以椭圆第二定义为基础构建焦半径体系

【摘  要】  对比新旧教材可以发现，新教材中对圆锥曲线定义的表述有意识地用第二定义进行统一，特别是抛物线定义的引入，更加驗证了这一点.而且教材中有关焦半径、焦点弦长的例题、习题仍然随处可见，特别是已知过焦点的直线的倾斜角，求解焦点弦长问题.由此可见，对椭圆焦半径公式的坐标形式及倾斜角形式进行研究，发掘焦半径公式的典型应用，归纳得出一般性结论，在圆锥曲线章节的学习中显得尤为重要.

【关键词】  椭圆；第二定义；焦半径

在平面直角坐标系中，若点M（x，y）与定点F（c，0）（或F′（-c，0））的距离和它到定直线l：x=a2c（或l′：x=-a2c）的距离的比是常数ca（0＜c＜a），则点M的轨迹是一个椭圆，这就是椭圆的第二定义.这里定点F（c，0）是椭圆的一个焦点，直线l：x=a2c称为相应于焦点F的准线；定点F′（-c，0）是椭圆的另一个焦点，直线l′：x=-a2c称为相应于焦点F′的准线［1］.

1  焦半径公式推导

下面以焦点在x轴的椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）为例，进行焦半径公式的推导说明.如图1所示，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由椭圆第二定义可知，AF2AH=e，而AH=a2c-x1，所以AF2=a-ex1，同理BF2=a-ex2，AF1=a+ex1，BF1=a+ex2，以上焦半径的表达式称为坐标式.形式均为“a±e×横坐标”，为了方便记忆，口诀为“左加右减”，其中左、右为焦点位置.

图1  焦点在x轴的焦半径推导图示

可以发现，若线段AB与x轴正半轴夹角为α，也即直线AB的倾斜角为α，则x1=c+AF2·cos α，整理得AF2=b2a1+ecos α，同理BF2=b2a1-ecos α，此焦半径的表达式［2］称为倾斜角式，主要与过焦点直线的倾斜角有关.

若焦点在y轴上，推导图示如图2，可以仿照以上的推导思路进行，这里推导过程不再赘述.但需注意，若点A（x1，y1），B（x2，y2），此时AF2=a-ey1，同理BF2=a-ey2，AF1=a+ey1，BF1=a+ey2，形式均为“a±e×纵坐标”，为了方便记忆，口诀为“上减下加”，其中上、下为焦点位置.

当然，若线段AB与y轴正半轴夹角为α，可得AF2=b2a1+ecos α，同理BF2=b2a1-ecos α.

图2  焦点在y轴的焦半径推导图示

注

①无论焦点在x轴或y轴，椭圆焦半径的倾斜角式表达式，均可以用与过焦点的直线AB与坐标轴正方向的夹角α表示；

②若直线AB过图1椭圆的左焦点F1或图2椭圆的下焦点F1，且与坐标轴正方向的夹角为α时，AF1=b2a1-ecos α，BF1=b2a1+ecos α.

2  焦半径公式应用

2.1  利用焦半径范围求解离心率范围

例1  椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点F，其右准线x=a2c与x轴的交点为P，在椭圆上存在点A满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围    .

分析  由椭圆的焦半径坐标式可知，AF=a-ex1，又x∈［-a，a］，所以AF∈［a-c，a+c］，进而可以建立不等关系，进行求解.

解  由题意得知，AF=PF，且PF=a2c-c=b2c，又由分析可知，AF∈［a-c，a+c］，所以a-c≤b2c≤a+c，整理得12≤e≤1，又e∈（0，1），故e∈12，1.

2.2  利用焦半径比值求解离心率

例2  已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则C的离心率为    .

分析  不妨假设F是椭圆C的右焦点，B是短轴的下端点.设直线BF与x轴正半轴夹角为α，由椭圆的焦半径倾斜角式可知，DF=b2a1+ecos α，BF=b2a1-ecos α，通过BF=2FD，进而可以建立等量关系式，进行求解.

解  由题意知，BF=2FD，也即BF=2FD，又DF=b2a1+ecos α，BF=b2a1-ecos α，故2（1-e cos α）=1+ecos α，整理得ecos α=13，又cos α=ca=e，则e2=13，故e=33.

赏析  由图1推导出的椭圆的焦半径倾斜角式可知，AF2=b2a1+ecos α，BF2=b2a1-ecos α，若AF2=λF2B，则AF2=λF2B，整理得ecos α=1-λ1+λ.为了与直线AB过左焦点F1时进行公式统一，则ecos α=±λ-1λ+1.需要注意，当α为锐角时，取正；当α为钝角时，取负.

进一步分析可知，因为k=tan α，则cos α=±1k2+1，又ecos α=±λ-1λ+1，所以ek2+1=λ-1λ+1.

题目虽老，历久弥新，因为其蕴含的知识点是不变的，解决路径是相通的.通过以上结论能够轻松解决2019年全国Ⅰ卷理科数学第10题，这里不再展开.

2.3  利用焦点弦长公式推导面积

性质1  如图3所示，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），其右焦点F2在线段AB上，则当e∈0，22时，S△OAB∈（0，b2e］；当e∈22，1时，S△OAB∈0，b221-e2.

