指向逻辑推理素养的“直线与平面垂直的判定”教学设计

王文超

摘  要：以培养学生逻辑推理素养为导向，采用“情境—问题—探究—猜想—证明—定理—应用”的教学流程，利用问题串驱动教学，借助数学软件动态演示辅助教学，以跨学科理念创新“折纸实验”，融入我国航天成就，对“直线与平面垂直的判定”做了教学设计，以将逻辑推理素养的培养落到实处.

关键词：逻辑推理素养；直线与平面垂直；教学设计

逻辑推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的能力.［1］与逻辑推理能力不同，逻辑推理素养是表现在人身上的东西，不仅表明这个人具有逻辑推理能力，还表明这个人具有较好的思维品质.培养逻辑推理素养的关键在于培养学生的理性思维，帮助学生建立数学思维模式，学会用数学的思维思考问题.逻辑推理素养的培养需要时间，是“涵养”的过程，这就要求教师利用好每堂课，渗透逻辑推理的数学思想，帮助学生积累逻辑推理的数学基本活动经验，发展学生逻辑推理的核心素养.本文从培养学生逻辑推理素养的视角对“直线与平面垂直的判定”进行教学设计，以期为一线教学提供参考.

1  教材分析

本节课选自人教A版《普通高中教科书数学必修第二册》第八章第6节《空间直线、平面的垂直》，在衔接线面平行的判定、线线垂直的判定和线面垂直的定义等内容的基础上，进一步研究直线与平面垂直的判定定理，为后续学习线面垂直的性质定理做了铺垫.本节内容蕴含了类比推理、归纳推理和演绎推理，是培养学生逻辑推理素养的重要载体.

2  学情分析

此阶段的学生已经掌握了线面平行的判定定理、线面垂直的定义，经历了线面平行的判定定理的探究过程，积累了探究线面平行判定定理的数学活动经验，能够识别类比推理、归纳推理和演绎推理.但由于学生直观想象和逻辑推理素养较弱，因此运用合情推理提出线面垂直的判定的猜想及用数学方法证明线面垂直的判定的猜想存在一定困难.

3  教学目标

在火箭“顶天立地不用扶”的现实情境中抽象出线面垂直的几何模型，发现并提出问题.通过动态演示和折纸实验等环节运用合情推理提出猜想，选择合适的论证方法证明猜想，进一步生成线面垂直的判定定理，并用数学语言予以表达，能简单地应用定理.

在线面垂直的判定定理的探究过程中，积累“先猜后证”的数学活动经验，知道归纳推理、类比推理是或然推理，演绎推理是必然推理，理解归纳推理、类比推理和演绎推理的基本形式，能够通过举反例说明数学命题不成立，培养逻辑推理等数学核心素养.

神舟十七号载人飞船中的数学、物理学中平面镜成像的特点等融入课堂教学，激发爱国热情，学生能合理地运用数学语言和思维进行跨学科的表达交流.

4  教学重难点

教学重点：理解并会用数学语言表达线面垂直的判定定理，能简单地应用定理.

教学难点：提出并证明线面垂直的判定的猜想.

5  教学过程总体分析

本节课教学过程的总体分析如图1所示.图左侧部分是本节课教学设计的主要环节，中间部分是教学内容，右侧部分是通过左侧教学设计作用在线面垂直判定教学内容上，最终达到的逻辑推理素养在线面垂直判定这一知识上的素养目标，阐明了本节课教学设计、“直线与平面垂直的判定”的教学内容和逻辑推理素养目标间的内在关联.

图1

6  教学过程

6.1  创设情境，提出问题

神舟十七号载人飞船发射前夕，发射塔架和扶杆逐渐打开，神州十七号载人飞船与长征二号F遥十七运载火箭组合体仍然可以笔直地竖立在活动发射平台上.

问题1  船箭组合体“顶天立地不用扶”的前提条件之一是保证船箭组合体与发射平台所在平面垂直.如何检验船箭组合体与发射平台的垂直关系呢？

教师引导学生数学抽象，得到线面垂直的几何模型.

问题2  如何判定直线与平面垂直？

【设计意图】逻辑推理源于问题，问题源于情境.以神舟十七号载人飞船成功发射创設情境，提出核心问题，为学生创造逻辑推理起点.

预设回答：利用刚学过的线面垂直的定义判定.

预设追问1  用直线与平面垂直的定义判定是否可行？

教师需指出用定义法判定线面垂直理论上可行，但实际中不可行.

