从一道中考压轴题的解法说起——谈初中阶段同一法的思路及应用*

丁孙顺 (安徽省安庆市第二中学 246004)

金 奎 (安徽省芜湖市教育科学研究所 241001)

同一法是一种间接的证明方法,在初中教材中多次出现．然而,学生对同一法感到陌生,对其原理和使用步骤把握不清,在练习和考试中常常不敢或不能正确地使用．本文通过一道中考数学压轴题的解法,谈同一法的证明思路及其应用．

1 试题呈现

(2017年安徽中考第23题)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点．

(1)如图1,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F．①求证:BE=CF;②求证:BE2=BC·CE．

图1

(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tan ∠CBF的值．

2 解法探究

这里只解决第(2)题.

分析 观察(1)(2)两小题的条件与结论,考虑从逆命题的角度解答第(2)题,推出∠AGB=90°,再求正切值．但直接证明第(2)题会比较困难,可以尝试使用同一法:

图3

3 论证原理及步骤

回顾上述解题过程,让我们来理清其中的思路．为了克服直接论证的困难,先构造出一个满足结果的直角∠AG′B,再证明点E′与点E、点G′与点G、点F′与点F完全重合,即构造图形和原图形是同一个图形,∠AGB满足∠AG′B的特征,故而求出比例．这种证明方法属于同一法．

使用同一法,首先需要明确它的论证基础:一个命题,如果它的题设和结论所指的事物都是唯一的,那么原命题和它的逆命题中,只要有一个成立,另一个就一定成立．这个原理叫作同一法则[1]．例如,“中国的首都是北京”“北京是中国的首都”这两个命题是互逆的,且条件中的“中国的首都”只有一个,结论中的“北京”也只有一个,也就是说,命题的条件和结论所指的对象都是独一无二的．像这样的两个互逆命题,如果原命题正确,逆命题必然是正确的．

用同一法证明几何命题时,一般分为如图4所示的几个步骤．可以看出,完成了前两步,也就是证明了逆命题成立．完成了第三步,也就可以由逆命题成立转化为原命题成立了．

图4

4 教材体现

初中数学教材中,多处(逆)定理的证明使用了同一法,教学中应该注意对其进行优化和整合,明晰原理,理清步骤,强化对基本思想和方法的理解、渗透．

案例1勾股定理逆定理的证明．

勾股定理刻画了直角三角形的一条重要性质:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理的逆定理给出了判定一个图形是直角三角形的一种依据:如果三角形两条边长的平方和等于第三条边长的平方,那么这个三角形是直角三角形．怎样去证明勾股定理的逆定理呢?教材中的证明方法如下．

已知:如图5,△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且满足a2+b2=c2．求证:△ABC是直角三角形．

图5

证明作△A′B′C′(图6),使B′C′=a,A′C′=b,∠C′=90°．由勾股定理可知A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2=c2,得A′B′=c．在△ABC和△A′BC中,因为BC=a=B′C′,AC=b=A′C′,AB=c=A′B′,所以△ABC≌△A′B′C′,故∠C=∠C′=90°,即△ABC是直角三角形．

案例2中位线定理的证明．

在《平行四边形》一章中,课本给出如下推论:经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边．其后通过一个例题证明其逆定理,即中位线定理．由于两定理是互逆的真命题,教材中选用了同一法证明．

图7

相对于直接证法(如中线倍长等),本例使用同一法证明更加简明,更能体现教材的整体性和统一性．

案例3三角形相似的判定定理1～3的证明．

在学习了平行线截取相似三角形后,将继续探究使用对应边成比例或对应角相等来证明相似三角形的判定方法(定理),这些定理直接证明较为困难,可引导学生从逆命题的角度进行分析,用平行线构造出一组相似三角形,再证明对应的三角形具有“同一性”．

(选证定理1)已知:如图8,在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′．求证:△ABC∽△A′B′C′．

