项目式学习在数学探究活动中的应用研究——以“杨辉三角的性质与应用”为例*

柯燕萍 (福建省厦门市同安区教师进修学校 361100)

数学建模与探究活动是高中数学课程四条主线之一,这类活动以学生为主体,在教师的引导下,学生通过经历实践获得知识技能,并提高学科素养．项目式学习的理念和数学探究活动在一定程度上是相通的,但是两者又有差异．数学探究是从数学角度明确所研究的内容,而项目式学习则是从方法角度强调怎么做,对过程和结果要求更加具体明确．

经过实践验证,通过项目式学习方法开展数学探究活动,可明确活动的目标,加强活动的程序性,增强学生学习过程的体验,提高学生的综合能力和数学核心素养．本文以“杨辉三角的性质与应用”为案例,解读如何借助项目式学习开展数学探究活动的教学．

1 模式探索,优化数学探究活动的学习路径

数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动[1]35．它的特点是有一个要解决的问题,引导着活动的进程;有一个要学生全程参与、解决问题的过程;有一个可以分享交流、需要交互参与的评价结果．

美国巴克教育研究所提出:项目式学习是一套系统的教学方法,既是对复杂的、真实的问题的探究过程,也是精心设计项目作品、规划和实施项目任务的过程,学生通过经历过程掌握知识,提高技能．项目式学习这一模式给高中数学探究活动提供了一条实施的路径．它以终极产品要求来制定活动的目标,目标的指向性更为明确．

对于项目式学习实施的流程,经过一段时间的学习和实践探索,我们把流程具体化为如图1所示的几个步骤．那么,在具体教学中,如何借助项目式学习来进行数学活动探究呢?

图1

2 应用实践,强化数学探究活动的过程体验

2.1 定目标——确定对象,制定项目目标和产品

学习了二项式定理,了解二项式系数之间的规律．那么如何深挖二项式系数背后的规律呢?可以从定理本身的背景或者生活应用入手．

杨辉三角是我国数学史上一个伟大的成就,它不仅具有数学思维和数学文化上的魅力,还蕴含着丰富的代数性质和应用价值．因此把“杨辉三角的性质和应用”作为探究活动,可延续之前对杨辉三角的探究,制定“从杨辉三角发现规律性质”和“调查和研究杨辉三角背后的文化和应用”的终极产品．

2.2 析路径——设置驱动问题,分解项目任务

·发现和提出有意义的数学问题

杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家,在其1261年所著的《详解九章算法》一书中,记载了“开方作法本源图”．

有同学发现,这是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在学习二项式系数的性质时,借助这样的形式,发现了二项式系数间的一些规律．

驱动问题:继续观察杨辉三角,还能发现其他不同的规律吗?可以通过哪些角度来进行观察呢?

追问:(1)从杨辉三角的每一行出发,除了对称性,还能发现其他的性质吗?(2)对杨辉三角进行降维处理,除了观察每一行的规律,还可以从哪些角度寻找杨辉三角的性质?(3)你能对观察发现提出合理的猜想吗?

·提出解决问题的思路,猜想合理的数学结论

(1)观察发现,合作完成

从图形出发观察数字之间的关系,提供一些方法辅助:圈一圈、连一连、算一算,找到一些思维方向．根据已有经验,杨辉三角的特殊性在于其是特殊数字按照一定规律排布的三角形数阵,它兼具形和数的特征.从形的角度出发,再将离散的数抽象为具有统摄效果的代数符号,进行代数运算,寻找代数运算的不变性,即杨辉三角的规律性．

在这个过程中,项目组可以进行合作．例如第一小组观察从横行出发,第二小组从斜行出发．每个小组通过观察得出特殊结果,并进行合理猜想,最终选择一名代表上台展示观察的结果和猜想 的结论．小组内每个成员可以展示一个猜想结果,保证每位学生都参与其中,既有小组合作又有个人展示．

观察角度1 从杨辉三角的横行出发:①横行中与首末两端“等距离”之数相等(图2);②横行的数字的和分别为2,4,8,16,32,64,…(图3);③横行的奇数项之和与偶数项之和相等(图4)．

图2

图4

观察角度2 从杨辉三角的隔行出发:④除了1以外的数都等于肩上两数之和(图5)．

观察角度3 从杨辉三角的斜行出发:⑤自腰上的某个1开始,平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数(图6)．