预设追问2  能否把验证平面内的任意一条直线换成验证平面内的几条直线？类比线面平行的判定能否给你启发？

【设计意图】引导学生类比线面平行的判定，将验证平面内“无限”条直线转化成验证平面内“有限”条直线，将线面垂直问题转化成线线垂直问题，学生体会类比和转化的数学思想，理解类比推理基本形式，提高学生数学思考水平.［2］

6.2  动态演示，直观感知

探究1  在GeoGebra环境下使用师生熟悉的四棱柱探究线面垂直判定定理，以问题串驱动探究活动.

教师引导学生类比线面平行的判定提出问题3.

问题3  当直线垂直于平面内一条直线时，能判定该直线与平面垂直吗？

教师引导学生通过举反例给予否定答案，并针对该问题进行动态演示，如图2.

2024年第3期教学研究

教学研究2024年第3期

【设计意图】学生体会类比推理是或然推理，推理结果不一定正确.

教师引导学生探究直线垂直于平面内两条直线的情况，并提出问题4和5.

问题4  当直线垂直于平面内两条平行直线时，能判定该直线与平面垂直吗？

问题5  当直线垂直于平面内两条相交直线时，能判定该直线与平面垂直吗？

图2

图3

对问题4，学生同样地通过举反例给出否定答案，教师针对该问题进行动态演示，如图3；对问题5，学生举不出反例，基本认为：当直线垂直于平面内两条相交直线时，能判定该直线与平面垂直，但是对结论将信将疑，因此需要设置动手操作环节进行确认自己的结论.

【设计意图】将抽象问题具象化，借助四棱柱并利用多媒体进行探究，降低学生认知负荷和空间想象的压力；引导学生通过举反例排除不合理假设，锻炼学生批判性思维，培养學生逻辑推理素养.

6.3  操作确认，引发猜想

探究2  引导学生动手操作，将教材中折纸实验中的桌面改为平面镜，如图4所示，并向学生明确实验目标，介绍实验用具及实验步骤.

实验目标：确认通过直观感知得到的结论.

实验用具：三角形纸板、平面镜、黑笔.

实验步骤：

（1）做三角形纸板底边BC的高AD，并沿高AD翻折三角形纸板.

（2）将翻折后的三角形纸板（底边BD，BC与镜面接触）竖直放置在平面镜上.

（3）观察三角形纸板的高AD与平面镜中像的高AD是否在同一直线上，若在同一直线上，则三角形纸板的高AD垂直于镜面，反之，不垂直于镜面.

图4

教师引导学生利用平面镜成像的特点，有逻辑地表达观察到的现象与三角形纸板的高AD垂直于镜面的关联，进而确认通过直观感知得到的结论是正确的.接着，教师结合生活中具体实例，引导学生通过归纳推理，提出线面垂直判定定理的猜想：当直线垂直于平面内两条相交直线时，则该直线与此平面垂直.

【设计意图】本实验创新使用平面镜，学生通过动手操作获得感性认识，合理地运用数学语言和思维进行跨学科的表达与交流，理解归纳推理的基本形式，培养学生逻辑推理素养.

6.4  合作探究，证明猜想

教师明确已知条件和要证的问题，引导学生利用反证法证明猜想.学生合作探究，上台展示证明过程.

【设计意图】此环节重在引导学生经历利用反证法证明命题的一般过程，感受数学演绎证明的严谨性，进一步理解演绎推理的基本形式，培养学生用严谨的数学语言表达论证过程，发展逻辑推理核心素养.

为了深入对学生逻辑推理素养的培养，教师可以引领学生领略历史上不同数学家的经典证明方法，如美国数学家塔潘和法国数学家勒让德的证明方法等.该部分内容亦可制作成视频在课后分享给学生.

【设计意图】学生从HPM的视角体会“一题多证”与“多题一证”的无限魅力，感受数学家演绎证明过程中的严密逻辑和理性精神.

6.5  印证猜想，生成定理

在证明猜想成立后，教师组织学生讨论交流，引导学生自主地生成定理.

问题6  如图5，你能借助图形语言尝试用文字语言和符号语言表达线面垂直判定定理吗？

学生：文字语言为如果直线与平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直.符号语言为当满足mα，nα，l⊥m，l⊥n，m∩n=A时，可以推出l⊥α.

图5

【设计意图】学生学会用三种数学语言表达定理，将图形语言与文字、符号语言综合运用，体会数学语言的严谨性，培养学生逻辑推理素养.

6.6  应用新知，解决问题

问题1  如图6，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中点.求证：AC⊥平面VKB.

问题2  如图7，在（1）的条件下，若E，F分别是AB，BC的中点，有人说“∵VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，这样的说法正确吗？

问题3  如图7，在（2）的条件下，试判断EF与平面VKB的位置关系，并说明理由.

