学生自我探究的一个案例

张晓东 王志和

【摘要】

学生主动提出问题并进行自我探究，终于使问题得以解决.教师及时给予肯定和赞赏，从而引起多位同学的探究热情，并得到统一的简洁解决方法.整个案例实施过程中，教师不失时机地进行总结和演讲，使得学生群情激昂、思维专注，从而得到两点启示.

【关键词】提出问题；解法探究；简洁证明

1  探究起源

高三复习到解析几何综合题的时候，一天两位学生找到笔者，说他们有一个惊奇的发现，接着拿出一道例题和一道作业题，即引例1和引例2.

图1

引例1  过椭圆x24+y23=1上一点P（1，32）作两条直线

与椭圆的另一个交点分别是A，B，若PA，PB的斜率和是

0，求证直线AB的斜率是定值.

答案：直线AB的斜率是定值12.解法略.

图2

引例2  过抛物线y2=x上一点P（1，1）作两条直线与

抛物线的另一个交点分别是A，B，若PA，PB的斜率和是

0，求证直线AB的斜率是定值.

答案：直线AB的斜率是定值-12.解法略.

两位同学说：“我们证明了，对于双曲线，也有这样题

目.”他们拿出本子，把双曲线的题目和作法给我看，两位

学生很激动.出于鼓励他们好好学习的想法，我也表现出

激动的神情，并在第二天上课时表扬了这两位同学善于总

结、努力钻研的精神.

这天晚上自修课，这两位同学又到办公室找到我，说

他们又有新的发现：在如上述引例中椭圆、双曲线、抛物线的

题目中，过点P的曲线切线的斜率与直线

AB的斜率之和也是0，根据这个结论，因为过点P的曲线

切线的斜率容易求出，就可以预知直线AB的斜率.

我显示出格外的新奇，我跟两位同学说，我还没想过有

这样的结论，你们太了不起了！但这只是一种猜测，能否有

一般的结论，还要证明.这件事老师就委托你们完成，如果

有好的成果，我们在教室靠门口的展示窗上展出.

2  探究过程

第二天，两位学生得到定理1及其证明.

定理1  A，B，C，D是抛物线y2=2px（p>0）上横坐标互不相同的四点，若kAB+kCD=0，kAC+kBD=0，kAD+kBC=0中有一个等式成立，则另两个等式也成立（其中kAB表示直线AB的斜率，其余的表示意义相同）.

证明  不妨设kAB+kCD=0且直线AB與直线CD交于点P，并设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由已知和抛物线特征，可知四边形ABCD各边及对角线所在直线的斜率都存在且都不为0，可设直线AB方程是x-x0=m（y-y0），与抛物线方程y2=2px联立，得y2-2mpy+2mpy0-2px0=0，

则y1+y2=2mp.

因为kAB+kCD=0，可设直线CD方程为x-x0=-m（y-y0），

同样可得到y3+y4=-2mp.

因而得y1+y2=-（y3+y4），此式可变为y1+y3=-（y2+y4），也可以变为

y1+y4=-（y2+y3）.

kAC=y3-y1x3-x1=y3-y1y232p-y212p，即kAC=2py1+y3，同理kBD=2py2+y4，所以得到

kAC+kBD=0；同样，kAD+kBC=0.

当点A，D，P重合时（如图3），便是引例2的猜测情况.

图3

但类似于椭圆和双曲线的结论，两位同学却陷入僵局，用两个晚自修时间抽空演算，也没有实现突破.但巧合的是，第三天拓展内容，笔者给学生介绍了下面的结论1，主要是为学生对解析几何问题减少计算量提供一个途径，而且近几年的高考题和各地模拟题解答中可以多次用到这个结论［2］，没想到竟意外的为他们成功解决问题提供了助推器.

