大概念视角下“分数指数幂”的教学与思考

摘  要：数学大概念教学是实现从知识教学向素养培养转变的有效途径. 对于大概念视角下的“分数指数幂”教学，首先，分析教学要素提取大概念，即分数指数幂是整数指数幂的拓展，也是一种运算；其次，由大概念引领确定教学目标，理解幂指数范围拓展的目的，认识数学的统一性追求；再次，以大概念为主线，重新构建知识框架；最后，围绕大概念设计教学流程，使课堂教学更有利于发展学生的数学核心素养.

关键词：大概念；分数指数幂；教学与思考；核心素养

中图分类号：G633.6     文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）03-0037-04

引用格式：孙磊. 大概念视角下“分数指数幂”的教学与思考［J］. 中国数学教育（高中版），2024（3）：37-40.

一、问题提出

数学知识的连续性和结构性与课堂教学的片断性和分散性，是传统教学中的一对常见矛盾. 学生如果对学科知识缺乏高层次的理解，知识碎片化、记忆短期化、思维浅层化的弊端则不可避免，进而导致数学核心素养的提升困难重重.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中指出：重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实. 大概念教学是弥补传统教学短板的有效方法.

大概念是指反映专家思维方式的概念、观念或论题，它集中反映学科的本质，是对学科知识与技能的抽象与提炼，其意义在于作为数学知识的网点，能整合零碎的学科知识，使得课堂教学内容更具整体性，避免碎片化教学问题. 大概念教学是指以大概念为核心组织教学的一种方式，旨在启发学生用联系的观点看待数学问题，认识数学的整体性.

分数指数幂是一类重要的运算符号表征，在学习和生活中都有着广泛的应用. 幂指数从整数拓展到有理数，保持了指数幂的运算规律. 以往知识点教学常见的弊端是重计算、轻理解，而以大概念为核心组织教学，对于帮助学生整体构建知识框架、认识指数幂拓展的真正意义具有一定的指导作用.

二、大概念教学实践

为了实现由知识教学向素养培育的跨越，我们尝试通过大概念教学将学科大概念渗透到教学内部. 具体教学设计分为分析教学要素、确定教学目标、构建知识框架、设计教学流程四个环节，如图1所示.

1. 分析教学要素，提取大概念

大概念具有内隐性，不容易被发现和理解，提取大概念的途径也有很多，往往要综合考虑课程标准、学习难点、知识与技能目标等要素.《标准》指出：学生通过对有理数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 其具体内容包含：根式的含义、根式的性质、分数指数幂的含义、分数指数幂的运算法则、分数指数幂的应用. 从知识与技能目标来看，指数幂的拓展是为了满足运算的需要. 同时，为了研究指数函数的需要，必须把指数的范围拓展到全体实数. 在拓展过程中要遵循一个原则：关于[an]的运算，保持正整数指数幂的运算性质. 完成拓展后，[an]就是一个运算对象. 指数函数刻画了现实世界中一类特殊的变化规律，其性质是指变化中的不变性、规律性，这种不变性、规律性可以从代数运算的角度去研究，而代数运算就是关于指数幂的运算. 因此，指数幂的运算性质就是指数函数的主要性质.

分数指数幂作为数学概念和运算工具，其教学过程能够实现用代数运算的方式揭示函数的性质，从而培养学生的运算能力和数学抽象能力.

综上所述，贯穿本节课内容的课时大概念浮出水面，即“分数指数幂既是整数指数幂的拓展，也是一种运算”，它既是运算结果也是运算指令.

在这个大概念的引领下，一些教学难点迎刃而解. 例如，为什么要在学习分数指数幂前先学习根式？要知道，根式是对分数指数幂意义的诠释，其运算又是乘方运算的逆运算，它的出现正是基于运算体系中的关联性和互逆性的需求. 再如，分数指数幂是由整数指数幂拓展而来，为什么它们的意义又截然不同？举例来说，[33]表示[3]个[3]相乘，而[313]却不是[13]个[3]相乘？这涉及运算发展中的一个重要数学思想：扩张与因袭. 这里的扩张是指数的范围，因袭是幂的运算性质，其意义自然是截然不同的.