问题4  结合问题1-问题3，尝试总结判定直线与平面垂直的方法.

图6

图7

【设计意图】问题1考查学生线面垂直判定定理的简单应用；问题2是第一题的变式，通过改变条件，考查学生对利用线面垂直判定定理判定线面垂直时须满足条件的掌握；问题3为学生提供判定线面垂直的“间接法”；问题4引导学生利用如图8所示的知识结构图归纳判定线面垂直的方法，有效培养学生综合应用知识解决问题的能力.该环节采用变式训练，从各个角度加深学生对新知识的理解，培养学生思维品质和逻辑推理素养.

图8

在变式训练后，再次回到课堂伊始的现实情境，引导学生运用本节课所学内容解决问题1，体现数学源于现实、高于现实、用于现实.

6.7  总结归纳，凝练素养

教师引导学生从数学知识、数学思想方法和核心素养等不同层面对本节课进行总结，以知识结构图的形式明确知识间的逻辑关系，关注学生逻辑推理素养的提升.

6.8  布置作业，再探新知

基础题：如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么该直线与此平面是否一定垂直？

提升题：除了利用定义法、直接法和间接法判定线面垂直外，还有哪些方法可以判定线面垂直？

思考题：发射塔架和发射平台也垂直，火箭和塔架具有怎样的位置关系？

【设计意图】针对学生个体的差异，采用分层作业，进一步完善知识结构.思考题将课堂伊始提出的问题进行变式，提出“新”问题，引发“新”思考，为后续学习线面垂直的性质埋下了伏笔.

7  思考

7.1  重视合情推理，鼓励学生提出猜想

合情推理指从特殊到一般的推理，包括类比推理和归纳推理.提出猜想是发现知识的重要环节，而猜想的提出依赖于合情推理，因此合情推理对于发现知识非常重要.比起演绎推理，合情推理更能培养学生创新能力，是培养学生创造力的重要载体.但是一线教学中往往更关注对学生演绎推理能力的培养，导致学生合情推理能力较弱，创新能力不足.因此，教师要重视合情推理，鼓励学生大胆猜想，引导学生从发现与创造的视角看待数学知识，做知识的发现者和创造者［3］，敢于通过类比、归纳等数学方法提出猜想.本节课中，教师引导学生类比线面平行的判定，通过直观感知和操作确认等环节鼓励学生大胆提出猜想，培养学生逻辑推理素养和创新能力.

7.2  训练演绎推理，引导学生论证猜想

演绎推理是从一般到特殊的推理，主要用来验证猜想.高中阶段的数学证明题一般都是利用演绎推理完成的，教师应以数学证明题为主抓手，训练学生演绎推理.在设计证明题时，教师应采用变式训练，充分锻炼学生思维，提高学生思考能力.需要注意的是，通过证明题培养学生逻辑推理素养，应关注学生对证明思路的把握，做到就题论道，而非就题论题，不应只关注学生解题的数量.教学中，在学生通过合情推理提出数学猜想后，教师也应该鼓励学生通过演绎推理论证猜想，这个过程中学生选择合适的论证方法对猜想予以证明，并尝试用准确的数学语言表述论证过程，无不彰显着数学理性思维.本节课中，学生在提出线面垂直的猜想后，鼓励学生利用反证法等多种方法论证猜想，培养学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神.

7.3  梳理知识脉络，促进学生构建体系

数学知识具有完整的知识结构，相关概念、定理之间存在紧密联系，比如概念间存在强抽象与弱抽象的关系，定理间存在上位、下位和并列关系等.而现实教学中，存在着重数学知识点传授，轻知识网络构建的问题［4］，往往忽视学生对数学整体和数学知识间关系的把握，这对培养学生逻辑推理素养不利，也会导致学生在提取和综合应用知识时存在困难，因此应引导学生梳理知识脉络，构建知识结构体系，进而感悟数学知识间的内在逻辑，树立正确的数学观.本节课中，学生通过知识结构图梳理判定线面垂直的方法，明确新知与旧知间的逻辑关系，发展学生逻辑推理素养.

参考文献

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 顾锋，宁连华.于无疑处教有疑——高中数学课堂“教思考”质量提升策略探索［J］.数学通报，2022，61（7）：35-38.

［3］ 李亚琼，宁连华.数学知识观视角下学习进阶的再审视［J］.课程·教材·教法，2023，43（7）：111-117.

［4］ 涂荣豹，王光明，宁连华.新编数学教学论（第二版）［M］.上海：华东师范大学出版社，2023.