“做数学”:实现整体建构、发展抽象能力的有效途径——以做“倒水实验”方式学习“函数概念”为例*

姜鸿雁 (江苏省无锡市蠡园中学 214072)

许沈琳 (江苏省无锡市河埒中学 214063)

1 引言

函数被德国著名数学家克莱茵(F.Klein,1849—1925)称为数学的“灵魂”[1]．随着函数概念的出现,学生从常量数学跨入变量数学的领域,认知将发生“质”的变化．函数概念的学习,对提高学生的数学素养、培养学生的创新精神和应用意识,都有不可替代的指导作用[1]．

初中阶段函数学习的一般进程是:先初步了解变量与函数的概念,然后再分别研究三个具体的函数(一次函数、反比例函数与二次函数),其中,变量与函数是难点之一．对此,一些教材采用避开难点的办法,在引入变量与函数的概念后直接进入一次函数的学习,让学生在学习具体函数的过程中,逐步感悟函数的思想方法与研究函数的一般思路．这种办法虽然降低了函数学习的难度,但学生往往“只见树木,不见森林”,缺乏对函数的整体认识．

为了解决上述难点,我们尝试设计“倒水实验”,期望通过具体的实验操作,使学生亲历变化过程,理解其中的变量与常量,探索变量之间的变化规律及其表达方式,为后继函数的学习提供直观经验和整体概观．这是一种以“做”为支架,通过操作体验、数学实验、综合实践等活动,获得数学概念、发现数学规律和应用数学知识的学习方式,称为“做数学”[2]．

2 “倒水实验”的教学设计及价值分析

2.1 教学目标

实验的总体目标是帮助学生初步感悟研究函数的基本思路,具体包括:

(1)理解一个变化过程中的常量与变量,初步感受常量与变量之间的辩证关系;

(2)通过数量关系探索两个变量之间的变化规律;

(3)用列表、图象和解析式表示两个变量之间的函数关系,初步感悟三种表示方式的意义及联系．

2.2 实验器材准备

(1)形状各异的玻璃瓶:A1(直径为5.5 cm的圆柱形,瓶中无水),A2(直径为5.5 cm的圆柱形,瓶中有水),A3(直径为8 cm的圆柱形,瓶中无水),A4(直径为8 cm的圆柱形,瓶中有水),A5(直径为3 cm的圆柱形,瓶中有水),B1(圆锥形),B2(倒锥形),B3(球形),C1(松树形状),C2(五角星形状)(图1)．

图1 形状各异的玻璃瓶

(2)带有刻度的容量为30 ml的小量杯10个(每小组1个),教师另有10 ml、50 ml量杯各1个(图2)．

图2 容量为30 ml的小量杯

(3)刻度尺、水.

实验器材准备意图“工欲善其事,必先利其器．”实验工具作为数学实验的有效载体,发挥的作用不容小觑．基于本节课的教学目标,外形多样的玻璃瓶不仅可以有效地激发学生的学习兴趣,唤醒学生的探索意识,也为理解各种函数变化规律,培养几何直观、抽象能力等学科核心素养作准备．

2.3 实验报告设计

表1所示为本次实验设计的报告单.

表1 教学实验报告单

实验报告设计意图实验报告由实验用具、实验数据、实验思考三个部分构成,这样的设计有助于学生明确实验目标,引领实验探究．实验数据以“数”“形”两种方式描述,表格记录实验数据清晰明了,图象反映实验结果形象直观,这既是记录实验结果,也是承前一章《平面直角坐标系》,更是预示未来——函数的表示方法．实验思考意在启发学生回顾反思实验过程,通过思考实验结果,发现规律,使函数概念生成得更加自然．

2.4 实验价值分析

本实验设计有如下特点与价值:(1)常量与变量“触手可得”,变量对应“清晰可见”.学生用量杯倒水、用尺测量水面高度,知道每次倒水量不变(30 ml),看到每倒一次水,水位只有一个高度与之对应,与玻璃瓶形状无关.在具身体验中认识常量与变量,抽象的函数概念变得具体[3],有利于理解函数概念．(2)表达变化数形“双管齐下”.表格中的数、坐标系下的点、平滑的线,通过不同的方式描述变化表达对应,在几何直观中承前章启本章,体会函数表示方法的多样性,感受玻璃瓶起始状态不同(有水与无水)则函数图象的起点不同,玻璃瓶形状不同则函数图象的“走势”不同,玻璃瓶粗细不同则图象“陡峭程度”不同,这些均为全章整体建构开启良好的篇章．(3)辩证思维、理性精神“渗透无痕”.在具体操作中“求同存异”,瓶子不同但有“倒水次数与水位高度对应”相同的特点,不同形状的玻璃瓶、不同的水位起点则对应不同的图象,……这些结论是学生亲手做出来的,亲眼看出来的,脑子想出来的,是来自实验的事实,不是纸上谈兵,更不是教师灌输.