(2)归纳猜想,总结规律

通过观察形成归纳猜想,进行推理和证明思路的整理,可以培养学生的逻辑思维,这对于学习和研究数学是至关重要的技能．

由于杨辉三角的直观性,学生容易发现一些数的规律,根据之前学习二项式系数的规律,可以归纳出一些合理的猜想(表1)．

表1 杨辉三角规律的猜想

·论证数学结论

数学推理论证是一种严密的逻辑推理过程．严格的论证可以确保数学结论的正确性和准确性．为了确保上述猜想的正确性和准确性,对猜想进行验证．

猜想1～猜想3是已学的二项式系数的关系,学生容易进行论证．这里对猜想4和猜想5进行证明．

这是杨辉三角的递归性．

2.3 恰当指导——围绕主题,耐心指导

由于杨辉三角的直观性和性质的丰富性,适合第1课时当堂完成探究;而那些“深藏不露”的性质,需要引导学生课后查找阅读相关材料,让不同发展水平的学生都能进行探究,并有所收获．教师应指导学生开展阅读交流活动,并针对历史材料提取出杨辉三角的有益信息．

为了引导学生深入探究问题,研究周期可设定为两周甚至更长．展示之前,建议安排中间第2课时进行中期汇报和展示,教师根据学生研究的结果进行针对性的指导．从杨辉三角的性质出发,拓展性质背后的应用和实际背景,形成系列结果．

2.4 述产品——分享交流,展示产品

学生展示的学习成果可以是一份报告、演示文稿、实物模型、艺术品、软件程序或其他形式的产品．通过产品展示,学生巩固其对所学内容的理解,并展现出自己的实践能力和创造力．

历经三周的探究,项目完成,以下是学生展示的项目作品范例．

项目作品1

数学背景 除了1之外的数都等于其肩上的两数之和．

项目作品2

其中结论(3)涉及一个古算题的背景．

现实背景 垛积问题．杨辉在《详解九章算法》中记载有这样一道题目:“三角垛,下广,一面一十二个,上尖,问:计几何?”答曰:“三百六十四个．”如图7所示的是四层的情况．

图7

图8

杨辉三角还可以应用于开方古算题、牛顿对圆周率的估算、杨辉三角中的素数等,展现杨辉三角的应用价值,感悟数学文化．

3 评价发展,深化数学探究活动的意义

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:“通过考查,诊断学生学习过程中的优势与不足,进而诊断教师教学过程中的优势与不足;通过诊断,改进学生的学习行为,进而改进教师的教学行为,促进学生数学学科核心素养的达成．”[1]84

3.1 针对研究过程的评价依据

通过观察学生在课堂上的学习行为、合作学习中的思维过程,以及学生解决问题的方法路径的探索,发现学生思维发展的特征,从而发现教学中的问题,及时调整教师的教学行为．

本项研究中可以观察学生的以下行为:(1)能否从教师的引导中对问题进行深入思考,寻找观察杨辉三角的研究路径;(2)能否通过阅读网上的资料,整理内化,发现杨辉三角的规律;(3)能否认真总结已有性质的证明依据,并类似地证明其他性质．

3.2 针对报告内容设计的评价依据

项目式学习可依据学生对任务的内容设计、评价报告的结构和组织、评价任务完成的情况,以及报告内容的设计来进行评价:(1)根据课时的引导,学生能否总结出研究路径,并通过总结的路径进一步研究;(2)学生梳理清楚杨辉三角的性质后,能否给出严谨证明,并形成报告;(3)学生能否写出每条性质的数学背景或实际背景．

3.3 针对学生学习态度的评价依据

学生良好的学习态度是完成学习任务的基础,是培养关键能力的基础,是发展数学学科核心素养、促进科学精神养成的必要条件．评价时应关注以下几方面:(1)评价学生对项目经验的反思和改进能力,包括认识自己的不足、制订改进计划和积极执行等方面;(2)评价学生在与团队成员和其他相关人员的沟通和合作中的表现,包括态度、尊重和有效的交流等;(3)评价学生主动参与项目的程度,包括主动提出问题、主动寻求资源和主动参与讨论等．

多元化评价在培养学生综合能力、促进深度学习、强调实践意义、支持反思和反馈,以及促进合作等方面发挥着重要作用．鼓励学生进行深度学习和探究,比传统的表面性记忆和应试评价方式更注重学生对学习主题和问题的深入理解．

4 结束语

数学探究活动意义深远,项目式学习方式为数学探究活动提供了一条实施路径．教师做好方法的指导,学生从被动配合到主动融入,全面参与到探究活动来,体验数学探究活动,达到发展学生综合能力和核心素养的目标．