图8

分析 构造相似三角形前,要考虑为后期证明全等做准备,所以要先截取等长线段,再作出平行线．

证明在△ABC的边AB(或延长线)上,截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线DE交AC于点E,则△ADE∽△ABC,所以∠ADE=∠B,又∠B=∠B′,故∠ADE=∠B′．因为∠A=∠A′,AD=A′B′,所以△ADE≌△A′B′C′(ASA),故△ABC∽△A′B′C′．

由以上案例可以看出,同一法的构造思路,可应用于很多重要命题的证明中．教学中,要引导学生明确论证原理、明晰论证步骤．

5 解题应用

在初中数学解题教学中,同一法是一个相当有效的解题方法,对许多直接论证困难的问题通过转换角度就可以找到新的切入点．同一法的使用对于提升学生的解题能力有着十分积极的意义．

例1(半角模型证明)已知:如图9,在正方形ABCD中,E,F分别为线段BC,CD上的动点,∠EAF=45°,证明:EF=BE+DF．

图9

分析 此题根据条件易联想到截长法,即过A作EF的垂线段(图10),分割△AEF得到两组全等三角形．但此作法不能明确∠EAF=45°具体如何分配,故不能成功．此时,可改为使用同一法:在EF旁边构造出折线EGF,使其长度等于BE+DF,再证明折线EGF和线段EF重合．

证明如图11,作∠GAF=∠DAF,在∠GAF上截取AG=AD,连接GF,GE,易证明△GAF≌△DAF(SAS),所以GF=FD,∠AGF=∠ADF=90°．因为∠EAF=45°,∠1=∠2,所以∠3=45°-∠2,∠4=90°-45°-∠1=45°-∠1,从而∠3=∠4．易证明△EAG≌△EAB(SAS),故GE=BE,且∠AGE=∠ABE=90°,从而∠EGF=180°,所以F,G,E三点共线．因此,EF=GE+GF=BE+DF．

例2已知:如图12,△ABC是等边三角形,且AD=CF,DE=FE．求证:△DEF是等边三角形．

图12

分析 本题直接证明比较复杂,可以考虑先构造等边三角形,再证明构造的三角形与△DEF重合．如何巧妙构造是本题的重点,如何证明“同一”是本题的难点．

证明在边BC上取点M,使得BM=AD=CF,在△DBM与△MCF中,因为DB=AB-AD=BC-BM=MC,∠B=∠C,BM=CF,所以△DBM≌△MCF(SAS),故DM=MF．同理可得DM=DF,所以△DMF是等边三角形,故点M一定在DF的中垂线上,即M为DF的中垂线与BC的交点．因为ED=EF,所以点E一定在DF的中垂线上,即E为DF的中垂线与BC的交点,故点M与点E重合．因此,△DEF是等边三角形．

例3(2022年南京市中考第27(3)题)如 图13,在△ABC中,D为BC中点,E为△ABC内一点,∠ABE=∠C,∠BAE=∠CAD,连接DE,求证:DE∥AC．

图13

分析 由D为BC中点联想到三角形中位线,可先构造中位线,再证明中位线与ED共线．

通过上面几个例题可以看出,在同一法的使用中,合理的构造是关键;证明“同一”的形式多样,可以是图形全等或共点、共线等．

6 反思

同一法的知识散落在初中教材中,并在重要定理的证明中多次出现,教学中要注意优化课程结构、整合教学目标,明晰其原理,理清其步骤,强化对其思想和方法的理解与渗透．

同一法的原理独特,初学时,有些学生可能会不习惯于逆向构造,难以抓住证明要点,因而不愿意使用这种方法．在教学中,我们可以通过解释重要定理的证明过程,引导学生亲身体验同一法的巧妙与便利．此外,我们也要指导学生总结反思,证明共点、共线、图形全等都可以用“同一”的形式．

深入研究同一法,有利于提升教师的方法意识和总结习惯,即在教学中不仅要关注特定问题的解法,还要回溯问题解决的思路,总结出一般性的方法和规律[2]．这种“解题—回溯—反思”的教学方法对于提升学生的数学素养、培养其思维能力具有积极的影响．