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归类探究三角函数中的求最值(或值域)问题

2016-12-23刘洪峰

数学学习与研究 2016年22期
关键词:三角函数归类

刘洪峰

【摘要】三角函数最值问题屡屡受到命题者青睐,求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容,也是高考中的常见题型,求三角函数的最值(值域)是近几年高考的热点之一.本文对三角函数的求最值问题进行粗浅研究,望共同探讨.

【关键词】三角函数;归类;求最值;值域问题

前言

三角函数的最值问题是中学数学的一个重要内容,也是高考中的常见题型,加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握三角知识,沟通三角、代数、几何之间的联系,培养学生的思维能力.

三角函数求最值问题主要有以下几种类型,掌握这几种类型后,几乎所有的三角函数最值问题都可以解决.本文对三角函数的求最值问题进行归类研究,供同学们借鉴.

一、化成y=asinx+b(a≠0)或y=acosx+b(a≠0)型

1.y=asinx+b(a≠0)的最大值和最小值.

(1)当a>0时,若sinx=1,ymax=a+b;若sinx=-1,ymin=b-a.

(2)当a<0时,若sinx=-1,ymax=b-a;若sinx=1,ymin=a+b.

2.y=acosx+b(a≠0)的最大值和最小值.

(1)当a>0时,若cosx=1,ymax=a+b;若cosx=-1,ymin=b-a.

(2)当a<0时,若cosx=-1,ymax=b-a;若cosx=1,ymin=a+b.

例1已知函数f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(Ⅰ)求ω的值.

(Ⅱ)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)在区间0,π16上的最小值.

分析(Ⅰ)∵f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx(ω>0),

∴f(x)=sinωxcosωx+1+cos2ωx2

=12sin2ωx+12cos2ωx+12

=22sin(2ωx+π4)+12

由于ω>0,依题意得2π2ω=π,

所以ω=1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=22sin(2x+π4)+12,

所以g(x)=f(2x)=22sin(4x+π4)+12.

当0≤x≤π6时,可得π4≤4x+π4≤π2,

所以22≤sin(4x+π4)≤1.

因此1≤g(x)≤1+22,

故g(x)在区间0,π16内的最小值为1.

变式1已知函数f(x)=(1+cotx)sin2x-2sinx+π4sinx-π4.

(1)若tanα=2,求f(α);

(2)若x∈π12,π2,求f(x)的取值范围.

变式2已知函数f(x)=sin2x-2sin2x.

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合.

二、化成y=asin2x+bsinx+c(a≠0)或y=acos2x+bcosx+c(a≠0)型

例2已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.

(Ⅰ)求fπ3的值;

(Ⅱ)求f(x)的最大值和最小值.

分析(Ⅰ)fπ3=2cos2π3+sin2π3-4cosπ3

=-1+34=-94

(Ⅱ)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx

=3cos2x-4cosx-1

=3cosx-232-73,x∈R.

因为cosx∈[-1,1],

所以,当cosx=-1时,f(x)取最大值6;当cosx=23时,f(x)取最小值-73.

点评此题主要是化为某个三角函数的二次三项式,结合换元法、配方法.

变式3当0

A.14B.12C.2D.4

变式4函数f(x)=cosx-12cos2x(x∈R)的最大值等于.

三、化成y=asinx+bcosx或y=sinx+cosx型

方法:形如y=asinx+bcosx的可引进辅助角化成a2+b2sin(x+φ),再利用有界性.

例3设函数f(x)=cosx+23π+2cos2x2,x∈R,求f(x)的值域.

分析f(x)=cosxcos23π-sinxsin23π+cosx+1

=-12cosx-32sinx+cosx+1

=12cosx-32sinx+1

=sinx+56π+1,

因此f(x)的值域为[0,2].

点评注意熟练掌握

sinx+cosx=2sinx+π4=2cosx-π4

sinx-cosx=2sinx-π4=-2cosx+π4

cosx-sinx=2sinπ4-x=2cosx+π4

变式5已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1(x∈R),求函数f(x)的最小正周期及在区间0,π2上的最大值和最小值.

四、化成y=csinx+dasinx+b或y=ccosx+dacosx+b型

例4求函数y=3-2sinxsinx-2的最大值和最小值.

分析法一(分离常数法)

y=3-2sinxsinx-2=-2sinx-3sinx-2=-2(sinx-2)+1sinx-2

=-1sinx-2-2.

