一个恒等式的再开发及应用

2024-06-10朱一凡朱传美

中学数学杂志(高中版) 2024年3期

朱一凡朱传美

【摘要】韦达定理在解析几何的运算中发挥着极大的作用，恒等式“-c（x1+x2）=bx1x2”给出了两个点的横坐标之间的直接关系.结合典型例题从四个不同的路径对以上恒等式进行一次再开发，给出更灵活的形式，并由此给出简化解析几何运算的新思路.

【关键词】韦达定理；恒等式；开发；简化运算

若x1，x2为实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实根，则有x1+x2=-ba，x1x2=ca，此为著名的韦达定理，由两等式相结合可得一个简洁的恒等式-c（x1+x2）=bx1x2［1］.此恒等式能有效简化解析几何的运算，实际上，此恒等式给出的仅仅是两个点的横坐标之间的直接关系.若从此认识出发，拓宽研究问题的思路与方法，我们可以尝试从更多路径对此恒等式进行一次再开发，又将带来简化解析几何运算的新思路.

1 韦达定理开发更一般恒等式

例1 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为23，且过点P（2，53）.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设A为椭圆E的左顶点，过点C（1，0）的直线与椭圆E交于M，N两点，直線AM与直线l：x=9交于点T，问：直线TN是否过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由.

说明此题选自文［2］，由韦达定理得出x1+x2=18k25+9k2，x1x2=9k2-455+9k2后，开发出了更一般的恒等式x1x2=5（x1+x2）-9，对简化后续解题步骤提供了极大的帮助.这里不仅仅是和与积之间的直接关系，还出现了常数项，所以可称之为更一般的恒等式.当然，我们还可以借助其他路径获取更广义的恒等式.

2 三点共线开发恒等式

例2 已知F1，F2分别是椭圆C：x22+y2=1的左、右焦点，动点M在C上，连接F2M 并延长至点N，使得MN=MF1，设点N的轨迹为D.

（1）求D的方程；

（2）设O为坐标原点，点P∈D，连接PF2交C于Q点，若直线F1P的斜率与直线OQ的斜率存在且不为零，证明：这两条直线的斜率之比为定值.

分析此题为解析几何难题，第（2）问定值问题为此题的难点，涉及到两个定曲线和三条动直线，其中两个动点P，Q为解决此题的关键入口.

解（1）因为F2（1，0），NF2=MN+MF2=MF1+MF2=2a=22.

所以点N的轨迹D为以F2为圆心，22为半径的圆，其方程为（x-1）2+y2=8.

（2）解法1 设Q（x1，y1），P（x2，y2）在第一象限，则x1>0，x2>0.

当PF2⊥x轴时，P（1，22），Q（1，22），kF1P：kOQ=2：22=2.

当PF2斜率存在且不为零时，设直线PF2的方程为y=k（x-1）.

联立x2+2y2=2，y=k（x-1），可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，x1=2k2+2k2+22k2+1.

联立（x-1）2+y2=8，y=k（x-1），

可得（k2+1）x2-（2k2+2）x+k2-7=0，x2=1+22k2+1.

则kF1PkOQ=y2x2+1·x1y1=k（x2-1）x2+1·x1k（x1-1）=22k2+12+22k2+1·2k2+2k2+22k2+1-1+2k2+22k2+1=2k2+1+2·2k2+2k2+2-1+2k2+2=2（k2+1+2k2）k2+1+2k2=2.

说明解法1为常规思路，但在用k表示P，Q两点的横坐标时，出现了问题，在没有办法的情况下，只得添加附加条件，即假设两点均在第一象限，严格意义上讲，还需要再验证一下P点在第二象限的情况，由对称性，三、四象限就不用再证了，当然，还要考虑P点在坐标轴上的情形.可见，常规解法的繁琐，简化运算势在必行.此解法用k分别表示了P，Q两点的横坐标，既然两个动点P，Q为解决此题的关键入口，而且P是主动点，Q是从动点，那么它们的横坐标应该有着直接的关系，能否找到两点横坐标之间的直接关系，从而简化运算呢？

解法2 设Q（x1，y1），P（x2，y2）（y1≠0，y2≠0）.

