渐进式“再发现”:融思维发展于解题活动

张良江

摘  要：数学教学是发展思维的教学，好比要在游泳实践中学会游泳一样，笔者力主学会思考、发展思维也应在思维实践和思维活动中才能得到落实.解题活动作为数学教学的重要组成部分，其对发展思维具有无可替代的承载作用.因此教师应十分重视在解题过程中，就如何寻求解题思路给予示范与引导，让思维活动具体化，使之看得见、抓得住.

关键词：数学教学；学会思考；发展思维

数学教学是数学思维的教学，是数学学科独特育人功能之所在，思维的教学需要贯穿于数学教学的全过程.作为数学教学的内容之一的解题教学，更是培养和提升数学思维的重要途径.解题教学中，教师应努力创造条件使解题活动成为思维活动的再现.对于解题思路的分析、探求与形成，学生应在教师的指导下主动地探寻与获取.本文试以一道几何题多解思路的探求为例，力呈笔者的教学主张——渐进式“再发现”：在思维实践中学会思考，在思维实践中发展思维，请同行指正.

1  原题呈现及分析

1.1  原题呈现

已知矩形ABCD中（BC＞CD），点M在BC上，BM=CD，点N在CD上，且DN=CM，DM与BN交于点P，则DM∶BN=（  ）.

A. 3∶2

B. 1∶2

C. 2∶3

D. 2∶5

1.2  思路分析

思考1：矩形ABCD的各边长均未知，长宽比例也不确定，我们可以由此推断该题的结论与矩形边长无关，因此可以考虑给边长及相关线段赋值、设元，通过计算来寻求解答.

思考2：题中条件“BM=CD”“DN=CM”为构造全等提供了可能，于是“平移、旋转、对称”等手段值得一试.

思考3：选项中“1∶2”“3∶2”等选项暗示我们，题图中可能隐藏着特殊角（30°、45°、60°等），以此为突破口，构造等腰直角三角形或含30°的直角三角形，也可能是问题求解的新方向.

2  解法探求及评析

2.1  测量、验证法

解法1  题中并无相关数值，先以尺规作图的方式较准确地画出符合题意的图形，分别测量出线段DM与BN的长度，近似地计算出比值粗略地进行验证（注：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）.故选B.

评析与反思：当然，此解法中采用的画图、测量、计算、验证的方法缺乏科学的严谨性.但是，在部分有已知选项的选择题中，由于有答案的导向，在不易引起混淆的情形下，不妨一用.

2.2

定量赋值法

延续解法1的思路，由于不同学生所画矩形ABCD的形状、大小不尽相同（长宽尺寸以及长宽比例），但最终均可验证出正确结果，这无疑在启示我们，题中DM∶BN的值与矩形ABCD的边长大小以及长宽比例无关.因此，对相关线段的长度赋以数值，则新解法便呼之欲出.

解法2  如图1，设DN=CM=1，BM=CD=2，则BC=3，CN=1，由勾股定理可得DM=5，BN=10.故DM∶BN=5∶10=1∶2.

评析与反思：毫无疑问，对线段赋值的方式肯定不是唯一的.如图2，设DN=CM=3，BM=CD=4，则BC=7，CN=1，由勾股定理可得DM=5，BN=52.故DM∶BN=5∶52=1∶2.

2.3

一般赋值法

由解法2带来的启示，DM∶BN的值与矩形ABCD的长宽尺寸以及长宽比例无关，所以可以将解法2中的所赋数值更进一步地一般化，使解题过程更加具有逻辑严谨性.

解法3  如图1，设BM=CD=a，DN=CM=b，则BC=a+b，CN=a-b，由勾股定理可得DM=a2+b2，BN=（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）=2·a2+b2.故DM∶BN=a2+b2∶（2·a2+b2）=1∶2.

评析与反思：矩形中有“天然”的直角，通过一般化的赋值，应用勾股定理求出相关线段的值，再求比值，显得直接而明了.勾股定理为几何问题代数化提供了便利.

2.4  平移法

DM∶BN的值为1∶2，这似乎在暗示我们，DM与BN应该可以构成一个等腰直角三角形的直角边与斜边.由此考虑适当改变DM与BN的位置，使二者具有同一端点，以期形成等腰直角三角形，从而促使问题的解决.而改变线段位置的方法通常有平移、旋转与轴对称等.

2.4.1  平移线段DM

解法4  如图3，平移DM至NQ，连接MQ，BQ，则四边形NDMQ是平行四边形，得MQ∥DN，MQ=DN=CM，易证△BMQ≌△DCM，所以BQ=DM=NQ，且∠1=∠2，∠3=∠4，再由∠2+∠4=90°得∠1+∠3=90°，即∠BQN=90°，△BNQ为等腰直角三角形，所以DM∶BN=NQ∶BN=1∶2.

解法5  如图4，平移MD至BQ，连接QN，则四边形DMBQ是平行四边形，于是BQ瘙綊DM，DQ瘙綊BM，所以AQ=CM=DN.易证△ABQ≌△CDM≌△DQN，所以NQ=BQ=DM，且∠1=∠3，∠2=∠4，再由∠3+∠4=90°，得∠2+∠3=90°，即∠BQN=90°，△BNQ为等腰直角三角形，所以DM∶BN=BQ∶BN=1∶2.

评析与反思：平移DM，使其与BN具有公共端点，是出于“将DM，BN分别作为等腰直角三角形的腰与底边”的考虑，有一种“生米煮成熟饭”的味道.從某种意义上讲，该问题本身也会为解题思路的形成提供方向性的指引.

