 至此，基于平面上的点与一对有序坐标的对应，在系列直线方程、圆方程、各种圆锥曲线方程概念建立的过程中逐步推进“数”与“形”的统一. 解析几何的研究发展成以“曲线的方程”为核心概念，包含众多子概念，如直线的方程、圆锥曲线的方程等. 因此，这部分内容应该以“曲线的方程”为单元主题开展学习. 当然，这种统一建立在平面坐标系的支持下. 因此，坐标系法，即在坐标系下进行点的坐标、直线的方程和曲线的方程的确定，是一种重要的代数运算方法. 坐标系建立、几何元素坐标的确立，以及坐标的运算使得代数方法成为几何图形研究的主要方法. 这样以形定数、借数推形，使得解析几何成为用代数方法来研究几何问题的一门数学分支. 事实上，新教材中函数、三角函数、复数和向量等知识发展的逻辑都是借助于坐标系，也让坐标法和代数法成为中学数学的基本方法. 因此，《标准》将解析几何纳入几何与代数主线，主张用代数方法研究几何对象.

2. 解析几何的知识体系

整个解析几何知识结构框架体系如图2所示. 第一层为数学，对数学学科的整体描述，是数学学科研究的宏观方向；第二层为数学核心素养；第三层为数学分支领域；第四层是关于解析几何学科分支的基本观念和初始目标，直达学科领域知识内核的描述；第五层是核心概念，包括坐标系与曲线方程；第六层是重要概念，是各种平面曲线，有圆、椭圆、双曲线和抛物线等，它们是建立方程和研究方程的出发点；第七层是基本概念，有各种直线的方程、圆的标准方程和一般方程、椭圆的标准方程、双曲线的标准方程和抛物线的标准方程；第八层是数学事实，这里有各种圆锥曲线的几何性质，包括对称性、顶点、范围和离心率等，从而揭示出体现最初直观感知的几何图形的多种特征.

3. 解析几何的知识脉络

在解析几何创立之前，几何与代数这两个学科分支彼此独立，但是随着生产实践的发展及学科发展的需求，迫切要求把几何和代数联系起来，沟通形和数之间的关系，使得几何与代数两大学科之间互相汲取新的内容，从而获得快速发展. 借助坐标，由点与数组的对应延伸到“按某种规律运动的曲线的轨迹”与“制约条件下两个变量的关系”的对应，继而上升为曲线与方程的对应，衍生出直线与二元一次方程、圆锥曲线与二元二次方程、运动的曲线与参数方程、旋转曲线与极坐标方程的对应关系，完成平面曲线与二元方程在数形结合上的对应，如图3所示.

4. 解析几何的核心概念

解析几何的终极目标是用代数的观点与方法解决几何问题，为了实现这一目标，仅建立几何与代数的对应关系是不够的，还要进一步将几何与代数融为一体，达成统一. 由此，曲线的方程的概念成为解析几何理论赖以建立的支柱. 新教材尽可能用通俗的语言描述曲线的方程和方程的曲线的定义：在直角坐标系中，给定一条曲线和一个关于x与y的二元方程. 如果给定曲线上的每一点的坐标都是该给定方程的解，而且以给定方程的解为坐标的点都在该给定曲线上，那么称这个给定的方程是给定曲线的方程，也称这条给定的曲线是给定方程的曲线. 不妨将曲线的方程看作满足特定条件的点的集合，即用集合语言来说明这个定义. 给定曲线可以看作由点组成的集合，记作C；如果把给定方程的解作为点的坐标，那么给定方程的解集就可以看成一个点集，记作F. 用集合C和集合F之间的关系来描述曲线的方程和方程的曲线定义中的两个条件：第一个条件指点集C是点集F的子集；第二个条件指点集F是点集C的子集. 这样，根据集合的性质，就可以用集合相等的概念来定义曲线的方程和方程的曲线，即[C?F]且[F?C，] 得[C=F，] 从而重构曲线的方程和方程的曲线的定义. 某种意义上，曲线与方程的关系还可以看成一种充要条件. 研究曲线和方程对应的充要条件，是用代数方法研究几何问题的理论保证. 探索轨迹的纯粹性与完备性，是严格论证曲线的方程的必经之路. 它形成了从几何轨迹、代数表示到反向推演的双向验证的确定曲线方程的方法论.