2. 确定教学目标，聚焦大概念

教学目标是教学设计的核心，教学目标定位得准确与否直接决定了课堂教学的成效. 威金斯提出的“逆向”教学设计三步骤指出：教学设计要先明确预期结果，我们的课堂应该围绕预期要达到的结果展开，而不是我们所擅长的教法和活动.

“分数指数幂”一课的教学分为两个模块：一个是概念教学模块，其核心是理解分数指数幂的概念；另一个是运算技能模块，其核心是能够准确、熟练地使用根式和分数指数幂两种运算表征进行计算和化简. 在“分数指数幂是一种运算”这个大概念的引领下，可以这样来制定教学目标：（1）从运算对象拓展的角度让学生体会引入分数指数幂的必要性；（2）引导学生理解分数指数幂的含义，初步掌握分数指数幂的运算；（3）在探究分数指数幂的过程中，体会数与运算发展的扩张与因袭特点，为后续研究幂指数进一步拓展到无理数及复数的学习打下基础，同时培养了学生的推理能力和运算能力.

显然，聚焦大概念的教学目标指向性明确，操作性强，避免了过多形式化运算带来的无意义纠缠，在提升学生运算能力的同时注重其对数学的理解.

3. 构建知识框架，内化大概念

由于大概念是抽象的存在，往往不能直接“教”给学生，且内化于关联的知识模块中，故需要将大概分解成具体的小概念，形成层次分明的概念群，并以此为框架对课时教学内容进行梳理，将知识有序地安放在大概念的结构框架中. 大概念本身具有的结构分明、联系性强的特点，使得重组后的数学知识形成了联系紧密的结构化整体.

在获取“分数指数幂是一种运算”这个大概念以后，再来审视“分数指数幂”的教学，会发现所有内容都是以运算的背景、运算的发展、运算的应用等小概念为节点展开，从而形成了“分数指数幂”模块的结构化知识体系，如图2所示.

4. 设计教学流程，落实大概念

对于“分数指数幂”这一教学内容，人教A版《普通高中教科书·数学》的编排是由实际问题引出分数指数幂的产生需求，先学习根式，再研究分数指数幂. 其中，分数指数幂的概念是由具体实例（如[2105=22=2105]）归纳得出，分数指数幂的运算性质则是沿袭、保持整数指数幂的运算性质. 如果忽视分数指数幂意义的构建，带来的弊端是每个知识点都没有可靠的数学思想作为背景支撑，学生对于概念的形成缺乏认知基础，会给理解根式与分数指数幂的意义带来困难，容易使学习过程变成运算的形式化训练.

从[n]次方根到分数指数幂，将问题情境调整为以运算与数的发展为统一的大背景，从数学扩张与因袭的角度感知指数域扩充的必要性，并在满足运算性质不变的背景下深刻理解分数指数幂的意义，能更好地发挥这一内容对培养学生推理能力的作用和意义. 因此，教学内容应聚焦在“分数指数幂的运算”，对应的教学流程可以设计为：反思经验、发现根式—个例演算、归纳性质—立足性质、扩张指数—联系实际、技能训练. 基于大概念的教学设计，需要教师将大概念落实到特定情境和具体问题中去，引导学生从知识、技能的学习走向方法的迁移和思想的创新.

（1）以运算互逆性为背景，基于经验的探索.

问题1：回顾过去学习运算和数的历程，加法的逆运算是减法，负数的引入实现了加、减法的统一；乘法的逆运算是除法，分数的引入实现了乘、除法的统一. 乘方的逆运算是开方，引入怎样一种运算，才能把开方也表示成乘方，实现乘方与开方的统一？

问题1是本节课的初始问题，也是核心问题.

问题2：如何定义乘方的逆运算？从下面的问题入手，尝试归纳猜想.

