基于“四个价值”:一道拓广探索题的教学实践

朱田晟骜 唐新标

基金项目：

湖南省基础教育教学研究项目“双减背景下高中数学课程思政育人实践研究”

（项目编号：Y20230426）.

摘  要：通过对高中数学教材中一道跨学科拓广探索题的教学实践，深入挖掘拓广探索题中蕴含的跨学科背景材料，阐述如何在课堂上通过拓广探索题设计，引导学生感悟数学的“四个价值”—科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.通过跨学科教学设计的探索，建立起数学学科与地理学科之间的联系，促进不同学科的深度融合，让学科教学指向跨学科融合育人，从而为课堂上落实“四个价值”和融合学科育人提供参考.

关键词：拓广探索；四个价值；学科融合；跨学科教学

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在基本理念中提出：高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质，不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.如何将“四个价值”落实到课堂上？人教A版《普通高中教科书数学必修第一册》第56页第27题是一道拓广探索题，也是一道跨学科题目，笔者以这道跨学科习题材料为背景，设计了一节数学与地理融合的三角函数应用课，探索在数学教学中落实“四个价值”、融合学科育人的做法.

1  教学过程

1.1  情境引入，激发内驱

大家知道，在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始地变化.设地球表面某地的纬度值为φ，经度值为α，正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点的纬度（如图1），θ，φ，δ这三个量满足θ=90°-|φ-δ|.

这里涉及几个地理概念：纬度φ、太阳直射点的纬度δ

、太阳高度角θ，大家是如何理解的？θ=90°-|φ-δ|是如何得到的？

用数学语言准确表达地理概念或地理现象，既简洁直观又便于地理原理、规律的解析和推演.

经过讨论交流后，引导学生思考.对于正午太阳高度角的计算公式θ=90°-|φ-δ|，可先建立数学模型，利用直线与圆相切及角之间的关系进行推导，分直射点A与该地B在同一半球上的相对位置、直射点A与该地B不在同一半球上两种情况进行讨论.A与B位于不同半球时，当直射点与该地处在不同半球上时，δ取负值.如图2所示，进而可得θ=90°-|φ-δ|.

图2

【设计意图】地理学科中有一些规律、原理以及统计图表等，与数学知识密切相关，如果能恰当运用数学知识方法对其解析、推演，那么可以充分体现数学的“应用意识”，引领学生感悟.

1.2

问题导向，探究铺垫

问题1  某校“经天纬地、格物穷理”探究小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值）.

【设计意图】在用数学语言理解、表达地理中的相关概念和规律的基础上，进一步强化对的应用，同时为问题2的提出作铺垫.

问题2  春分后第x天，太阳直射点的纬度平均值y与x之间有关系吗？如果有关系的话，有怎样的关系？

1.3

实践探究，数学建模

上课前几周，教师就布置地理和数学学科代表组织同学一起找地理老师查阅相关数据.课堂上，教师和学生一起展示这些数据（见表1）.

然后，教师和学生一起用拟合函数的方法分析处理这些数据，这实际上是从实际问题中提炼出数学模型的过程，也就是数学建模的过程.

打开Excel表格，输入上面的相关数据，在A列中输入春分后第x天，在B列中输入太阳直射点纬度平均值y，选项中插入图表，选择散点图中带平滑曲线和数据标记的散点图，右击后“选择数据”，然后在“图表数据区域”插入数据，即得到春分后第x天时太阳直射点的纬度平均值y与x之间关系的散点图（如图3），从图中我们可以看出，春分后第x天时，太阳直射点的纬度平均值y与x之间近似呈正弦型函数关系：y=Msinωx.

专家研究发现，其中M为北回归线的纬度值，约为23.4392911.

【设计意图】因为数学建模的过程是建模活动的关键，学生要有把零散的数据拟合成函数后进行分析的意识，模型探索是重点、关键点，是培养学生数学核心素养的着力点.因此，教师没有直接告诉学生二者的关系，而是选择和学生一起建模体验探究.

1.4

数据探究，价值引领

结合上述数据，教师进一步深化学生对问题的理解，设问：你能根据前面的相关数据设计估计ω值的方法吗？

经过讨论，学生选择问题1中数据（45，16.08）进行估计（也可以选择其他的数据）：23.4392911·sin（45ω）=16.08，sin（45ω）≈0.68602757.

因为不是特殊角的三角函数值，需要用到反三角函数的知识，需要借助查表、計算工具才能得到结果：45ω≈arcsin0.68602757，ω≈0.9625883.

【设计意图】通过三角函数在地理学科中的应用，体现数学应用价值.同时，问题的解决要用到反三角函数的知识，可激发学生进一步自学反三角函数知识，体现了教材“拓广探究题”的教学功能与价值引领.

1.5

解决问题，提升能力

请大家解决下面两个问题.

（1）定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，求一个回归年对应的天数（精确到0.0001）；

（2）利用（1）的结果，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近（精确到1）.

【设计意图】通过三角函数在地理学科中的应用，在探索数学模型的基础上，利用数学模型解决地理问题，提升学生解决实际问题的能力.

1.6

拓展延伸，创新发展

教师介绍地理中的“星下点”问题，拓广知识，培养学生的探究兴趣.