结论1  设A（acosθ1，bsinθ1），B（acosθ2，bsinθ2）是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的不同两点，ti=tanθi2（i=1，2），当A，B都不是左顶点时，过两点A，B的直线方程是

b（1-t1t2）x+a（t1+t2）y=ab（1+t1t2）.

当a=b时椭圆变成圆，结论也成立；b>a>0时这个结论亦成立.

经过两个同学思维碰撞，他们终于茅塞顿开，他们得到定理2及其证明.

定理2  已知椭圆：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上有横坐标互不相同的四点A，B，C，D，若kAB+kCD=0，kAC+kBD=0，kAD+kBC=0这三个等式中有一个等式成立，则另两个等式也成立.

图4

证明不妨设kAB+kCD=0.当A，B，C，D中有一个点是左顶点时，不妨设B是左顶点，可知四边形ABCD是等腰梯形，此时命题成立.以下设A，B，C，D中没有点是左顶点.设A（acos θ1，bsin θ1），B（acos θ2，bsin θ2），C（acos θ3，bsin θ3），

D（acos θ4，bsin θ4），ti=tan θi2（i=1，2，3，4），则

直线AB方程是b（1-t1t2）x+a（t1+t2）y=ab（1+t1t2），

直线CD方程是b（1-t3t4）x+a（t3+t4）y=ab（1+t3t4），

所以，kAB=-ba·1-t1t2t1+t2，kCD=-ba·1-t3t4t3+t4，

因为kAB+kCD=0，即1-t1t2t1+t2+1-t3t4t3+t4=0.①

整理得，（t1+t2+t3+t4）-（t1t2t3+t1t2t4+t1t3t4+t2t3t4）=0.②

可以看出，②式是关于t1，t2，t3，t4的轮换对称式.

在t1，t2，t3，t4中任取不同的两个数，可得形如1-t1t2t1+t2的式子共有C24=6个，两两配对，即可得形如①式的等式有三个，亦即②式除能变形为①式外，还有如下两种变形：

1-t1t3t1+t3+1-t2t4t2+t4=0以及1-t1t4t1+t4+1-t2t3t2+t3=0.

于是由kAB+kCD=0可得kAC+kBD=0以及kAD+kBC=0.

于是定理2得证.

为了证明双曲线的类似结论，他们证明了如下结论2.

结论2  设A（asecθ1，btanθ1），B（asecθ2，btanθ2）是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

上的不同两点，ti=tan θi2（i=1，2），当A，B都不是左顶点时，过两点A，B的直线方程是

b（1+t1t2）x-a（t1+t2）y=ab（1-t1t2）.

证明方法见文献［2］.

由此得定理3.

定理3  已知双曲线：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上有横坐标互不相同的四点A，B，C，D，若kAB+kCD=0，kAC+kBD=0，kAD+kBC=0这三个等式中，有一个成立，则另两个也成立.

证明方法与定理2一样，此处略.

笔者把这两位同学的研究结果张贴在展览窗，并给予赞赏.两位同学得到了其他同学的热烈掌声，因而让他们信受鼓舞.这件事对他们两人来说，可能会铭记终身，也可能对他们学业发展起到推波助澜的作用.

三个定理的统一简洁证明

第二天上数学课，在讲桌的醒目处放着一页纸，赫然写着：《三个定理的统一简洁证明——曲线系方法的运用》.这是一位被称为数学“学霸”的同学的杰作.

原来昨天晚上在展览窗展出的文稿，引起了几位同学的兴趣，他们仔细阅读品位，感觉证明太费周折，于是他们开始思考问题能否有更好的解决方案，最后由一位同学用建立曲线系的方法，给出了三个定理的统一证明，以下先以椭圆情形为例.

证明  设直线AB：y=kABx+b1，直线CD：y=kCDx+b2，直线AC：y=kACx+b3，直线BD：y=kBDx+b4.现在我们在已知kAB+kCD=0的情况下，来证明：kAC+kBD=0及kAD+kBC=0.

