《几何原本》在初中数学留白创造式教学中的应用
2024-06-05彭纯莉汪晓勤
彭纯莉 汪晓勤
【摘 要】初中数学教科书中的几何概念和命题大多可以在古希腊数学典籍《几何原本》中找到源头，《几何原本》中的有关内容能为留白创造式教学提供问题源泉和思想启迪。本文通过具体的例子来分析《几何原本》中的有关定义、公理、命题和思想方法在留白创造式教学中的具体运用，初步总结了六种留白策略：留陈述之白，促定义创新；留方法之白，助表征转化；留论证之白，引思维延伸；留发现之白，致新知创获；留问题之白，激探究兴趣；留超越之白，启思想升华。
【关键词】《几何原本》；留白创造式教学；HPM；初中数学
一、引言
如何在教学中培养学生的创新意识和创新能力，是摆在当今教师面前的重要课题。近年来，“留白创造式”这一新的教学方式被提出，强调在课堂教学中为学生留出足够的思维空间和探究机会，让他们在自主学习过程中创获新知、陶熔品性。［1］在留白创造式教学中，教师的留白通常包含陈述之白、方法之白、论证之白、发现之白、问题之白和超越之白等六种形式，而数学史为留白的设计提供了问题源泉和思想启迪。［2-4］
古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部传播几何学知识的伟大著作，是数学史上最早用公理化思想铸造完整演绎逻辑体系的经典，具有重要的地位和深远的影响，被誉为“数学圣经”。19世纪以前，《几何原本》是学校数学教育的主要内容，欧几里得几乎成为几何学的代名词；20世纪初，在培利运动的影响下，此书逐渐失去了往日的辉煌；到了今天，中学数学课程的目标和内容都已发生巨大的变化，此书的教育价值更加不受重视。
欧几里得的留白启发了后世数学家的创新——新的方法、新的命题甚至新的学科，《几何原本》这部名著对于创新意识和创新能力的培养依然有独特的参考价值。目前，《几何原本》中的部分内容已被运用于HPM教学之中。基于此，本文通过具体的例子来分析欧几里得的有关定义、公理、命题和思想方法在留白创造式教学中的运用，为教学提供参考。
二、留陈述之白，促定义创新
数学概念是导出数学定理和法则、分析和解决问题的基础，李邦河院士曾说：“数学玩的是概念，而不是纯粹的技巧。”［5］根据新课程标准的要求，需要培养学生对数学概念的理解和运用能力。
同一个数学概念，古今定义往往不同。在教学中，教师可以参考欧几里得对某个几何概念的定义，让学生尝试自己下定义，从而留下“陈述之白”。
《几何原本》卷一根据边和角对四边形进行分类，其中长方形的定义是：在四边形中，四个角都是直角，但四边不全相等的，叫作長方形。卷二又给出矩形的定义：有两邻边夹直角的平行四边形称为矩形。在第一个定义中，长方形不包含正方形，而在第二个定义中，矩形包含了正方形。可见，在欧几里得眼里，长方形和矩形并不完全相同。
在“矩形的判定”教学中，教师首先抛出问题：“什么样的四边形是矩形？”学生给出了以下回答：
·四个角都是直角的四边形是矩形。
·由四个相等的角组成的四边形为矩形。
·两组对边分别平行，且有一个角为直角的四边形是矩形。
·两组对边分别相等，且有一个角为直角的四边形是矩形。
·一组对边平行且相等，且有一个角为直角的四边形是矩形。
·对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
……
教师让学生在黑板上展示上述定义，并将它们与欧几里得的两个定义进行比较。经过讨论，学生得到结论：这些定义都与欧几里得的矩形定义等价，都可以叙述成“有一个角是直角的平行四边形称为矩形”。
实际上，教师可以进一步留白，启发学生提出新的定义：上述定义中，有的定义涉及四个角，有的定义涉及一个角，那么利用三个角或两个角可以定义矩形吗？学生可能会进一步提出：
·有三个角是直角的四边形是矩形。
·有一组对角是直角，且有一组对边平行的四边形是矩形。
·有一组对角是直角，且有一组对边相等的四边形是矩形。
·有一组对角是直角，且两条对角线相等的四边形是矩形。
·有两个邻角是直角，且有一组对边相等的四边形是矩形。
·有两个邻角是直角，且两条对角线相等的四边形是矩形。
……
教师还可以让学生进一步思考为何欧几里得的第一个定义与今天不同，从而让学生认识到，没有平行线的知识，对四边形进行分类是很不方便的。
三、留方法之白，助表征转化
