基于真实情境的抽象能力培养

张绍武 崔佳佳 高媛

【摘 要】抽象是数学的基本特征，也是数学的基本思想。初中阶段的抽象能力主要表现在数学概念、关系与方法的抽象上。教学中，要关注数学概念的发生、发展过程，引领学生从真实情境所蕴含的丰富信息中提炼出与数学相关的信息，借助问题情境抽象出概念，经历数学抽象的过程，深化对数学知识和意义的理解。本文以“数轴”概念的教学为例，就如何基于真实情境培养学生的数学抽象能力进行了探索和实践。

【关键词】抽象能力；真实情境；数轴

一、引言

数学源于对现实世界数量关系与空间图形的抽象，因此抽象能力主要与“会用数学的眼光观察现实世界”对应，同时又与“会用数学的思维思考现实世界”和“会用数学的语言表达现实世界”密切相关。对初中学生数学抽象能力的培养，重在引领学生从数学的角度观察生活、发现问题，经历从真实问题中提炼数学对象，并通过数学洞悉真实世界的过程。因此，真实情境是数学抽象的出发点和基础。目前，大部分初中学生的抽象能力较弱，主要原因有：一是教师在教学中往往重结果轻过程，学生能记住某些抽象的数学形式，但没有经历完整、自主的思考过程；二是教师对抽象能力认识不足，缺乏对抽象能力框架的全面掌握，对基于真实情境发展核心素养的课堂设计理念缺乏深入的思考。基于此，本文在分析抽象能力内涵的基础上，以“数轴”概念教学为例，探讨通过创设真实情境来设计教学，培养学生数学抽象能力的方法和步骤。

二、对数学抽象能力的认识

数学本质上研究的是抽象的对象，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也是抽象［1］。所谓数学抽象，就是个体通过观察并分析发展规律，透过表象探索问题本质，立足空间和数量关系来揭示内在特征，并对发展规律进行总结的一种方法。数学抽象是数学得以产生和发展的思维基础，与数学的发展同步。数学抽象要经历两个阶段：（1）第一阶段的抽象是基于现实的，人们通过对现实世界中数量与数量关系、图形与图形关系的抽象，得到数学的基本概念。这种基于现实的抽象，是从感性具体上升到理性认识的思维过程。（2）第二阶段的抽象是基于逻辑的，人们通过这一阶段的抽象，合理解释通过第一阶段抽象得到的数学概念以及概念之间的关系。第二阶段的抽象的特点是符号化、形式化和公理化，这是从理性具体上升到理性一般的思维过程。通过抽象，人们把现实世界中与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学的研究对象［2］。如《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准（2022年版）》）指出，抽象能力主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力。对于抽象能力的培养，《标准（2022年版）》要求学生能够从实际情境或跨学科的问题中抽象出核心变量、变量的规律及变量之间的关系，并能够用数学符号予以表达；能够从具体的问题解决过程中概括出一般结论，形成数学的方法与策略。

皮亚杰将认知发展分为了四个阶段，分别是感知运算阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶段。其中，形式运算阶段儿童的年龄为11—15岁，或更大一些，即处于初中学段的学生。形式运算阶段的儿童可以从具体问题中解放出来，能够进行内省，思考自己的思想和情感，用整合的方式应用理论去解决许多问题，并逐渐掌握了作为思维工具的逻辑，从逻辑地解决具体问题向着逻辑地解决各类问题发展。这为抽象能力发展奠定了基础。

初中阶段的抽象能力，一方面是小学阶段数感、量感、符号意识的进一步发展，另一方面要逐渐进阶为高中阶段更为严谨、形式化的数学抽象。因此，初中阶段抽象能力的培养不仅是数学学习的需要，还有助于学生在日常生活和实践中养成一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，发展理性精神。

史宁中教授根据抽象程度的不同，将数学概念的抽象过程分为简约阶段、符号阶段和普适阶段［3］。在初中数学教材中，抽象能力主要体现在“数与代数”“图形与几何”两大领域，具体分析框架见表1。

三、对真实情境的认识

建构主义认为，学生学习的过程，始终与知识赖以产生意义的背景及环境相关联。从数学学习的认知本质看，学生学习知识的过程本身是一个建构的过程，无论是知识的理解还是运用，都离不开知识产生的环境和适用的范围，即数学学习具有情境性。恰当地设计情境问题，将有助学生学会“何时”“何地”“为什么”使用学过的知识。

凯恩（Caine）提出了“分类记忆”和“位置记忆”［4］的两个系统。传统教学习惯于“分类记忆”，即脱离情境把知识分门别类地存储在记忆中，而真实情境倡导“位置记忆”，即把知识放在具体情境中。凯恩用“导航仪”和“地图”比喻两者。借助导航仪到达城市的一个地方，虽然不走弯路，效率高，但不会留下对城市长久深刻的记忆，下一次仍然不知怎么到达。借助地图就不同，为了到达目的地，会摸索、尝试各种路线，这种尝试和摸索的过程会留下长效记忆，从此，使用者熟悉了这个城市，可以灵活地变换各种路线到达目的地。可见，真实情境是实施探究性学习的坚实土壤。