在新教材中，“曲线的方程”既是学习直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等概念的基础，又是上位包容概念. 它是用坐标法研究位置关系、度量关系、曲线性质的关键. 由于直线的方程、圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程等重要概念不断地被代数推导和双向验证，使得曲线的方程成为解析几何中的核心概念，它具有整个解析几何知识的引导性和统领性，整个解析几何单元围绕曲线的方程主题展开，知识内容逐步扩充，思想方法逐步深入.

5. 解析几何的主要研究对象

平面解析几何的研究对象是平面几何图形及其几何要素或基本特征，事实上就是图形在运动变化中的不变性和不变量等. 解析几何从点和直线开始研究，利用坐标确定直线上的点及直线的斜率和截距，进一步研究点与直线、直线与直线的位置关系，包括重合、平行、垂直和相交，以及由直线所形成的平面图形的长度、角度和面积. 再进一步开展圆锥曲线的研究，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线，研究它们的长轴、短轴、实轴、虚轴、焦距、离心率、焦半径等几何量. 最后，用代数的方法研究直线与圆锥曲线的位置关系，包括相交、相切等.

6. 解析几何研究的主要问题

在平面几何和立体几何中，我们所用的研究方法是以公理为基础，以演绎推理为手段，依据图形中点、线、面的关系来研究图形的性质. 而在解析几何中则完全不同. 在解析几何思想的指引下，所有圆锥曲线都可以用二元二次方程来表示，用坐标表示点，用方程表示曲线（包括直线），从而用方程的思想去解决与曲线有关的问题. 因此，平面解析几何的两个主要研究问题是：根据几何条件，建立适当的平面坐标系，从而用方程表示平面曲线；通过研究方程的特点，来研究平面曲线的特征，从而用代数方法解决几何问题.

7. 解析几何的学习基础分析

本单元知识内容属于选择性必修课程，学习主体对象一般是高中二年级学生. 学生在日常生活或相关学科知识中获知了圆、椭圆或抛物线的几何形状的特征. 学生在初中阶段已经学习和掌握了平面几何的基本知识，如两点确定一条直线，知道到定点的距离是正常数的动点的轨迹是圆，能依据几何命题判断图形是否是中心对称或轴对称，具备了一定的演绎推理能力. 从小学到初中，学生依次接触到数轴和坐标系，经历了由将实数对应到数轴上的点到将有序数对对应到坐标系中的点的过程. 学生已经熟悉借用平面直角坐标系研究数学问题，能把直线和一次函数的图象联系起来；了解了反比例函数的图象也称为双曲线，二次函数的图象也就是物理学中的抛物运动轨迹，这样从直观上感知二次函数与抛物线图形的对应关系. 在高一必修课程中，函数、三角函数、平面向量内容的学习都建立在平面直角坐标系中点的表示和坐标运算的基础上，如函数的周期性、奇偶性和单调性等性质都可以借助坐标来刻画和研究，学生具备了一定的数形结合、分析问题和转化问题的能力，已经初步理解和体会了坐标法的应用. 这些都有利于学生进一步学习解析几何的知识内容和思想方法.

事实上，从初中的正（反）比例函数、一次（二次）函数到高中的幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，都揭示了函数解析式与函数图象的内在联系. 函数的图象与方程的曲线在数与形上的对应表达已经蕴含了解析几何中曲线的方程与方程的曲线的概念雏形. 解析几何的本质是点与坐标的对应、曲线与方程的对应、用代数方法解决几何问题，这就要求学生能自觉地选取适当的坐标系，并能熟练地进行数形转化. 而用数学符号表示几何元素，进行比较复杂的代数运算是学生尚未具备的能力.

参考文献：

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