我们今天用符号来表达的代数公式或恒等式，在16世纪以前的数学文献中往往都是以几何图形来表征的，这是因为在韦达（F. Viète）创立符号代数之前，人们不会用字母来表示任意数或一类数。因此，数学史为培养学生的表征转化能力提供了参照。在代数公式的教学中，教师可以借鉴欧几里得的几何命题，设计剪纸、拼图或构造无字证明等活动，让学生自主推导或验证有关公式，从而留下“方法之白”。
丹麦著名数学史家邹腾（H. G. Zeuthen）曾经指出，《几何原本》卷二采用了“几何代数法”，即用几何方法解决代数问题。如该卷命题3提出：若任意两分一线段，则由整条线段与分线段之一所夹的矩形等于两分线段所夹的矩形与上述分线段上的正方形之和。［6］用今天的代数符号表达，该命题说的就是a（a+b）=a2+ab，如图1所示。同卷命题4提出：若一条线段被任意分成两段，则整条线段上的正方形等于两条分线段上的正方形之和再加上两条分线段所构成的矩形的两倍。［6］用今天的代数符号来表达，该命题说的就是（a+b）2=a2+2ab+b2，如图2所示。
在课例“完全平方公式”［7］中，教师通过“已知正方形的面积，求边长”问题引入（a+b）2的计算，在学生用代数方法推导出公式后，教师提出问题“能否用几何方法来验证该公式呢？”，引导学生利用欧几里得的图形在符号表征和图形表征之间进行转化。
《几何原本》卷二命题5提出：如果把一条线段分成相等的线段，再分成不等的线段，则由两不等线段所夹的矩形与两分点之间一段上的正方形之和等于原线段一半上的正方形。［6］在课例“平方差公式”中，在学生应用平方差公式解决计算问题（如39.8[×]40.2、99.4[×]100.6）之后，教师提出问题“能否用字母写出一般的等式？”，在学生给出恒等式ab=[a+b22]-[a-b22]之后，教师进一步提出问题：“古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中给出过上述等式的几何证明，你能用几何方法验证这个等式吗？”有了之前用几何方法验证平方差公式的经验，学生成功地用图3验证了上述公式。实际上，图3简化了欧几里得的原图。
四、留论证之白，引思维延伸
现行初中数学课程中的几何命题大多可以追溯至《几何原本》，但由于教科书采用的逻辑体系不同于《几何原本》，因此，对一些命题的证明也随之不同。此外，《几何原本》中的有关命题往往可以成为有关数学推理的依据。在命题或问题解决的教学中，教师可以参照欧几里得的证明方法，让学生通过小组合作对有关命题加以证明，从而留下“论证之白”。
《几何原本》卷一命题5提出：等腰三角形的两底角相等，将腰延长，与底边形成的两个补角亦相等。［6］这就是著名的驴桥定理。欧几里得的证明如下：如图4，作等腰△ABC，使得AB=AC，延长AB至点D，延长AC至点E，使得BD=CE，依次证明△ABE
在“全等三角形判定”的教学中，教师在引导学生证明边角边定理之后，提出任务：利用边角边定理，如何证明等腰三角形底角相等？学生给出了多种不同的证明，其中包括普罗克拉斯的拦腰法和帕普斯的镜像法，尽管没有出现欧几里得的驴桥法，但与欧几里得一样，先后两次运用了边角边定理。教师利用古今联系策略，对学生的证明做出评价。
《几何原本》卷六命题2提出：如果一条直线平行于三角形的一条边，那么所截的边成比例；如果三角形的边被截成比例，那么通过两点的直线平行于三角形的第三边。［6］欧几里得运用面积的方法来证明该命题，证明如下：
（1）设在△ABC中，DE//BC，连接BE和CD。因为△BDE和△CDE有共同底边DE，且DE//BC，所以S△BDE = S△CDE，于是得S△BDE[∶]S△ADE = S△CDE[∶]S△ADE，从而BD[∶]AD=CE[∶]AE。
（2）设△ABC的边AB和AC被分比例为BD[∶]AD=CE[∶]AE，因BD[∶]AD=S△BDE[∶]S△ADE，CE[∶]AE=S△CDE[∶]S△ADE，故S△BDE[∶]S△ADE = S△CDE[∶]S△ADE，于是S△BDE =S△CDE，DE//BC。
在课例“三角形中位线定理”［8］中，在学生解决三角形四等分问题并通过剪纸猜想出中位线的性质之后，教师提出“证明三角形中位线”的任务。学生运用转化思想给出各种证明，包括形与形的转化以及线与面的转化。后一类证明类比了欧几里得的方法：如图7，在△ABC中，因为BD=AD，所以S△BDE[=]S△ADE，同理S△CDE=S△ADE，所以S△BDE[=]S△CDE，又因為有公共底DE，所以DE//BC；因为S△EBC[=]S△ABE[=]2S△BDE，又因为△EBC和△BDE等高，所以BC=2DE。