图3  利用焦点弦长求面积图示

证明  由椭圆的焦半径倾斜角式可知，AF2=b2a1+ecos α，BF2=b2a1-ecos α，则AB=AF2+BF2=2b2a1-e2cos2α.作OH⊥AB，在△OHF2中，OH=csin α，所以S△OAB=12×AB×OH=b2esin α1-e2cos2α，而cos2α=1-sin2α，整理得S△OAB=b2esin α1+e2sin2α-e2=b2e1-e2sin α+e2sin α.

由于椭圆具有对称性，仅讨论0＜α≤π2，令t=sin α，则t∈（0，1］.设f（t）=1-e2t+e2t，则f′（t）=e2+（e2-1）1t2，分析可知，t∈（0，1］时，f′（t）单调递增.令f′（t）=0，此时t0=1-e2e.

若1-e2e≥1，即e∈0，22时，f′（t）≤0恒成立，则f（t）单调递减，所以S△OAB在t∈（0，1］单调递增，当t=1时，也即α=π2时，S△OAB最大值为b2e，故S△OAB∈（0，b2e］；

若0＜1-e2e＜1，即e∈22，1时，当t∈（0，t0）时，f′（t）＜0，f（t）单调递减，当t∈（t0，1］时，f′（t）>0，f（t）单调递增，则S△OAB在t∈（0，t0）单调递增，在t∈（t0，1］单调递减，当t=t0=1-e2e时，sin α=1-e2e，tan α=1-e22e2-1，也即直线AB斜率为1-e22e2-1时，S△OAB取得最大值为b221-e2，故S△OAB∈0，b221-e2.

2.4  焦半径公式与角平分线结合

性质2  已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，若∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），则m∈-c2a，c2a.

证明  设点P（x0，y0），由椭圆的焦半径坐标式可知，PF1=a+ex0，PF2=a-ex0.因为PM平分∠F1PF2，由角平分线的性质可知，PF1PF2=MF1MF2，也即a+ex0a-ex0=m+cc-m，整理得m=e2x0，又x0∈（-a，a），故m∈-c2a，c2a.

2.5  利用焦半径解决椭圆与数列交汇问题

性質3  如图4所示，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，若椭圆C上存在点P（x0，y0），使得AF，PF，BF成等差数列，且FP+FA+FB=0，则k，m，a2，b2需要满足m2（a2k2+4b2）=（a2k2+b2）2，其中公差d=±bca2k2+b2-m2a2k2+b2.

图4  椭圆与等差数列综合图示

证明  设点A（x1，y1），B（x2，y2），由椭圆的焦半径坐标式可知，AF=a-ex1，PF=a-ex0，BF=a-ex2.因为AF，PF，BF成等差数列，所以2PF=AF+BF，也即x0=x1+x22，又FP+FA+FB=0，转化为坐标可知，y0=-（y1+y2）.

由此可见，点P坐标与x1+x2，y1+y2有关，联立直线l：y=kx+m与椭圆C消y得，（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2（m2-b2）=0，则x1+x2=-2a2kma2k2+b2，x1x2=a2（m2-b2）a2k2+b2，y1+y2=2b2ma2k2+b2，所以x0=-a2kma2k2+b2，y0=-2b2ma2k2+b2，则P-a2kma2k2+b2，-2b2ma2k2+b2，又P（x0，y0）在椭圆上，代入得k2m2a2（a2k2+b2）2+4m2b2（a2k2+b2）2=1，整理得m2（a2k2+4b2）=（a2k2+b2）2.

由已知条件不难得出公差d=±e2x1-x2=±e2（x1+x2）2-4x1x2，整理得d=±bca2k2+b2-m2a2k2+b2.

本题目将2018年全国Ⅲ卷理科数学第20题进行了一般性推广，可以看出椭圆的焦半径公式在解决和数列知识交汇考查的过程中，具有独特的优势.当然以上分析是建立在等差数列的基础上，等比数列按照此思路也可以进行探究，只是x0满足的式子为a（x1+x2-2x0）+e（x20-x1x2）=0，显得更为复杂，一般性结论较难得出，但是可以为出题人提供一定的命题方向.

同时，在此基础上也进行了创新性思考，如把以上题设条件变为“AF，PF，BF成等差数列，且满足PA⊥PB”，前面求解过程不再赘述，最终发现k，m，a2，b2，x0，y0需要满足x0=-a2kma2k2+b2，m=-a2-b2a2+b2（kx0+y0），其中第一个式子保证等差数列成立，第二个式子保证垂直条件成立.

经过验证，椭圆x29+y22=1，以及点P1，43，是能够使得存在这样的直线l：y=kx+m，满足“AF，PF，BF成等差数列，且满足PA⊥PB”的，解得k=7±336，m=-35±7322，可以发现数据并不是很完美，但是把问题设置成是否存在这样的直线满足上述条件即可.

3  总结

本文以椭圆的第二定义为基础构建了焦半径体系，给出了焦半径的两种表示形式，同时呈现了焦半径公式的五种典型应用，特别是后面的面积及等差数列交汇的部分，既可以帮助学生融会贯通涉及的各个知识点，打开解决问题的思路，又能够给予教师一定的启发.

参考文献

［1］  人民教育出版社  课程教材研究所  中学数学课程教材研究开发中心．普通高中教科书数学选择性必修第一册［M］.北京：人民教育出版社，2020：117.

［2］  彭世金.与椭圆焦点弦长相关的几个结论及应用［J］.数学通讯，2009（04）：31-32.

作者简介

谷红亮（1991—），男，汉族，河南省驻马店人，本科，中学二级教师;从事高中数学教学研究.