《标准（2022年版）》强调通过创设真实情境和合理设计探究问题来促进数学教学活动的开展，提倡开展素养导向的数学教学活动，体现数学是认识、理解、表达真实世界的工具、方法和语言。真实情境在数学教学中的作用主要有以下五个方面：激发兴趣，促进学生参与数学学习；揭示知识的产生背景，促进学生对数学的理解；引导学生探寻问题解决的策略；提供运用数学的機会，培养学生解决问题的能力；让学生感受数学学习的意义。

四、基于真实情境的抽象能力培养路径探析

《标准（2022年版）》要求教师注重发挥情境设计与问题提出对学生主动参与教学活动的促进作用。在基于真实情境的教学的实施过程中，教师要关注以下几个要素：（1）情境。情境是指真实问题的背景，是以问题或任务为中心构成的活动场域。教师要多留心生活，关注时事，常态化收集问题情境的素材和资料。在创设真实情境时，选取贴近学生生活经验的情境素材，深入挖掘其中的人文价值与育人价值，注重选取中华优秀传统文化中的数学文化素材，以增强学生的文化自信和民族自豪感，发挥真实情境素材的育人功能。（2）问题。即学生需要完成的任务，包括完成什么样的任务以及完成任务的要求。教师要反复打磨情境与问题，增强情境与任务的关联度，让情境与问题融合为相互依存的有机整体。此外，还要处理好情境与问题的复杂程度，控制好知识在情境中的潜隐程度，不能过于浅显或直接能找到答案，要设计好学生自主探究的思维空间。（3）事件。即具体事件情境，包括时间、地点和任务等。（4）意图。即问题情境设计要具有鲜明的针对性和目的性。基于真实情境的学习是让学生面对文字、表格、图片等非连续性文本，通过阅读、解释、推断、预测、设计等学习行为，发展高阶思维，实现深度学习。教师要明确真实情境教学的目的，并在教学过程中有针对性地加以实践，唤起学生的积极情感体验，激发学生的学习动机。

数学中的抽象是一种逐级抽象过程，可以在不同层面上进行抽象［5］，因此教学中教师应重视抽象能力发展的阶段性，帮助学生经历“分离属性与建构模型—概括与一般化—定义与符号化—系统化”等步骤，循序渐进地培养抽象能力。

基于此，本文以七年级数学“数轴”概念的教学研究课为例，主要教学阶段如图1所示。

五、基于真实情境的抽象能力培养的实践

（一）学情分析与情境选取

七年级学生的思维正处于从以具体形象思维成分为主向以抽象逻辑思维成分为主进阶的转折期，因此，教学中学习内容的呈现要注意具体性、形象性，同时还要有适当的抽象、概括要求，从而既适应学生的能力发展水平，又能促进学生的思维向更高阶段发展。“数轴”是有理数内容中的一个重要概念，是七年级学生第一次学习数形结合思想的内容。教材借助马路上的物体与汽车站牌的相对位置关系的生活情境，让学生画图描述位置，逐步过渡到“用数表示直线上的点”和“用数轴上的点表示数”。在理解教材的基础上，笔者将教材中数轴的引入情境结合学生熟悉的生活情境，进行了教学资源的再开发。

北京是著名的历史文化名城，明清时期，北京城的中轴线南起永定门，北至钟楼，直线距离约7.8千米。2022年国家文物局确定推荐“北京中轴线”作为我国2024年世界文化遗产申报项目（以下简称“申遗”）。中轴线的申遗唤起了大家对传统文化的重视和对文物保护的自觉，这一真实情境具有深厚的人文价值与育人价值。同时，中轴线对于数轴的抽象和建立是一个较为合适的真实情境，因此笔者选取了贴近学生生活的北京中轴线申遗情境，引导学生以中轴线上的一些核心遗产点为背景逐步抽象、建立数轴。

（二）教学实践

环节一  创设情境，激活抽象思维

活动1 学生先观看北京中轴线申遗的宣传短片，接着根据教师提供的文本材料，学生分小组合作尝试画出文中中轴线上6处核心遗产点位置的示意图。

【设计意图】创设学生熟悉的实际问题情境——北京中轴线，在学生的最近发展区提出开放式的探究问题——画示意图描述核心遗产点的位置，完成对问题情境的第一次抽象，为后续的再次抽象打下基础。此活动能发展学生的信息加工、抽象能力等素养，发挥情境素材的育人功能。

活动2 小组展示所画的示意图，相互交流评价。

【师生活动】教师引导学生分析各小组示意图的相同点和不同点。比如：都用线段表示了中轴线，用线段上的点表示了6处核心遗产点；都用箭头标注了“北”的方向，不同的是有的小组标注的是向上为北，画出的是竖直的线段，有的小组标注的是向右为北，画出的是水平的线段；等等。

