2024届高三九省联考第18题的探究推广

黄芳 卢恩良

【摘要】圆锥曲线中的定点问题是高考考查的重点，其类型多样，难度较大.对2024届高三九省联考数学第18题进行探究，将试题蕴含的结论推广到一般情况，并类比探究，发现椭圆、双曲线中也有类似的结论.

【关键词】圆锥曲线；相交弦；定点

1试题呈现

例（2024届高三九省联考第18题）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点.

（1）证明：直线MN过定点;（2）略.

解由题意可知两条直线的斜率都存在且不为0，故可设直线l方程为x=ty+1（t≠0），则直线DE方程为x=-1ty+1.联立y2=4x，x=ty+1，得y2-4ty-4=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=4t，x1+x2=4t2+2，则点M坐标为（2t2+1，2t），同理得点N坐标为2t2+1，-2t.

直线MN的方程为yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得

x=xNyM-xMyNyM-yN=2t2t2+1+2t2t2+12t+2t=6t+1t2t+1t=3，所以直线MN过定点3，0.

本文主要研究试题第（1）问，上述解法为通性通法.试题第（1）问主要考查直线与抛物线的位置关系、相交弦的中点问题，考查学生逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.

试题第（1）问的解答有两个关键.第一是根据对称性分析，直线MN所过定点必在x轴上，考验学生逻辑推理和直观想象素养，明确运算方向即为求解定点横坐标；第二是直线MN方程形式的选择，解法中选用直线的两点式方程，令y=0，从而求得x=3.试题结论是否可以一般化？可否进行拓展？关于直线过定点，有人做了研究［1］.对上述问题，笔者做了深入思考，分享如下.

2结论推广

由试题解析可知直线MN过定点（3，0），将抛物线一般化可得以下命题成立.

命题1已知抛物线C：y2=2pxp＞0的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，M，N分别为AB，DE的中点，则直线MN过定点3p2，0.

证明由题意可设直线l方程为x=ty+p2（t≠0），则直线DE方程为x=-1ty+p2.联立y2=2px，x=ty+p2，得y2-2pty-p2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=2pt，x1+x2=2pt2+p，则点M坐标为pt2+p2，pt，同理得点N坐标为pt2+p2，-pt.

直线MN的方程为yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得x=xNyM-xMyNyM-yN=3p22t+1tpt+1t=3p2，所以直线MN过定点3p2，0.

如果将直线AB与直线DE由过抛物线焦点一般化，可得下面命题成立.

命题2已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过（m，0）（m＞0）的直线l与C交于A，B两点，过（m，0）与l垂直的直线交C于D，E两点，M，N分别为AB，DE的中点，则直线MN过定点（p+m，0）.

证明由题意可设直线l方程为x=ty+m（t≠0），则直线DE方程为x=-1ty+m.联立y2=2px，x=ty+m，得y2-2pty-2pm=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=2pt，x1+x2=2pt2+2m，則点M坐标为（pt2+m，pt），同理得点N坐标为pt2+m，-pt.

直线MN的方程为yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得x=xNyM-xMyNyM-yN=pt+1t（p+m）pt+1t=p+m，所以直线MN过定点（p+m，0）.

试题中，直线AB与DE垂直即为直线斜率之积为-1，如果将该条件一般化，可得下面结论成立.

命题3已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过（m，0）（m＞0）的直线与C交于A，B两点，过（m，0）的直线与C交于D，E两点，M，N分别为AB，DE的中点，若直线AB与DE的斜率之积为n（n≠0），则直线MN过定点m-pn，0.

证明由题意可设直线AB方程为x=ty+m（t≠0），则直线DE方程为x=1nty+m.联立y2=2px，x=ty+m，得y2-2pty-2pm=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=2pt，x1+x2=2pt2+2m，则点M坐标为（pt2+m，pt），同理得点N坐标为pn2t2+m，pnt.

直线MN的方程为yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得

x=xNyM-xMyNyM-yN=p1nt-tpn-mpt-1nt=m-pn，所以直线MN过定点m-pn，0.