2.4.2  平移线段BN

解法6  如图5，平移NB至DQ，连接QM，则四边形DNBQ是平行四边形，于是NB瘙綊DQ，BQ瘙綊DN，于是BQ=CM，易证△BMQ≌△CDM，所以MQ=MD，类同解法5，易得∠DMQ=90°，即△DMQ为等腰直角三角形，所以DM∶BN=DM∶DQ=1∶2.

图5

图6

解法7  如图6，平移BN至MQ，连接DQ，NQ，则四边形BMQN是平行四边形，得MQ瘙綊BN，NQ瘙綊BM，所以NQ=CD.易证△DNQ≌△MCD，DQ=DM，如前易证∠MDQ=90°，即△DMQ为等腰直角三角形，所以DM∶BN=DQ∶MQ=1∶2.

评析与反思：与解法4、解法5类似，平移BN与平移DM有异曲同工之妙，选择平移哪条线段只是参照物选择的不同而已.

2.5  旋转法

2.5.1  绕点D旋转线段DM

解法8  如图7，将线段DM绕点D顺时针旋转90°至DQ，连接MQ，作QF⊥BC于点F，交AD于点E，则△DMQ为等腰直角三角形，易证△DEQ≌△DCM，所以DE=DC，QE=CM=DN.所以QF=QE+EF=DN+CD=CM+BM=BC，易得CN=FM，可证△QFM≌△BCN，所以QM=BN，所以DM∶BN=DQ∶QM=1∶2.

2.5.2  绕点M旋转线段DM

解法9  如图8，将线段DM绕点M顺时针旋转90°至MQ，连接DQ，作QF⊥AD分别交AD，BC的延长线于点F、E，则△DMQ为等腰直角三角形，易知ME=CD，QE=CM.再由CM=DN可得CE=CN=DF，又FQ=FE+EQ=CD+CM=BM+CM=BC，于是△DFQ≌△NCB，所以DQ=BN.所以DM∶BN=DM∶DQ=1∶2.

評析与反思：将DM绕点D（或M）旋转90°，构造了等腰直角三角形，再设法证明该三角形的斜边与BN相等，是这两种构造法的思考源头.无疑，旋转为思路的探求及解法的形成起到了铺路、架桥的作用.

3  探求感悟

波利亚有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就是意味着善于解题.”可见解题对于数学学习的重要性.除了通过解题实践来消化基础知识之外，更重要的是通过解题实践来提升思维能力，形成和发展数学核心素养.那么，如何引导学生科学地思考，让学生主动地探索，使多解思路自然形成呢？

3.1

善于辨认、回忆、预见，及时发现“老鼠尾巴”

问题的已知条件与未知的结论，像两个没有桥梁连接的小岛，而求解的过程，无疑就是为两座小岛之间架设有效便捷的桥梁.如何架设桥梁？多角度“辨认”、深层次“回忆”、合理“预见”.所谓“辨认”“回忆”“预见”，是指从条件（或结论）出发，辨识出其中是否有我们熟悉的名词、定义、场景等等，从而引导我们去“回忆”与之相关联的知识、原理与方法等.比如，本文的例中，由要求两条线段的比值，让我们想到“准确画图，度量验证”、利用勾股定理赋值计算；由题中“BM=CD，DN=CM”联想到构造全等；由“1∶2”“3∶2”等结论，想到可能存在特殊角，从而构造特殊三角形等等.“辨认”“回忆”“预见”三者是一个不可分割的、互为联动的整体.

奥林匹克数学竞赛最早发起人之一，苏联著名数学家塔尔塔克夫斯基教授曾打比方说：“寻找题解就是好像去抓藏在石堆里的老鼠.”可以“围绕石堆不停止地来回走动，并留心观察，看看什么地方露出老鼠尾巴没有.一旦发现老鼠的尾巴，你们就用手抓住它，并把老鼠从石堆里拖出来”［1］.对条件与结论不断地揣摩、分析、挖掘的过程就是“围绕石堆不停地来回走动”的过程，不断地“辨认、回忆与预见”，就是“留心观察，及时发现老鼠尾巴并将其拖出石堆”，使问题得解的过程.

3.2  渐进地“再发现”，是实现自主探究的有效助推手段

好的解题思路不是凭空产生的.然而，好的解题思路也并非可遇不可求的.《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出教学要使学生经历数学“再发现”的过程……逐步养成讲道理、有条理的思维习惯和理性精神.［2］数学课堂中，教师应以让学生经历数学“再发现”为基本原则，选择能引发学生思考的教学方式.何为能引发学生思考的方式？即以充分暴露师生思维活动中的微观过程为原则，以渐进的方式，提出具有逻辑连贯而又具有一定思维挑战性的问题，促使学生主动地“再发现”、主动地探究.

数学教学的核心价值，在于发展思维能力，提升素养.显然，思维能力的提升是在思维活动中逐步实现的.因此，我们不可将思维活动漂浮于云端，使其看不见、抓不住，而应将其转化为学生易于感知、易于模仿的问题形式直观地呈现出来，让他们思考有方向、思考有参照.这样，才能在游泳实践中学会游泳，在思维实践中发展思维能力、提升思维水平.

参考文献

［1］ 罗增儒.数学解题学引论（第2版）［M］.西安：陕西师范大学出版社，2001.

［2］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.