【设计意图】交流欣赏小组作品，分析作品中蕴含的数学知识，归纳概括共性，初步体会数轴的要素及抽象的过程和意义。

在本环节中，以数轴的“三要素”为定向，学生用直线、点、方向、距离、比例尺等几何符号表示实际问题。学生通过抽象刻画事物相对位置的要素——方向和距离，完成了对实际问题的第一次抽象，即抽象能力的简约阶段，感受到数学是认识、理解、表达真实世界的工具、方法和语言，体会到数学抽象的作用和意义。此外，当看到宣传片中倡导“为北京中轴线申遗助力”时，学生们很激动，唤起了他们的民族自豪感和文化自信。

环节二 问题驱动，引领抽象思维升级

问题1 大家在图中标注了核心遗产点之间的距离，可否用一个统一的参照距离，使得这些核心遗产点之间的相对位置关系更明确、清晰？

问题2 “南”与“北”具有相反意义，结合前面学习的正数与负数可以表示两种具有相反意义的量的知识，你认为怎样用数简明地表示这些核心遗产点的相对位置关系？

【学生活动】学生们尝试作图。其中，一名学生所作如图2所示。

追问1 0代表什么？

追问2 数的符号的实际意义是什么？

追问3 -2.7表示位于景山向南2.7千米的正阳门，你还能说出图中其他数所表示的相对位置关系吗？

【师生活动】教师展示生活中常见的温度计，引导学生观察温度计的示数结构，感受温度计呈现的数轴要素。

问题3 你能概括这两个例子的共同点吗？

【设计意图】在第一次抽象的基础上，聚焦图形，继续以数轴的“三要素”为定向，基于对具有相反意义的量的理解，抽象出用数（符号和绝对值）刻画事物的位置，引导学生用数来表示点，实现第二次抽象。将学生所画示意图的例子与温度计进行比较，概括它们的共同点，进一步明确数轴“三要素”，为第三次抽象得出数轴的概念打下基础。

在本环节中，学生首先在二次抽象的过程中，较自然地接受引入数轴作为工具表示位置问题的合理性，感受用数刻画位置的必要性，从而进一步体会数轴“三要素”的必要性和合理性，并经历“用数表示直线上的点”和“用数轴上的点表示数”的过程。接着，学生对简约阶段识别出的要素进行分析，通过观察、比较，发现用数轴描述位置的关键要素——基准点、方向、单位长度、距离。最后，结合用正数和负数表示相反意义的量的经验，概括出数轴的“三要素”——原点、正方向和单位长度，确定构成数轴概念的关键要素，建立要素之间的逻辑关系，初步体会数形结合的思想，完成抽象能力的符号阶段。

环节三 明晰概念，加深理解，提升抽象能力

教师引导学生归纳、抽象出数轴的概念，明确数轴的“三要素”，并讲解数轴的画法和用数轴上的点表示数的方法，然后提出以下问题：

问题1 如果将图2中的太和殿作为原点，正方向和单位长度不变，那么图2中什么不变？什么会改变？如果以钟楼为原点呢？

问题2 如果图2中的原点和正方向不变，单位长度发生变化，图2会变成什么样呢？

问题3 如果图2中的原点和单位长度不变，将正方向变为与原来相反，图2会变成什么样呢？

【设计意图】结合实际情境，以问题串的形式，帮助学生加深对数轴“三要素”在刻画事物相对位置中的作用的理解，以及对数轴概念中“规定”和“适当”等的理解。再次让学生经历用数表示数轴上的点，深入体会数形结合的思想。

在本环节，学生对数轴的“三要素”进行多角度的深入理解，教師通过问题串加深学生对数轴“三要素”的理解和对数轴的运用，帮助学生将概念精致化。此外，还需要通过认识数轴概念的作用和意义的教学，逐步引导学生将新概念纳入已有知识体系中，完成抽象能力的普适阶段。

六、结语

综上所述，基于真实情境的数学教学，需要教师贴近学生生活经验和年龄特点选取情境素材，让学生接触社会、经济、文化等多领域的真实情境，感受数学在现实世界中的广泛应用，体会数学的价值；要深入挖掘数学的人文价值与育人价值，增强文化自信和民族自豪感；要在真实情境中提出能引发学生思考的数学问题，引导学生将实际问题转化为数学问题，得到数学概念并合理解释概念与概念之间关系，不断经历符号化、形式化和公理化，完成从理性具体上升到理性一般的思维过程。教师要紧扣抽象能力培养的三个阶段，循序渐进地推进从真实到抽象的过程，才能在教学中有的放矢。

参考文献：

［1］史宁中. 数学的抽象［J］. 东北师大学报（哲学社会科学版），2008（5）：169-181.

［2］史宁中. 数学基本思想18讲［M］. 北京：北京师范大学出版社，2016：1-5.

［3］刘春艳，冯启磊. 基于数学抽象的概念形成：模型与案例［J］. 数学通报，2021（6）：20-25，29.

［4］刘徽. 大概念教学：素养导向的单元整体设计［M］.北京：教育科学出版社，2022：24-25.

［5］鲍建生. 数学核心素养在初中阶段的主要表现之一：抽象能力［J］. 中国数学教育（初中版），2022（5）：4-9，13.

（责任编辑：潘安）