3 课堂教学实施流程及片段解读

3.1 说明实验要求

师:每个小组有一个玻璃瓶,形状各不相同,有大小不一的圆柱形、球形、锥形、五角星等形状;有的是空瓶,有的装有一定量的水;另外还有一个容量为30 ml的量杯．今天我们做“倒水实验”,记录倒水过程中的数据,思考倒水的结果,看看有什么新的发现．

实验步骤:

(1)分工合作:1位同学倒水,2位同学测量水平高度,1位同学记录数据．

(2)操作记录:每次向玻璃瓶中注入1量杯水,测量注水后的水面高度,并记录注水杯数及对应水面高度．

(3)描点连线:将注水的杯数记作x,作为横坐标,对应水面高度记作y,作为纵坐标,描点并连线,将所得数据绘制成一张变化趋势图．

片断解读讲清实验操作具体要求,科学分工协作,提高“做”的效率,确保得到较为精准的实验结果,为抽象概括生成函数概念做好素材准备．

3.2 学生实验

大约13 min完成实验．

片断解读“做数学”极大地调动了学生的积极性,激发了学生的探索欲望,让学生有足够的热情投入到实验探究中去,也有利于培养学生尊重科学的理性精神．

3.3 交流实验结果

·交流实验组共性,生成常量与变量概念

师:观察表格中的数据,说说你的发现．

生(齐):注水的杯数在增加,玻璃瓶的水面高度在升高．

师:杯数和水面高度这两个量都在变化,我们把数值发生变化的量叫作变量．实验中有没有不变的量?

生:每次注入玻璃瓶的水,玻璃瓶的高度、容积．

师:像这样数值保持不变的量叫作常量．

师:若老师三次分别用容积为10 ml,30 ml,50 ml的量杯装满水,并倒入玻璃瓶,那么每次注入的水仍然为常量吗?

……

片断解读通过问题串,指引学生回顾实验过程中存在的“变”与“不变”,得到“变量”“常量”的概念,将学生带领到“变量数学”的领域．设计“替换量杯”环节,以体现常量和变量的相对性,渗透辩证思想．

·分析实验结果共性,抽象概括函数概念

活动1 第一小组(A1)汇报实验数据．

问题串:(1)在这个容器中注入1杯后,测出高度是多少?水面高度是唯一的值吗?

(2)注入2杯,水面高度是多少?唯一吗?注入3杯,仍然是唯一确定的水面高度吗?……

(3)从这些数据中可以看出,随着杯数的增加,水面高度也在增加;当注水杯数确定时,水面高度也随之确定吗?

(4)如果加入一杯半水,也就是当杯数x为1.5时,能量出水面高度吗?高度唯一吗?

(5)你能预测到注入12杯后的水面高度吗?

总结变化规律:对于注水杯数的每一个值,水面高度都有唯一的值与它对应．

活动2 实物投影4个小组的实验数据．

问题:各小组数据不尽相同,但你能发现每小组实验结果的共同特征吗?请表达出来．

活动3 请其余小组成员谈谈自己小组的数据反映出的变量间的特点,生成函数概念．

片断解读首先,以第一小组数据为“点”,在问题串的驱动之下,促进学生对“做数学”的实践过程进行理性的梳理,经历观察、推理、分析、猜想等思维过程,逐步对两个变量之间的对应关系形成清晰的认知;其次,以4个小组的数据为“线”,发现与第一小组的结果存在一定的共性;最后,推而广之到“面”(所有小组的数据),进一步体会共性所在,引导学生用数学语言规范地描述两个变量之间的对应关系,抽象出函数概念,引出课题．

·关注常量与变量的实际意义,感悟研究函数的一般思路

活动4 以第一组的玻璃瓶为参照,逐步分三个层次:(1)形状相同、大小相等但原先有水和无水的两个玻璃瓶;(2)形状相同、大小不等、原先均无水的两个玻璃瓶;(3)形状不同的两个玻璃瓶．对照实验结果(尤其是绘制的图形),分别讨论它们的不同之处．

片断解读函数是描述一个变化过程的数学模型,其中的常量与变量不仅具有实际意义,也会影响函数的变化规律．学生在反复比较、充分交流的过程中,感受到函数的变化规律不仅与变量的设置有关,也与玻璃瓶的形状有关,进而认识到函数关系及其表达方式的多样性,为后续各种具体函数的学习播下直观而理性的“种子”．

4 学生反馈

为了更好地了解学生通过“做数学”的学习方式获得函数概念的学习效果及情感体验,课后,我们以问卷的形式进行了调查．对于问题“很多同学刚刚学习函数概念时,觉得很难理解(甚至有些同学在很长一段时间内,觉得困难),你觉得通过倒水实验的学习过程,这个概念很难理解吗?说说你的想法．”“你喜欢这种通过亲手操作做实验获取知识的学习方式吗?说说你喜欢或者不喜欢的真实想法(理由)．”有98%的学生认为通过倒水实验的过程,可以较好地理解函数的概念,并表示喜欢这种通过亲手操作做实验获取知识的学习方式,认为活动丰富有趣,结果形象直观,留下了深刻的印象．对于类似“若两个变量x,y之间的数量关系可以写成y+2x=3,变量y是x的函数吗?为什么?变量x是y的函数吗?为什么?”等考查函数本质特征的问题,97%的学生可以准确地回答,这说明通过“做数学”的方式学习,有利于函数概念的理解．

