试论类比推理在高等数学教学实践中的应用

宋颢

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【摘要】类比推理是一种重要的科学研究方法，在高等数学教学实践中，合理地应用类比推理，不仅能显著提高教学成效，而且能培养学生的数学素质和创新思维，增强学生运用数学知识解决实际问题的能力。

【关键词】类比推理 高等数学 教学实践

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）21-0031-02

一、引言

类比推理是在已知两个或两类对象部分属性（如特征、属性、关系等）相同的基础上，推导出其他属性也相同的思维方式。类比推理是一种重要的科学研究方法，是从特殊推向特殊的推理过程，科学家常根据类比推理得出重要结论，寻找和发现真理。类比推理可分为简单类比、复杂类比；概念性类比、过程性类比；性质类比、关系类比等等。类比推理拓展了人们的思维空间，为人们的“自由创造”提供了广阔的天地。

二、类比教学法的模式及教育价值

类比推理作为一种重要的数学思想，是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，是从特殊到一般，由此及彼的过程，其基本模式为：若A对象具有属性a，b，c，d，且B对象具有属性a，b，c，猜想：B对象具有属性d。通过这种方法推理出的结果，可能不一定精准、可靠，但是极具创造性，思维方法生动活泼、富有创造性，能给人带来深刻的启迪。例如，数学家笛卡尔受到天文和地理经纬度启发，运用类比推理的方法，建立了坐标几何学，奠定了微积分发展的基础；一些高深数学理论也是通过类比推理获得的，例如，平面几何、线性代数之间的分析类比，从平面几何向量的长度可类比推理出线性代数n维向量的模。

在高等数学中应用类比推理进行教学，具有积极的实践价值：第一，通过创设问题情境，培养学生发现问题的能力，引导学生提出新的问题、新的可能性，并运用既有的知识，去从新的角度发现另一事物的某一方面的特点，从而帮助学生做到温故而知新，提高发现问题的能力。第二，通过类比推理教学，引导学生探究问题本质，学会多维度分析问题。高等数学涉及到很多抽象、艰涩的概念和公式，学生难以较好地理解和记忆，借助类比推理，可以让抽象的概念变得更加条理，这对培养学生的逻辑分析能力和数学思维有很大助益。第三，通过类比推理教学，能够将知识点的形成过程和逻辑关系，清楚、条理地表现出来，有利于学生领悟其中的本质联系，利用已学知识创新解决问题。

三、类比推理在高等数学中的应用

1.《高等数学》类比法教学程序的建构

一元函数微积分与多元函数微积分是高等数学的核心内容，教师可根据一元函数与多元函数的共性特点，即都是对一个变量与另外（一个或多个）变量之间关系的描述，通过类比推理，从一元函数推理出多元函数也可能具有相同或相似的结论，并对结论进行验证。其教学程序见图1所示。

2.高等数学中类比推理教学实例及应用策略

（1）概念类比推理

数学概念是对数学对象本质属性的抽象与概括，学生只有正确地理解数学概念，才能从根本上理解和掌握概念的本质属性，为下一步数学的学习奠定基础。教师可从具体事例或相近概念出发，应用类比思想导入教学，将会收到事半功倍的教学效果。例如：

（2）性质类比推理

高等数学中不少概念都有相似的性质，教师可以应用类比推理，引导学生找出不同概念性质之间的联系和特点，然后，有针对性地进行区分和记忆。例如，一元函数闭区间上的连续函数有最值定理和介值定理，利用类比思想，可得多元函数在闭区域上有类似的最值定理和介值定理性质。再如，常数k乘以一个函数有一系列相似的性质，极限，可类比推理出导数，继续推理，可得微分，层层推理下，可相继得到不定积分、定积分、二重积分；等等。

另外，在高等数学常微分方程中，部分方程的通解也具有相似的性质，例如，根据结论：一阶线性非齐次微分方程的通解等于其对应的齐次微分方程的通解加该非齐次微分方程的任一特解，利用类比推理，可以推导出如下相似结论：二阶线性非齐次微分方程的通解等于对应的齐次微分方程的通解加上该非齐次微分方程的任一特解；线性非齐次方程组的通解等于其对应的齐次方程组的通解加上该非齐次方程组的任一特解；非齐次的矩阵微分方程的通解等于其对应的齐次方程的通解加上该非齐次方程的任一特解，等等。

（3）公式类比推理

高等数学中的公式比较多，但若运用类比推理，则能很容易地掌握其内在联系。例如，对于牛顿-莱布尼茨公式、格林公式之间的内在联系，教师可利用类比推理的方式，帮助学生进行区分和记忆。牛顿-莱布尼茨公式，

建立了一元函数在一个区间的定积分与其原函数在区间边界值的联系，借助类比推理，可得格林公式，格林公式可视为牛顿-莱布尼茨公式的二维推广。

四、结语

综上所述，教学实践表明，类比推理在高等数学教学中，具有良好的应用价值和实践效果，不仅能增强教学效果，而且能有效提高学生发现问题、分析问题和运用既有知识解决问题的能力。教师在教学过程中，应当努力为学生创造应用类比推理的“最佳思维环境”，充分激发学生学习的主动性和积极性，使学生敢于创新猜想，大胆类比推理，细心检验和严格论证，从而不断提升数学思维和数学素养。

参考文献：

[1]张友梅.类比思想在高等数学教学中的应用[J].开封教育学院学报，2014，04：123-125

[2]徐亦霞.关于高等数学教学改革中类比教学法的实践与思考[J].科技视界，2016，13：222