如果[x2=a，] 那么[x]叫作[a]的平方根（即[2]次方根）. 例如，[±22=4]，[±2]就叫作[4]的[2]次方根；如果[x3=a，] 那么[x]叫作[a]的立方根（即[3]次方根）. 例如，[23=8]，[2]就叫作[8]的[3]次方根. 以此类推，[±24=16]，[±2]就叫作[16]的        ；[-25=-32]，[-2]就叫作[-32]的        .

师生活动：对问题进行探究，并推广到一般，得出结论，即如果[xn=a，] 那么[x]叫作[a]的[n]次方根，其中[n>1]，且[n∈N?].

问题3：已知[xn=a][n∈N?，n>1]，求[x].

师生活动：学生以小组为单位制订研究策略，教师给予建议与指导. 最终确定先分别探讨当[n]为奇数和偶数时，对于正数、负数、[0]的[n]次方根的值，再归纳整合研究策略.

问题4：[n]为奇数时，[xn=a]，求[x].

师生活动：学生例举不同实数的奇次方根，计算结果，并在教师的指导下通过归纳获得初步结论，即① 正数的奇次方根是一个正数，② 负数的奇次方根是一个负数，③[0]的奇次方根是[0].

问题5：[n]为偶数时，[xn=a]，求[x].

师生活动：类比前面的研究方法，学生例举不同实数的偶次方根，计算结果，归纳结论，教师进行总结评述.

在此基础上，师生用符号语言描述出问题3中方程的解[xn=ax=an，n为奇数，x=±an，n为偶数，且a≥0.]

教学思考：导入情境的设计主要服务于知识点的引入，从知识的关联性来看，[n]次方根是分数指数幂的另一种表达方式，体现了同一运算在侧重点不同时的多样化表征；从知识架构来看，[n]次方根是本节课教学的一个过渡概念，它指明了知识发展的规律和方向. 本节课以“分数指数幂是一种运算”为主线寻找知识发生的源头，开方是乘方运算的逆运算，也就是相同因数累乘的逆向过程：[an]表示[n]个相同因数[a]相乘的结果，[an]则表示一个数，以这个数作为因数能将[a]平均分成[n]个因数的乘积. 这样设计导入情境在使学生更自然地接受问题的同时，也为后续研究指明了方向：根式运算的性质有哪些？运算的表征如何简化？等等. 伴随后续新知的学习，学生能够同步实现以运算为核心的数学体系的构建. 因此，创设合适的导入情境应该建立在对知识的全面理解与掌握之上.

（2）以个例演算为载体，基于实例的归纳.

问题6：[n]次方根有哪些性质？

师生活动：教师组织学生运用所学知识求具体根式的值，并解释含义，进而基于解答过程总结规律，归纳出根式的一般性质. ①[ann=][a]；②[ann=a，n为奇数，a，n为偶数.]

教学思考：美国著名教育心理学家奥苏贝尔认为，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么. 要深刻理解抽象的数学概念需要依托具体的载体，这些载体应该是学生已经熟悉并且牢固掌握的知识. 同时，考虑到学生对于数学的思考往往来自于个别范例和具体活动，故将根式性质的讲解放到根式求值的练习之后，这样更加符合学生的学习心理. 一方面，体现出性质可以简化运算，也来源于运算的理念；另一方面，是对以往教学中重计算、轻理解的一种矫正. 美国著名教师德·鲍拉认为，教重要的在于听，学重要的在于说. 在学生解决运算问题后，教师应该鼓励学生发现规律、总结性质. 这个过程也是学生巩固所学、理解新知，提高自我效能感，形成严谨、求真、求实的思维品质和精神的过程.

（3）以运算性质为工具，基于矛盾的释疑.

问题7：正整数幂有哪些运算性质？指数取值范围有何要求？

问题8：初中阶段我们是如何引入负整数指数幂和[0]指数幂的？指数域由正整数扩充到整数会带来哪些好处？

知识回顾：正整数指数幂的运算性质.

（1）[am ? an=am+n m，n∈Z]；

（2）[am÷an=am-n a≠0，m，n∈Z，m>n]；

（3）[amn=amn m，n∈Z]；

（4）[abn=anbn n∈Z]；

（5）[abn=anbn n∈Z].