5 反思与总结

5.1 “做数学”的团队实验结果,有利于形成概念

数学概念是数学学习的逻辑起点,是学生认知的基础,是学生进行数学思维的核心,在数学学习与教学中具有重要的地位[4]．归纳“研究对象的本质”是形成概念的关键,也是概念学习的核心所在,提供丰富的有意义的研究对象,有利于提炼研究对象的本质．“变量数学”“高度抽象”等这些贴在函数概念上的“标签”,足以表明学习函数概念不是件容易的事．提供一定量的有利于提炼函数本质特征的素材,有利于概念的生成．

本节课的倒水实验以玻璃瓶起初有水无水、形状规则与不规则等为标准,将全班学生分成10个小组,获取10组数据,绘制10幅图形,这为抽象实验结果的共性、生成函数概念提供了丰富的素材．教师以问题串为引擎,让学生经历观察思考,从1组数据到4组数据,直到10组数据,如此“点、线、面”的方式逐步铺开,而且数据都是学生“做数学”“做”出来的,心理上有着真实可靠的情感,让学生切实感受到虽然数据众多、图形各异,但并非杂乱无章,而是有章可循.学生在教师精心设计的问题中启发思考,发现规律,表达“章法”,形成概念．经历如此学习过程,学生能够体悟到在面对复杂多样的现实世界时,要善于发现本质、总结规律,有利于认识现实世界．

5.2 “做数学”的团队思维成果,有利于建构整体框架

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出:“在教学中要重视对教学内容的整体分析,帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系.”[5]数学知识不是孤立存在的,要了解它的落脚点、生长点和延伸点,关注它们的联系和结构,架构知识的整体体系,由点及线,以线观面．因此,要利用恰当的主题活动整合教学内容,有利于促进学生对知识本质的深度理解,加强学生思维的连贯性．

作为章首课,“变量与函数”具有提纲挈领的作用．倒水实验作为章头图活动的改编,承接旧知(平面直角坐标系),导入新知(函数概念),达成课时目标并引申到函数单元甚至整个主题．实验中,通过对实验结果的不同记录方式,为函数的三种表示方法埋下伏笔,体现数形结合、渗透几何直观．实验后,对用不同的玻璃瓶得到的实验结果进行分享分析,发现变量间不同的对应关系有不同的图形表达．通过反复地观察、对比,初步感受各函数的基本特征,感受到存在最简单特殊的函数,它应该是深入学习函数的起点．学生在“从特殊到一般”的思维过程中生成概念(由各组不同的实验结果,达成一般共识,生成函数概念),再从“一般到特殊”的感悟中建构大致框架(都是函数却有不同,有些简单有些复杂,从而建构函数体系的大致框架),为后续学习一次函数乃至二次函数、反比例函数做好铺垫,体现了大单元教学观．本节课以“做数学”为媒介,引导学生初步建构以函数为主题的知识体系,而且让学生大致了解函数的研究路径:定义—图象—性质,体验函数建模的过程,积累研究问题的方法和解决问题的策略．

5.3 “做数学”的具身学习方式,有利于发展抽象能力

数学中的概念、命题、方法与体系都是数学抽象的结果[6]．“抽象”是数学学科的本质特征,发展学生的抽象能力是培养学生认识现实世界的重要任务,概念教学是发展抽象能力的重要抓手．以函数概念为例,不少教师通过列举一定量的生活中的例子,试图引导学生发现:在一个变化过程中的两个量,其中一个变量取一个值,另一个变量有唯一确定的值与它对应,从而生成函数概念．但笔者认为,这些例子是教师列举出来的,变量之间的关系也是在教师的牵引之下学生被动生成的,这种学习方式是“离身”的,虽然情境是生活中的,也是真实的,但学生依然是学习的“局外人”．

倒水实验这一过程有如下几个特点:水是学生自己倒的,数据是学生自己测量并记录的,图形是学生自己描点连线画出来的,瓶子的形状是看得见摸得着的．这些特质使得学生真正成为学习的主人,他们以“做”为支架,进行“操作观察—感悟思考—理解表达”等一系列有意义的数学活动．在这种学习方式中,学生就是情境中的人,是“具身”的,于是抽象变得不再那么抽象．

6 结束语

通过倒水实验,学生在“知行合一”中走进“变量与函数”的世界,初步理解函数的概念,初步感受到以函数为主题的学习框架,积累了一些认识世界的经验.在“主人翁”的角色中,经历从特殊到一般的抽象,再从一般到特殊的建构,感受到“数”与“形”的统一,以及从“形”(绘制的图形)到“形”(玻璃瓶的形状)的想象与预测,这些体验不是凭空臆想,而是来自实践操作、理性思考,如此高品位的学习方式将影响学生的终身发展．