由kF2Q=kF2P可得，y1x1-1=y2x2-1，即y12y22=（x1-1）2（x2-1）2=1-x1228-（x2-1）2.

所以有（x1-1）2（x2-1）2=1-x122+（x1-1）28=（x1-2）216，即 x1-1x2-1=2-x14=y1y2>0，

则 x1x2=2x2-3x1+2.

所以当x1≠0时，

kF1PkOQ=y2x2+1·x1y1=y2x1y1（x2+1）=4x1（2-x1）（x2+1）=4x12x2+2-x1x2-x1=4x12x1=2.

当x1=0时，可取Q（0，1），P（-1，2），直线F1P与直线OQ的斜率均不存在，舍去.

评析这里直接设出点P，Q的坐标，由F2，P，Q三点共线探寻P，Q横坐标之间的直接关系，巧妙地运用点在曲线上消去了纵坐标，再运用合分比定理得到x1x2=2x2-3x1+2，过程简洁明快，无需分类讨论，极大简化运算.此关系式的得出并没有借助韦达定理，而是由题中条件自主得出，这是对恒等式“-c（x1+x2）=bx1x2”的再次开发，由运算的简化可说明此开发的必要性.此解法思路灵活精巧，对代数恒等变换的要求很高，说明横坐标的关系不易得出，至此，我们不禁想问：能否探寻P，Q两点纵坐标之间的直接关系呢？

解法3 设直线PF2的方程为x=my+1，设Q（x1，y1），P（x2，y2）（y1≠0，y2≠0）.

由 F2QF2P=2-22x122=y1y2 可得，1-12（my1+1）2=y1y2my1y2=y2-4y1.

所以当y2≠2y1时，

kF1PkOQ=y2x2+1·x1y1=y2（my1+1）y1（my2+2）=my1y2+y2my1y2+2y1=y2-4y1+y2y2-4y1+2y1=2y2-4y1y2-2y1=2.

当y2=2y1时，可取Q（0，1），P（-1，2），直线F1P与直线OQ的斜率均不存在，舍去.

说明这里同时设出点P，Q的坐标以及直线PF2的方程，过P，Q两点同时向x轴做垂线，由平面几何知识即得出比例关系，其中F2Q=2-22x1为椭圆C的焦半径， F2P=22为圆D的半径，这里得出了纵坐标的关系my1y2=y2-4y1，比横坐标来得更快一些，这也是对恒等式“-c（x1+x2）=bx1x2”的再开发，从运算的更简洁来看，此开发非常有必要.

3 倾斜角互补开发恒等式

例3 在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（2，0），动点P（x，y）满足直线AP与BP的斜率之积为-34.记点P的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）若M，N是曲線C上的动点，且直线MN过点D0，12，问在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO=∠NQO？若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

解（1）由kPAkPB=-34得：yx+2·yx-2=-34（x≠±2）.

化简得，x24+y23=1（x≠±2），所以曲线C的方程为x24+y23=1（x≠±2）.

（2）假设存在定点Q（0，m）符合题意，由题意及（1）知，直线MN与直线AD，BD均不重合.

当直线MN的斜率k存在时，设其方程为y=kx+12k≠±14，Mx1，y1，Nx2，y2.

由∠MQO=∠NQO，得直线MQ，NQ的倾斜角互补，故kMQ+kNQ=0.

又kMQ+kNQ=y1-mx1+y2-mx2=kx1+12-mx1+kx2+12-mx2=4kx1x2+（1-2m）x1+x22x1x2，

所以4kx1x2+（1-2m）x1+x2=0.①

联立x24+y23=1，y=kx+12，可得3+4k2x2+4kx-11=0，Δ=16k2+443+4k2>0.