《几何原本》卷一命题21提出：以三角形一边的两个端点向三角形以内引两条相交线，那么交点到这两个端点的这两条线段的和小于三角形余下的两条边的和，所形成的角大于三角形同侧的内角。［6］欧几里得的证明如下：如图8，在△ABE中，AB+AE＞BE=BD+DE，在△CDE中，CE+DE＞CD，故得AB+AC=AB+AE+EC＞BD+DE+EC＞BD+CD。上述命题确定了三角形中两条线段之和的单调性，成了有关几何问题解法的依据。2019年安徽中考的一道数学题就是其中一例：如图9，在正方形ABCD中，点E、F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，求满足PE+PF=9的点的个数。该题的解题思路为：取点E关于AB的对称点E′，连接E′F，交AB于点G，则E′F=[42+82=80]＜9，因此，在AB上点G的上方和下方各有一点P，满足PE+PF=PE′+PF=9＞E′F。
对于上述解法，教师可以向学生提出以下问题：为什么在点G的上下各只有一点满足条件呢？学生如果能够说明从点G开始，点P向上或向下运动过程中，PE′+PF逐渐增大，问题就得到了解决。因此，对于这道中考题的探讨，可以让学生实现与欧几里得的“对话”。
五、留发现之白，致新知创获
《几何原本》中，一些命题的证明过程往往蕴含了新的命题。在教学中，教师可以让学生对欧几里得使用的图形进一步加以探究，从中发现新的结论，从而留下“发现之白”。
《几何原本》卷一命题47（勾股定理）提出：在任意一个直角三角形中，直角所对边上的正方形，等于两条直角边上正方形之和。欧几里得的证明如图10所示，在Rt△ABC的三边上分别作正方形ACDE、BCFG和ABMN，连接BE、AG、CM和CN，过点C作AB的垂线，垂足为点H，交MN于点K，利用△ABE
教师让学生观察图10，进一步思考：为什么直线BE、AG和CH交于同一点？为此，分别延长ED和GF，交于点R，连接AR、BR和CR，学生可以发现许多新结论，例如：（1）Rt△CRD
六、留问题之白，激探究兴趣
《几何原本》中的许多命题都留下了进一步探究的空间。在教学中，教师可以介绍若干基于数学史的问题提出策略［9］，进而选择《几何原本》的某个命题作为出发点，让学生通过条件操作、目标操作、对称互换等策略，提出新的数学问题，从而留下“问题之白”。
对于《几何原本》卷一命题16（在任意三角形中，若延长一边，则外角大于任何一个内对角），运用对称互换策略，学生可以提出问题：“如果一个多边形的每一个外角都大于其不相邻的内角，那么该多边形是否一定为三角形？”又如，针对卷一命题47，运用对称互换策略，学生可以提出问题：“在一个三角形中，如果一边上的正方形面积等于另两边上的正方形面积之和，那么该三角形一定是直角三角形吗？”运用条件操作策略，学生可以提出如下问题：
（1）若在直角三角形的三边上分别作三个半圆，则其面积有何关系？（图11）
（2）若在直角三角形的三边上分别作以三边为对应边的相似三角形，则其面积有何关系？（图12）
（3）如何作一个正方形，使其面积等于已知长方形的面积？（图13）
《几何原本》卷一命题37提出，同底且在相同的两条平行线之间的三角形彼此相等。教师可以引导学生将该命题与轨迹问题联系起来，进而提出如下新问题：
（1）等腰三角形的底边固定，则其顶点的轨迹是什么？
（2）三角形的底边固定，其顶点在运动过程中，三角形的面积保持不变，则顶点的轨迹是什么？
（3）三角形的底边固定，其顶点在运动过程中，三角形的面积保持不变，则顶点在什么位置时三角形的周长最小？
（4）三角形的底边固定，其顶点在运动过程中，三角形的两腰之比始终等于2∶1，则顶点的轨迹是什么？
《几何原本》卷二命题10提出：在一条被二等分的线段的一端按原直线方向加上一条线段，那么，总线段上的正方形与加线段上的正方形之和，等于原线段一半为边的正方形与另一半加上加线段之和为边的正方形的和的两倍。［6］采用自由式策略，对给定的线段赋值，并改变目标，可以编制一道新的数学问题：
如图14，CE[⊥]AB，CA=CB=CE，EF//AB，DF//CE，FD与EB交于点G。线段赋值：BE=[2]，DB=[12]。
（1）求线段FG的长度。
（2）设P是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），点P到AE与BE的距离是否为一个定值，若是，求出此定值。