3类比探究

试题中的定点结论经过探究发现在抛物线中具有一般性的结论，那么，在椭圆和双曲线中是否也如此呢？笔者经过探究，得到以下命题也成立.

命题4已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），过（m，0）（|m|＜a）的直线与C交于A，B两点，过（m，0）的直线与C交于D，E两点，M，N分别为AB，DE的中点，若直线AB与DE的斜率之积为n，则直线MN过定点mna2na2-b2，0.

证明由题意可设直线AB方程为x=ty+m（t≠0），则直线DE方程为x=1nty+m.联立b2x2+a2y2-a2b2=0，x=ty+m，得（b2t2+a2）y2+2mtb2y+b2m2-a2b2=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=-2mtb2b2t2+a2，x1+x2=2ma2b2t2+a2，则点M坐标为ma2b2t2+a2，-mtb2b2t2+a2，同理得点N坐标为ma2n2t2b2+a2n2t2，-mntb2b2+a2n2t2.

直线MN的方程为yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得

x=xNyM-xMyNyM-yN=mna2（nt2-1）（na2-b2）（nt2-1）=mna2na2-b2，所以直线MN过定点mna2na2-b2，0.

特别地，当直线AB与DE垂直时，n=-1，直线MN过定点ma2a2+b2，0.

命题5已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），过（m，0）（|m|＞a）的直线与C交于A，B两点，过（m，0）的直线与C交于D，E两点，M，N分别为AB，DE的中点，若直线AB与DE的斜率之积为n，则直线MN过定点mna2na2+b2，0.

证明由题意可设直线AB方程为x=ty+m（t≠0），则直线DE方程为x=1nty+m.联立b2x2-a2y2-a2b2=0，x=ty+m，得（b2t2-a2）y2+2mtb2y+b2m2-a2b2=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=-2mtb2b2t2-a2，x1+x2=-2ma2b2t2-a2，则点M坐标为ma2a2-b2t2，mtb2a2-b2t2，同理得点N坐标为ma2n2t2a2n2t2-b2，mntb2a2n2t2-b2.

直线MN的方程为yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得

x=xNyM-xMyNyM-yN=a2b2m2nt（nt2-1）mtb2（na2+b2）（nt2-1）=mna2na2+b2，所以直线MN过定点mna2na2+b2，0.

特别地，当直线AB与DE垂直时，n=-1，直线MN过定点ma2a2-b2，0.

4反思回顾

圆锥曲线是考查学生数学核心素养的有效载体，通过引导学生对试题深入思考，变式拓展，可以很好地发展学生的数学思维，提升数学核心素养水平.

新课程标准指出“在平面解析几何的教学中，要时刻注意体现数形结合思想和转化思想，让学生从代数与几何的角度去理解这一部分内容”.试题第（1）问中直线MN所过定点在x轴上就是从“形”的角度入手分析问题，通过运算求得定点横坐标为3就是从“数”的角度进行运算推理，充分体现了学生逻辑推理和数学运算素养水平.

新课程标准还指出“要重视运用类比的方法进行教学”“要注重数学素养培养”.因为平面解析几何中对不同的研究对象（主要是椭圆、抛物线、双曲线）所采用的手法与模式大致相同，所以教学中可以很好地引导学生借鉴前者的研究方法与模式来研究后者，并引导学生主动运用类比、归纳、推广等思想方法，从而提升数学素养.本文从从抛物线出发，将试题推广得到一般性结论，并通过类比探究得到椭圆和双曲线中的相关结论，有效地落实了新课程标准对一线教学的指导和实施［2］.

参考文献

［1］喻秋生.一类直线过定点问题的探究与发现［J］.中学数学杂志，2019（09）：61-63.

［2］马宏酉，魏东升.相交弦中点所在直线过定点问题探究［J］.数理化解题研究，2023（28）：65-68.

作者簡介黄芳（1989—），女，江西湖口人，中学一级教师.

卢恩良（1991—），男，江西修水人，中学一级教师，主要从事高中数学教学研究.