如果去掉[am÷an=am-n a≠0，m，n∈Z，m>n]中[m>n]的约束条件，运算会产生矛盾：取[m≤n]，等式左边有意义，等式右边却不能用正整数幂来表示，负整数指数幂和[0]指数幂的引入恰好化解了这个矛盾. 取[m=n]，可得[a0=am÷am=1]；取[m=0，n=1]，可得[a-1=a0÷a1=1a].

问题9：进一步取消整数指数幂运算性质中关于指数的限制，当指数取分数时该如何赋予其意义？

师生活动：揭示矛盾，在公式[amn=amn]中，取[m=12，n=2]，等式的右端有意义，但是等式的左端不能用整数幂来表示；认识分数指数幂中规定底数[a>0]的必要性；赋予分数指数幂[amn a>0，m，n∈Z]的意义；类比负整数指数幂的意义，得到负分数指数幂的意义；了解整数指数幂的运算性质对分数指数幂同样适用.

教学思考：分数指数幂是指数幂拓展过程中的一个节点，初中阶段学生经历过指数幂由正整数向整数拓展的学习过程，负整数指数幂和零指数幂的意义来自幂的运算性质中指数取值范围的拓展. 高中阶段指数幂由整数拓展到有理数的学习过程完全可以延续学生初中阶段的探究方式，让学生体会指数数域拓展的历程始终离不开幂运算性质的框架. 这样的设计不仅将分数指数幂的意义建立在了学生熟悉的整数幂的运算性质上，更为后续将指数域拓展到无理数的学习提供了方法支持. 本节课教学最大的难点是分数指数幂的运算，学生面对稍微复杂一些的指数幂运算很容易出错.“难”的根本原因在于以往教学中对分数指数幂的形成过程不够关注，过分强调分数指数幂的形式化运算训练，学生往往强行记忆结论而缺乏应变能力. 因此，为了充分发挥这一内容的育人价值，通过溯源分数指数幂的“出身”，揭示数学知识产生和发展的脉络，带领学生感受数学文化的历史价值是非常有必要的.

（4）以多场景应用为抓手，基于技能的训练.

问题10：分数指数幂在实际生活、运算化简中有哪些应用？

师生活动：结合具体生活案例和根式化简过程感受分数指数幂在生活和数学中的应用价值.

教学思考：数学运算素养的培养过程包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果. 数学运算素养的培养是一个长期的过程，需要教师做好整体规划，并落实到每节课的教学中. 就“分数指数幂”这节新授课的教学而言，对分数指数幂意义的理解是重中之重，笔者在教学设计中花了大量时间对运算的发展过程进行梳理. 为了让学生加深对分数指数幂意义的理解，并能够通过多种运算场景体会分数指数幂的性质，本节课的例题选择虽然在数量上有所精简，但是类型多样，更有助于学生对运算的全面认识.

三、结语

《标准》指出： 数学课程的构建应“突出数学主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法”. 大概念作为贯穿整个数学教学过程的核心，不仅要体现数学的本质特点，更要为学生后续更高层次的学习提供必要的基础. 为了在教学中精准抓住大概念，需要教师深入数学知识内部，准确把握数学知识的本质，捋顺数学知识之间的逻辑关系，突出数学知识中蕴含的思想方法. 本节课的教学以“分数指数幂是一种运算”这一大概念为主线进行设计，切实发展了学生的数学核心素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］刘徽.“大概念”视角下的单元整体教学构型：兼论素养导向的课堂变革［J］. 教育研究，2020，41（6）：64-77.

［3］威金斯，麦克泰格. 追求理解的教学设计（第二版）［M］. 闫寒冰，宋雪莲，赖平，译. 上海：华东师范大学出版社，2017.

［4］王强. 落实常规  重视简化  关注整体：例谈数学运算核心素养的培养［J］. 数学通报，2023，62（3）：19-24.

［5］张奠宙，王振辉. 关于数学的学术形态和教育形态：谈“火热的思考”与“冰冷的美丽”［J］. 数学教育学报，2002，11（2）：1-4.