分别把两直线AB，CD及两直线AC，BD看成是二次曲线，椭圆经过以上两条曲线的交点，可设：

（y-kABx-b1）（y-kCDx-b2）+λ（y-kACx-b3）（y-kBDx-b4）=μ（x2a2+y2b2-1），

比较y2项系数得1+λ=μb2.

比较xy项系数，得-kAB-kCD+λ（-kAC-kBD）=0，

即-（kAB+kCD）=λ（kAC+kBD）.③

若λ=0，由1+λ=μb2得μ=b2，由曲线系的构成，可知此时椭圆可以表示为两条直线AB，CD，不可能，于是λ≠0.这样，由③式可知：若kAB+kCD=0，则kAC+kBD=0.

若分别把两直线AB，CD及两直线AD，BC看成是二次曲线，椭圆经过这两条曲线的交点，用建立曲线系的方法，同样可得若kAB+kCD=0，则kAC+kBD=0.

综上可知命题成立.

用一模一样的方法，可证定理1和定理3.

教师感叹：原来千回百转的证明，经这样寥寥几笔就大功告成，真是神来之笔！妙！妙！著名数学家美籍华人张益唐先生推进了孪生素数猜想，把“无限”变到了“7000万”，而陶哲轩等数学家进一步推进，已经把7000万变成了246.数学需要猜想，需要创造，更需要简化和再创造，以让更多人阅读和理解.更期待同学们以后在数学上、在科学上有成就，有创造，为祖国的建设和发展做出自己的贡献.

同学们神采奕奕，意气风发，有的同学甚至把拳头握紧并往下一挥，以表示加油的意思.3  两点启示

第一，把握学生创新创意的机会，及时鼓励、激励、诱导，让创新的种子深植于学生的心灵深处，形成质疑、解惑、反思、总结的好习惯，为以后学业发展提供动力源泉.习惯成自然，不失时机的扶植学生创新的火花，学生形成乐于思考、不断进取的思维品格，将受益终身.

第二，带着问题听课，带着问题学习可能是解决问题的很好机会.笔者提供的结论1目的是当直线点斜式方程使用难以为继的时候，可以用椭圆上两点确定的直线的双参数方程，而且这种双参数方程在解答问题中很好用［2］，目的是为学有余地的同学登高望远.其他同学可能是就事论事，想着如何在解题中运用这个结论，而我们的两位同学是在寻机解决他们提出的猜想，一些蛛丝马迹都可能引爆他们思维的火花，笔者无意中提供的工具，成为他们思维导火索的燃点，灵感惊现.言者无意，听者有心.“折磨”他们两天的猜想终于得到解决，他们激动的心情是任何词语都难以形容的.这也许是科学发现的一种经历：带着问题学习，带着问题思考，寻芳采猎，艰苦跋涉，不经意间可能有意想不到的收獲.

经查证，文献［1］中最后的命题15、命题16就是这里的定理2、定理3，文［1］未写出证明过程.这里由学生自行猜测出结论，引起多个同学的探究热情，学生自发地拓展了知识视野（如曲线系的方法等），并给出简单证明，甚是难得.教师的鼓励和趁机的激情演讲，为学生荡舟学海起到了推波助澜的作用.

参考文献

［1］  杨苍洲.圆锥曲线的一组优美定值［J］.中学数学研究，2011（12）：32-34.

［2］  王妍雯，王志和.三角换元辟蹊径，直线方程换新装［J］.中学数学杂志，2024（01）：49-52.

作者简介张晓东（1983—），男，中学高级教师，硕士;区名教师，区学科中心组成员；在市区级教学比赛、论文比赛中多次获奖;研究方向为高中数学教学，发表论文数篇.

王志和（1962—），男，上海市特教师，正高级教师，上海市园丁奖获得者；主要研究高中数学教育教学和数学文化，辅导的学生参加数学竞赛多人次获奖，发表文章130余篇.