（3）延长EC至点H，使得CH=EC，连接BH、GH，求点B到GH的距离。
七、留超越之白，启思想升华
在留白创造式教学中，教师在学生完成补白之后进行古今联系，并让学生对命题证明或问题解决背后的数学思想加以总结，或选取《几何原本》中的典型命题及其证明，让学生对其背后的数学思想进行提炼，从而留下“超越之白”。
《几何原本》中的思想方法对于今日几何教学有重要意义。在卷一众多命题的证明中，学生可以感受到欧几里得对转化思想的普遍使用。如卷一命题20提出：在任何三角形中，任意两边之和大于第三边。欧几里得的证明如下：如图15，延长BA至点D，使得AD=AC，则AB+AC=AD，于是将△ABC的两边之和转化为△DBC的一条边，在△DBC中，利用大角对大边（卷一命题19），即证得结论。又如，对于上文提到的卷一命题16，欧几里得通过作倍长中线BF（图16），将[∠A]转化为[∠ACD]的一部分[∠ACF]，从而证得结论。
欧几里得关于卷一命题47（勾股定理）的证明则是通过全等三角形实现正方形与长方形之间的转化。上文提到的卷六命题2的证明则实现了线与面的转化。除了转化，《几何原本》中还有许多其他思想方法，如特殊到一般、分类讨论等。
此外，关于勾股定理，中国古代数学家刘徽的证明方法（图17）与欧几里得迥然不同，教师可以引导学生思考：当欧几里得“遇见”刘徽，他们会如何评价对方的证明呢？从而促进学生对数学证明功能的深刻理解。
八、结语
综上，《几何原本》在当今初中数学课堂上大有可为：欧几里得的定义是古今对话的素材，图形是表征转换的参照，命題是问题提出的起点，方法是命题证明的依据。《几何原本》为今日初中数学留白创造式教学提供了诸多启示。
首先，增强留白意识。虽然《几何原本》是经典之作，内容丰富，逻辑严谨，但也处处留白，为后世留下广阔的探索空间。因此，此书为初中留白创造式教学提供了思想启迪。教师在课堂中应让学生成为补白的主体，给学生留下足够的探究空间。
其次，丰富留白形式。借鉴欧几里得的有关定义，可留陈述之白；参照欧几里得的证明，可留方法之白和论证之白；叩问欧几里得的命题，可留发现之白和问题之白；提炼欧几里得的思想，可留超越之白。教师在教学过程中，可以设置不同的探究活动，在新知引入、问题设计、概念辨析、定理证明、公式推导、德育实施等环节进行留白。
再次，确定留白策略。在留白创造式教学中，陈述之白、发现之白对应“是什么”，论证之白对应“为什么”，方法之白、问题之白和超越之白对应“还有什么”。因此，提出问题是留白的策略之一，典型的问题有“什么样的四边形是矩形”“如何证明三角形中位线定理”“可否用几何方法验证完全平方公式”“欧几里得运用了什么思想方法”等；否定属性策略改编问题是留白的另一策略，可以让学生编制丰富多彩的数学问题，培养他们的创新能力。
最后，加强补白评价。利用《几何原本》中的素材实施留白创造式教学时，教师可以利用古今对照的策略，对学生的补白成效做出评价，使学生得以跨越时空，与古希腊数学家“对话”，从而提升数学学习的自信心。例如，当学生用拼图法验证完全平方公式，用面积法证明三角形中位线定理时，教师可以称赞他们想数学家之所想，是“小小的数学家”。
参考文献：
［1］王华，汪晓勤.中小学数学“留白创造式”教学：理论、实践与案例［M］.上海：华东师范大学出版社，2023.
［2］汪晓勤，邹佳晨，王华.数学史与留白创造式教学［J］.数学通报，2023（3）：1-6.
［3］汪晓勤.数学史上的留白与创新［J］.中学数学月刊，2023（4）：1-4.
［4］汪晓勤，邹佳晨.基于中华优秀传统数学文化的高中数学留白创造式教学初探［J］.中小学课堂教学研究，2023（9）：1-6.
［5］李邦河.数的概念的发展［J］.数学通报，2009（8）：1-3，9.
［6］欧几里得.几何原本［M］.兰纪正，朱恩宽，译.南京：译林出版社，2014.
［7］栗小妮，沈中宇.“完全平方公式”：从历史中找动因、看形式［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）：46-51.
［8］沈中宇，李霞，汪晓勤. HPM课例评价框架的建构：以“三角形中位线定理”为例［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2017（1）：35-41.
［9］汪晓勤.基于数学史料的高中数学问题编制策略［J］.数学通报，2020（5）：9-15.
（责任编辑：潘安）
