《微分几何》教学的教改实践感受

王玉光++李亚男

【摘 要】微分几何是大学数学专业一门重要的专业课。结合教学经历，谈了谈对微分几何课程的一些认识和教学过程中的一些感受。

【关键词】解析几何；教学过程；思考

Some thinking on the teaching process of “differential geometry”

WANG Yu-guang1 LI Ya-nan2

（1.College of mathematics and computer science， Ningxia University， Yinchuan Ningxia 750021， China；

2.College of wangfang science and technology， Henan Polytechnic University， Jiaozuo Henan 454000， China）

【Abstract】Differential geometry is an important course for college students whose major is mathematics. Combined with teaching experience， we give some thinking and discussions about this course.

【Key words】Differential geometry； Teaching process； Thinking

《微分几何》是大学数学类专业学生的一门重要的专业课，是连接经典内蕴几何和现代微分流形的桥梁，也是大学阶段所有几何课程中和现代几何联系最密切的课程。结合承担本课程教学工作的经历，在此谈谈对该课程的一些认识和教学过程的一些感受。

1 开课背景

对数学专业的大学生来说，《微分几何》是继《解析几何》之后开设的有一门重要专业课。通常来说，大学本科生开设的《微分几何》课程有两个原因，一个是大学课程自身知识体系的需要，解析几何主要以初等数学的视角研究三维空间的曲线和曲面，微分几何则借助微分工具以高等数学的视角研究空间曲线和曲面；另一个是针对部分学生将来考研继续深造学习后继课程的需要，经典微分几何主要涉及曲面的内蕴几何，而现代几何的基础则是流形，本课程就是联系二者的桥梁。对我校数学类专业学生，微分几何课程2011年之前是专业必修课，2011年之后由于培养方案和教学计划的调整变成专业选修课，现在是第五学期（即大三第一学期）开设。

2 课程内容与教材选取

鉴于以上相关背景，本课程一般讲授经典微分几何的主要内容，即三维空间的曲线论和曲面论，主要内容包括空间曲线的基本定理和空间曲面的基本形式、曲面论基本定理以及外微分和活动标架，核心是曲面论。在教材的选取上，根据我们教学改革实践中的需要和探索，近年来我们分别尝试了纪永强教授、陈维桓教授以及梅向明与黄敬之两位教授编著的三套教材。

3 教学过程发现的一些现象

从本课程在我校的开设情况看，选修学生还是相对较多的，远远超过同时期抽象代数和点集拓扑等同类选修课。也许其中一个重要的原因是在大学阶段的课程学习中，相对抽象代数和点集拓扑来说微分几何相对简单，没有其他两门课艰深晦涩抽象难懂。然而在具体的教学过程中，我们也发现一些有趣的现象，主要有以下几个方面：

3.1 不同的教材风格和内容对学生的学习效果有明显的影响

在过去几年的教学实践中，我们分别使用了三种不同的教材，其中纪版教材使用2年，陈版教材使用1年，梅版教材使用3年。纪版教材主要采用向量分析法讲授曲线和曲面的基本理论，内容全面，例题丰富，对于初学者来讲易于学习，并且很多地方都是一题多解，至少有一种方法是便于掌握的，因而若能将这些方法融会贯通做到举一反三则对于经典微分几何的掌握必定扎实牢固；然而该版教材与现代微分几何的衔接相对较少，现代微分几何的内容和术语体现的相对不足，在学时压缩的情况下，即使完全讲授书中过于详实的内容也讲不完，更不必说还需要补充现代微分几何的一些观点和内容。陈版教材则与前者相反，较多的采用了现代微分几何的观点和术语，也普遍运用了线性代数的内容作为讲授工具，起点高，与后续微分流形等课程的衔接性强；然而对于初学者的要求相对较高，学生掌握起来难度较大有点吃力。梅版教材则介于这两者之中，内容全面，既照顾到经典微分几何主要内容，又涉及到现代微分几何的观点和内容，讲授方式以向量分析为主，便于学生接受，后期也介绍到活动标架和外微分，甚至涉及到整体微分几何的内容，教师和学生可供选择的余地也都较大，学生表现出的学习效果也较好。在我们的使用过程根据考试成绩反映出来的结果看，使用梅版教材考试成绩最好，其次是纪版，而陈版教材成绩最低，这反映出不同教材对学生成绩有明显的影响。

3.2 学生的解析几何和数学分析基础对学习效果有明显的影响

在开始本课程的学习前，我们记录了学生的解析几何成绩和数学分析成绩。在其后的学习过程中，不管是课堂演板、阶段性测验还是最终期末考试，学生的解析几何和数学分析基础对学习效果都有明显影响，那些过往基础扎实牢固的学生整体上取得更好的成绩。这也不奇怪，因为数学课程本身逻辑性连贯性也较强，没有良好的基础后继课程的学习肯定会更加吃力些。比如在讲圆柱螺线的曲率和挠率时，解析几何基础扎实的同学能回顾起该曲线的一种直观的物理背景，这样结合曲率的概念不需要复杂的计算就可以得到曲线的曲率，即使计算也能准确算出结果，而那些解析几何基础较差的学生看到该曲线就没有任何相关直观背景，当然这也不妨碍学生按照曲线参数方程算出曲率和挠率，然而麻烦的是，有部分学生对于曲线挠率公式也没掌握，或者在计算的过程中由于数学分析的基础不牢往往计算错误得不到正确结论。再如，在计算平面的两个基本形式的时候，解析几何基础扎实参数方程概念透彻的学生，选择的平面参数方程就简洁，直接选择空间直角坐标系的坐标平面的参数表示即可，而有的同学则选用空间平面的一般形式，甚至还不知道这个一般形式如何转化成参数形式。在计算球面的基本形式的时候也遇到类似的问题，尽管课堂上我们也详细重点讲授和演示，之后让学生自己再次独立计算时，有的学生写不出球面的参数方程，更不会计算，这些学生恰好就是那些解析几何和数学分析基础较差的学生。

3.3 出勤率对学习效果影响不明显。

按照学校对学生考试成绩的相关规定，我们需要经常考察学生的出勤情况，然而，我们发现出勤率对学生考试成绩的影响不明显。有的学生从未缺勤考试成绩却不好，甚至还没及格，有的学生缺勤较多考试成绩却还不错，考及格。我们分析觉得，其原因可能有二，一是出勤的学生并未认真听课或者缺没有真正掌握课堂内容，只是带着任务一样来应付，学习的积极性主动性都不够，所以成绩不好；而缺勤的学生虽有上课未到，但是这些学生或者课后认真自学或者和同学与老师相互交流后补上了落下的知识和内容；除此之外还有另外一个重要的原因是考试前在老师的带领下的习题复习阶段这些平时的缺勤学生下了更多功夫抵消了平时缺勤的影响。

以上是我们在教学过程的一些粗浅认识和体会。教学过程是熟能生巧的过程，也是学习再认识的过程。和这些朝气蓬勃充满青春活力的大学生一起学习，共同进步是一件愉快的事情。

【参考文献】

[1]纪永强.微分几何[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]陈维桓.微分几何初步[M].北京：北京大学出版社，2006.

[3]梅向明.黄敬之，微分几何（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[责任编辑：王楠]