我们在观看卫星发射的电视直播时，在宇宙飞船控制中心的大屏幕上都会看到形如图4所示的曲线，引导学生探究这些曲线是怎样形成的.

图4

这里就涉及星下点与星下点的轨迹问题，绕地球运转的卫星质心和地心的连线与地球表面相交的点叫作星下点.星下点是人造地球卫星绕地球运行过程中，经过其轨道上的每一个位置时，卫星在地球表面上所形成的一个投影点.卫星绕地球运动过程中，所有星下点连成的曲线叫作星下点轨迹，人们用星下点轨迹来表示卫星在地球上空的飞行路线.探究星下点的位置就要用到反三角函数知识，三角函数在地理学科中有着重要的应用，反三角函数是解决地理等其他学科问题的重要工具，有兴趣的同学可以自学相关知识，拓展自己的知识面.同时，教师要介绍中国的航天科技成果，指出“两弹一星”精神、载人航天精神、探月精神和新时代北斗精神，纳入了第一批中国共产党人精神谱系.

2  教学反馈

课后，教师通过个别交流等方式了解学生对这堂课的收获与感受，学生普遍反映这堂课受益匪浅，觉得更像是对数学和地理课本知识的延伸与应用，深切地感受到数学学科能与地理学科有紧密的联系.很多学生利用假期自学了反三角函数的知识，在图书馆、网上查找相关资料，了解数学在地理学科中的应用.

3  教学评析

数学核心素养具有整合性、综合性和交融性，在教学设计和组织过程中，我们要将封闭性、碎片化进行整合，进行学科融合教学.

数学的表现是抽象的、符号化和形式化的，学生在学习时首先接触到的是概念、命题、公式、原理以及计算、证明等，这些都是处于显性形态的，而数学的价值常常处于潜形态，这就需要教师把握数学本质，深度挖掘教材知识，精心设计课堂教学，让学生感悟到数学的四个价值，落实数学学科育人目标.

3.1  感悟数学的应用价值，实现思维育人

高中地理与生活密切相关，学科综合性很强，如果能帮助学生从数学学科的视角来理解、分析和解决地理问题，往往可以很好地培养学生的数学建模能力和应用意识.这一堂课，教师基于教材上的拓广探索题，小台阶设计，小坡度推进，在探究的过程中把学生的思维逐步引向深入，通过跨学科融合教学设计，建立起数学与地理两个学科之间的融合联系，让学生感受到数学知识的应用价值，加深了学生对课程内容的理解，增强了学生数学课堂中对地理学科的体验感，更重要的是激发了学生对新知识探索的热情.

3.2  感悟数学的科学价值，实现科学育人

教师带领学生与地理老师一起收集数据，通过引导学生用拟合函数的方法来分析这些数据，从实际问题中提炼出数学模型，强化了学生数学建模的能力.通过对ω值的估计探索，让学生感受数学逻辑推理的严谨性，提升学生的逻辑推理核心素养，引导学生感悟数学的科学价值.通过实际应用例题的设计，培养学生知识应用的成就感，提升数学建模、数学运算的核心素养，感悟数学的科学价值.同时，问题的解决要用到反三角函数的知识，可激发学生进一步自学反三角函数知识，培养学生的科学探究精神，体现了教材“拓广探究题”的教学功能与价值引领.

3.3  感悟数学的文化价值，实现文化育人

学科文化是在学科知识与学科组织的发展过程中形成的独特的知识理论体系、思维方式、价值观念、学科传统、伦理规范、学科制度和行为习惯等，通过学科文化来培育学生，实质上就是“育其心”“育其行”“育其根”.通过介绍“星下点”问题，拓广数学和地理文化知识，介绍航天科技、航天精神，让学生增强民族自豪感和文化自信，引导学生感悟数学的文化价值，实现文化育人.

课堂是数学学科育人的主阵地，学科融合是強化课程协调育人的必要手段，是培育学生核心素养的必要途径，是形成深层知识理解的必要环节.高中数学教材中有很多的跨学科素材，它们分布在章引言、节首的问题情境、章（节）末的阅读材料以及例题、习题等栏目中.这些跨学科素材或是以其他学科知识为载体创设科学情境，为数学概念的建构提供认知背景，或是以数学知识为主导，运用数学知识和方法解决其他学科的问题，或运用数学眼光和思维去理解其他学科的奥秘，为用教材进行跨学科的教学组织提供了可实施的基础.一线的数学教师在教学组织时要深入挖掘教材中蕴含的跨学科背景材料，有效地组织学科融合教学，促进不同学科的深度融合，让学科教学指向学科融合育人.

参考文献

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 章建跃，李增沪.普通高中教科书：数学（必修第一册A版）［M］.北京：人民教育出版社，2021.

［3］ 方元沁.高中跨学科教学初探——以地理中的地震震级为例［J］.中学数学教学参考，2020（28）：56-58.

［4］ 吴忠伟.核心素养视角下的高中应用题新特点及教学策略——以新人教A版高中数学必修第一册为例［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2021（14）：39-41.

［5］ 李敏.高中跨学科能力整合提升策略探究——以地理和数学学科为例［J］.中学地理教学参考，2018（4）：20-23.

［6］ 郭祥超.教育学的主体间学科文化及其建构［J］.教育发展研究，2014（13）：110-113+124.