基于波利亚解题理论的三角函数教学研究

2024-06-12朱钰扬

数学教学通讯·高中版 2024年4期

朱钰扬

［摘要］三角函数是高中数学的重点与难点内容之一. 文章认为波利亚解题理论对解决三角函数问题具有重要指导意义与价值，具体表现在：启发式教学，促进知识生成；引导式教学，准确表征问题；整合式教学，明晰解题思路. 文章以“两角差的余弦公式”的教学为例，用“理解题目—拟订方案—执行方案—回顾总结”四步分析法展开教学实践.

［关键词］波利亚解题理论；三角函数；四步分析法

乔治·波利亚是美国著名数学家，长期致力于数学教育研究，他的著作《怎样解题》为一线教师的解题教学提供了明确的方法指导. 波利亚的解题思想着重强调启发式、引导式与整合式教学，这对促进学生创造意识的形成与数学学科核心素养的提升具有重要意义.

教学价值

高中三角函数章节的知识点多，公式繁杂，各部分知识间、公式间又存在着纵横交错的联系. 实践发现，借助波利亚解题理论进行解题教学，能起到事半功倍的教学成效. 具体表现在以下几方面.

1. 启发式教学，促进知识生成

波利亚解题理论着重强调教会学习者思考的能力，解决数学问题的过程就是对实际问题思考的过程［1］. 想要从真正意义上提升学生的解题能力，教育工作者首先要做的就是通过各种教学手段启发学生的思维，让学生能灵活、熟练地掌握基本概念、公式与定理等.

在三角函数章节的教学中，部分教师将概念、定理、公式等直接灌输给学生，学生只能采取机械性记忆，因此常被大量的概念、定理、公式所困扰，导致记忆混乱、思维受阻，无法灵活应用所學知识，解题出现障碍.

想要解决这一困境，就需要在基础知识构建时采用启发式教学模式，让学生了解概念、定理、公式等的形成过程，在追根溯源中掌握知识本质，为后续灵活应用奠定基础.

2. 引导式教学，准确表征问题

想要解题，首先要理解问题问的是什么，这是波利亚解题理论对学生提出精准表征问题的要求［2］. 事实上，“一听就会，一做就错”的现象在数学解题中屡见不鲜. 三角函数既有函数的特点，又存在大量的运算，属于代数与几何的统一体. 这就要求学生不仅要了解这些公式，还要灵活应用这些公式.

在教学中，教师可应用引导式教学模式，通过一些语言的引导帮助学生准确表征问题，让思维有据可依. 值得注意的是，学生的认知水平存在一定的差异，教师在引导时要注重分层引导，通过不同层次问题的设置，激发学生的理解能力.

如sin56°，cos56°，tan56°究竟谁大谁小呢？为了让学生有思考方向，教师可通过引导式语言，鼓励学生借助三角函数线来解题，即将数学符号语言转化为图形语言来解题. 这是数形结合思想应用的过程，也是促进学生思维发展的过程，对提炼数学思想方法具有积极意义.

3. 整合式教学，明晰解题思路

当学生能自主分析与精准表征问题后，就进入了整体分析问题的阶段. 从波利亚解题理论出发，即制定解题步骤实施解题，整合材料是此环节的重中之重，同时要分析之前是否遇到过类似问题［3］.

想要解决这个问题，首先要引导学生回顾之前是否接触过与之类似的问题，是否可以通过类似解法完成解题. 事实证明，此问题与学生遇到过的给值求值的问题类似，都是将未知角转化为已知角，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式等来转化问题，而不同之处在于本题出现了“二次”，想要解决这个问题，可将角－θ假设为t，解题思路就清晰了.

通过此例不难看出，借助波利亚解题理论进行整合式教学，能有效促进学生逻辑思维的发展，帮助学生提炼类比与转化思想，明晰解题思路.

教学过程

1. 情境创设，导入新课

师：大家都有去超市购物的经历，对电动扶梯并不陌生，现在我们一起来分析一个实际问题：已知某超市一楼到二楼的电动扶梯长度为10米，该电梯与底面形成的夹角α=30°，求从一楼到达二楼时，人在水平方向移动了多少米？

这是基于学生已有认知经验提出的问题，其中30°这个特殊角的余弦值是学生熟悉的一个数据. 此问可设人在水平方向移动了x米，则x=10×cos30°=5（米）. 在此基础上，教师提出：若α=15°，x的值又该怎么求呢？虽然学生没有遇到过15°这个特殊角的余弦值，但学生对30°与45°并不陌生，因此易得cos15°=cos（45°－30°）.

设计意图此情境从学生的生活实际出发，引出相关的数学知识，一方面让学生感知数学与生活的联系，另一方面意在培养学生的数学抽象素养与数学建模素养.