由-1≤sinx≤1,得

-3≤sinx-2≤-1,-1≤1sinx-2≤-13,

13≤-1sinx-2≤1,

即-53≤-1sinx-2-2≤-1,

∴ymax=-1,ymin=-53.

法二(逆求法)由y=3-2sinxsinx-2可得sinx=y+22y+3,

∵-1≤sinx≤1,

∴-1≤y+22y+3≤1,解得-53≤y≤-1,

∴ymax=-1,ymin=-53.

点评此题是利用了分离常数的方法和逆求法求解的.

变式6设a>0,对于函数f(x)=sinx+asinx(0

A.有最大值无最小值

B.有最小值无最大值

C.有最大值且有最小值

D.既无最大值又无最小值

五、化成y=csinx+dacosx+b型

例5求函数y=sinx-1cosx-2的最大值和最小值.

分析由已知得ycosx-2y=sinx-1,

∴sinx-ycosx=1-2y,即y2+1sin(x+φ)=1-2y,

∴sin(x+φ)=1-2yy2+1,

∵|sin(x+φ)|≤1,∴1-2yy2+1≤1,

即3y2-4y≤0,解得0≤y≤43,故ymax=43,ymin=0.

点评上述利用正(余)弦函数的有界性,转化为以函数y为主元的不等式,是解决这类问题的最佳方法.虽然本题可以使用万能公式,也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解,但都不如上述解法简单.

变式7当0

A.2B.23C.4D.43

六、化成y=sinx+cosx+sinx·cosx型

例6求函数y=sinx-cosx+sinx·cosx的最大值和最小值.

分析设t=sinx-cosx=2sinx-π4,

则-2≤t≤2,

且sinx·cosx=1-t22.

由于y=t+1-t22=-12(t-1)2+1,

故当t=1时,ymax=1;当t=-2时,ymin=-2-12.

点评sinα+cosα,sinα-cosα,sinα·cosα这三者之间有着相互制约,不可分割的密切联系.sinα·cosα是纽带,三者之间知其一,可求其二.令t=sinx-cosx换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值.应该注意的是求三角函数的最值方法有多种,像配方法、不等式法等,这里不再赘述,有兴趣的同学不妨自己探讨一下.

七、化成y=sin(ωx+φ)·cos(ωx-φ)或y=sin(ωx+φ)+sin(ωx-φ)型

例7已知函数f(x)=sinωx+π6+sinωx-π6-2cos2ωx2,x∈R(其中ω>0),求函数f(x)的值域.

分析f(x)=sinωx+π6+sinωx-π6-2cos2ωx2

=32sinωx+12cosωx+32sinωx-12cosωx-(ωx+1)

=232sinωx-12cosωx-1

=2sinωx-π6-1

由-1≤sinωx-π6≤1,得

-3≤2sinωx-π6-1≤1,

可知函数f(x)的值域为[-3,1].

八、化成y=sinx+asinx型

例8求y=sinx+2sinx(0

分析设u=sinx,则y=u+2u(0

∴当u=1时,ymin=1+21=3.

点评若由sinx+2sinx≥2sinx·2sinx=22,可得最小值22是错误的.这是因为当等号成立时,sinx=2sinx,即sinx=2>1是不可能的.若把此题改为y=sinx+2sinx(0

变式习题答案:

1.解:(1)f(x)=sin2x+sinxcosx+cos2x

=1-cos2x2+12sin2x+cos2x

=12(sin2x+cos2x)+12

由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45,

cos2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=1-tan2α1+tan2α=-35,

所以f(α)=35.

(2)由(1)得

f(x)=12(sin2x+cos2x)+12

=22sin2x+π4+12,

由x∈π12,π2得2x+π4∈5π12,5π4,

所以sin2x+π4∈-22,1.

从而f(x)=22sin2x+π4+12∈0,1+22.

2.解:(Ⅰ)因为f(x)=sin2x-(1-cos2x)

=2sin(2x+π4)-1,

所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当2x+π4=2kπ+π2,

即x=kπ+π8(k∈Z)时,f(x)取最大值2-1.

因此函数f(x)取最大值时x的集合为

x|x=kπ+π8,k∈Z.

3.D

4.34

5.解:由f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1,得

f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x-1)

=3sin2x+cos2x=2sin2x+π6,

所以函数f(x)的最小正周期为π.

因为f(x)=2sin2x+π6在区间0,π6上为增函数,在区间π6,π2上为减函数,又f(0)=1,fπ6=2,fπ2=-1,所以函数f(x)在区间0,π2上的最大值为2,最小值为-1.

6.B

7.C

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