2. 理解问题，引入新知

师：巡视发现，一些同学列出了式子cos（45°－30°）=cos45°－cos30°，现在我们一起来探讨一下这个式子的正确性，建议大家从余弦函数的性质与图象的角度来甄别.

学生自主探索并相互交流，发现cos（45°－30°）的值必然为正数，但通过画图作差发现cos45°－cos30°的值却是负数，这里就出现了矛盾. cos（45°－30°）的值究竟该怎么求呢？要求学生在草稿纸上将问题条件罗列出来进行思考.

学生经独立思考与合作交流，在教师适当的点拨下，先建立平面直角坐标系，然后画出单位圆，再以x轴的非负半轴作为始边分别作出45°，30°，15°角.

设计意图借助波利亚解题理论对学生进行思维引导与点拨，引发学生猜想，让学生以合作交流的方式对猜想进行检验与证明. 教师鼓励学生重新整理问题条件，意在促使学生进一步深入了解问题，挖掘题干条件中所蕴含的内涵，并将待解决的问题与教学内容建立联系，以强化学生的读题、审题能力，为建构完整的知识结构体系奠定基础.

3. 分析问题，拟订方案

师：观察示意图（图2），可以从中提取到哪些关键性的信息或等量关系？

师：现在我们回归到最原始的问题，若想获得cos15°的值，该怎么办呢？

设计意图本环节通过一些前后关联的问题引发学生思考，意在培养学生的数学思维. 引导学生积极思考与参与，不仅能体现学生在课堂中的主体地位，还能让学生产生自主拟定解题方案的意识，为培养学生的解题习惯奠定基础.

4. 执行方案，深入思考

教师留下充足的时间让学生将解题步骤写清楚，在巡视时给予适当点拨，并在指导过程中引发学生自主思考，分析每一个解题步骤的作用以及与前后知识的关系等. 鼓励学生将自己的推导过程展示出来，通过同伴的互相提问检验解题成效，并着重强调书写步骤的严谨性.

师：大家已经清晰完整地写出了cos（45°－30°）的求解过程，同时分析出cos15°=cos45°cos30°+sin45°sin30°. 假设角α与β为任意角，那么还可以用这种方法进行类比推理吗？该结论是否依然成立呢？

分析发现，任意角α±2kπ和β±2kπ的终边与角α与β的终边一样，因此仅需研究α，β∈［0，2π］就可以了. 探寻出α与β的位置，借助相同方法即可获得cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ这个结论.

在此过程中，须给予学生充足的时间进行计算与思考，尤其需要根据α与β的位置的不同画法进行分析，不过教师只需要顺应学生的思维进行引导即可. 当学生获得结论后，可择取一些具有代表意义的结论进行展示，主要选择以下两类情况：①α与β位于同一象限；②α与β位于不同象限. 这两类情况都可以用相同的方法来构造全等三角形，获得cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ这个结论.

基于以上分析，教师板书：对于任意角α与β，存在cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ，记为C（α－β）.

设计意图要求学生自主书写推理与证明的过程，意在提升学生的逻辑思维能力. 任意角问题的探索可引发学生自主进行，培养学生在解题过程中的自我监控意识.

5. 回顾反思，经验总结

师：大家自主探索获得了结论，现在请大家想一想该怎样检验结论的正确性呢？还有其他方法能获得这个结论吗？

设计意图通过对整个解题过程的回顾，进一步强化学生的反思意识，让学生形成积累知识和经验的学习习惯.

6. 新知应用，巩固提升

想要解决本题，应先将本题中的重要条件与未知量标注出来，然后结合波利亚解题结论来拟定解题方案——两角差的余弦公式. 两角差的余弦公式虽然适用，但公式的应用条件不全，需要先求出cosα和sinβ的值，然后结合同角三角函数的基本关系式可获得问题的解.

设计意图本练习属于比较简单的两角差的余弦定理的直接应用，通过本题的解決可训练学生的解题思维，这是借助波利亚理论的“四步分析法”来巩固学生对新建公式的理解与应用.

教学评价与思考

本节课以波利亚解题理论作为教学设计的依据，遵循“理解题目—拟订方案—执行方案—回顾总结”四步分析法实施教学.

教学初始，教师以丰富的生活情境激发学生的探索欲，让学生保持高涨的热情进入本节课的学习. 随着问题的逐渐深入，成功激活了学生的思维，让学生进入了积极思考的状态. 当学生遇到思维障碍时，教师再通过问题串的方式进行降维处理，以满足不同学生的思维需求.

课堂尾声，教师带领学生一起对本节课教学进行回顾与反思，这不仅是优化学生思维的过程，还是帮助学生积累学习经验的重要举措，使学生能更深刻地理解公式. 因此，波利亚解题理论对促进学生数学逻辑思维的发展具有重要意义，它也是提升学生数学学科核心素养的重要理念之一.