“距离”概念的一致性及其教学和应用*

葛 艳 (江苏省扬州市邗江区公道中学 225119)

石树伟 (江苏省扬州市广陵区教师发展中心 225006)

为落实数学学科核心素养,《普通高中数学课程标准(2017年版)》《义务教育数学课程标准(2022年版)》均提出了课程内容结构化的课程理念．内容结构化具有整体性、一致性、阶段性特征,其中整体性、阶段性是外在表现、应有之义,一致性是指组成结构的内容之间学科本质、核心概念的一致,它才是零散内容建立关联、形成结构的内在灵魂和根本维系．内容的一致性,有助于学生理解具体学习内容的学科本质,深刻理解和掌握学习内容,并在此基础上实现知识与方法的迁移,促进学生核心素养的形成．几何是研究点、线、面、体等图形的形状、大小及位置关系等空间形式的一门重要数学分支,研究位置关系回避不了距离这个概念．初中阶段对点到点、点到直线及平行线间的线到线的距离给出了定义;高中阶段对点到点、点到直线、线到线、点到面的距离进行了进一步研究．这些“距离”概念虽然研究的图形对象不同,但通过对比分析发现它们具有较强的一致性.现将距离概念的一致性及其教学和应用分析如下．

1 “距离”概念的一致性

1.1 教材中“距离”概念的呈现

初中和高中阶段点到点、点到直线、点到平面及平行线间的线到线的距离概念,在各种版本教材中的呈现方式大同小异．点到点的距离即两点之间的距离,初中教材一般先通过“两地之间走哪条路最近”的讨论,揭示两点之间线段最短这一基本事实,然后呈现定义:两点之间线段的长度叫作这两点之间的距离．

对于点到直线的距离,初中教材一般先通过“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中哪一条最短”的操作讨论,揭示直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短这一基本事实,然后呈现定义:直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离．

平行线间的线到线的距离即两条平行线之间的距离,初中教材一般先通过“两条平行线中,一条直线上的任意两点到另一条直线的垂线段是否相等”的操作讨论,揭示两条平行线中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离都相等这一结论,然后呈现定义:两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离叫作两条平行线之间的距离．

对于点到平面的距离,高中教材一般先通过“过一点有几条直线与已知平面垂直”的操作讨论,揭示过一点有且只有一条直线与已知平面垂直这一结论,然后呈现定义:从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫作这个点到这个平面的距离．

1.2 教材“距离”概念的一致性分析

从上述教材对距离概念的一系列阐述可以看出以下两点:首先,所有“距离”最后都归结为两点之间的距离,而连接两点的线段是连接两点的所有“线”中最短的;其次,直线与平面都是由无数点构成的集合,点到直线(或平面)的距离是直线(或平面)外一点到这条直线(或平面)的垂线段长度,其本质是点与直线(或平面)上任意一点的连线段长度的最小值．两条平行直线中,一条直线上的任意一点到另外一条直线的距离不变,因此两条平行线之间的距离可化归为点到直线的距离,其本质是分别位于两条平行直线上的任意两点之间距离的最小值．

通过以上分析可以发现,上述距离概念的一致性主要体现在“最短”上面,正是距离的“最短”特性决定了距离的“唯一确定性”．

2 “距离”概念一致性的教学

2.1 教材内“距离”概念的教学

教材内距离概念的教学要让学生感悟一致性,首先要强调距离与最短的联系．在呈现定义后还应让学生认识到:两点之间的距离其实就是两点之间所有连线中最短的连线——线段的长度;点到直线的距离其实就是点与直线上各点连接的所有线段中最短的线段——垂线段的长度;两条平行线之间的距离其实就是一条直线上的任意一点到另一条直线的最短距离;点到平面的距离其实就是点与平面上各点连接的所有线段中最短的线段——垂线段的长度．这样,这些距离才是唯一确定的,才可以从定性走向定量．

其次要加强这些距离概念的前后对比联系,在联系中感悟并发现一致性．例如,教学点到平面的距离时,应引导学生回顾点到点、点到直线的距离,思考它们的区别与联系．

2.2 教材外“距离”概念的探究

课程内容的一致性可以促进课堂教学的改革,实现“用少量主题的深度覆盖去替换学科领域中对所有主题的表面覆盖,这些少量主题使得学科中的关键概念得以理解”[1]．之所以能够实现以少量主题的深度覆盖替换所有主题的表面覆盖,就是因为这些内容的学科本质、核心概念具有一致性,从而可实现知识与方法的迁移．因此,距离概念的教学首先要对教材内的距离概念深度覆盖和理解,领会知识本质和研究方法,在此基础上提供探究学习的素材和机会,引导学生运用距离概念的一致性本质和研究方法探究更多类型、更为复杂的图形之间的距离,如点到曲线的距离、点到曲面的距离、点到几何体的距离,同一平面内两条不相交的曲线之间的距离、两个多边形之间的距离,空间中两个平行平面之间的距离、两个曲面之间的距离、两个几何体之间的距离,等等．

3 “距离”概念一致性的应用

这里所说的应用主要指距离概念的一致性在解决问题方面的应用.下面通过几个例子来说明．

3.1 从点到直线距离的多种解法中发现通法

例1已知点P(2,1),直线l:2x-y+1=0,求点P到直线l的距离．

例1是求点到直线的距离(点P到直线y=2x+1的距离),思路很多．

思路1 如图1,可以先求出垂线段(PH)所在直线的解析式,进而求得垂足(H)的坐标及线段PH的长度(点到直线的距离)．

图1

思路4 由距离概念的一致性可知,PH的长为点P与直线y=2x+1上任意一点的连线段长度的最小值,所以可以构造点P与直线y= 2x+1上任意一点M(m,2m+1)的连线段PM的长度与点M的横坐标m之间的函数关系,进而利用函数最值求出PH的长．

思路评析思路1利用“互相垂直的两直线斜率乘积为-1”的结论求垂线段所在直线的解析式;思路2利用直角三角形的等面积法和勾股定理;思路3利用直线的法向量.这三种思路都可行但仅限于解决点到直线的距离问题,而无法解决与曲线相关的问题．思路4构造点与线(直线)上任意一点的连线段的长度与该线上任意点的坐标之间的函数关系,利用函数最值求出点到线(直线)的距离,这一思路回归到距离概念的一致性本质——最短．无论是求点到直线的距离还是求点到曲线的距离,思路4的方法都适用．

比较例1中点到直线距离的多种解法,可以发现一个解决点到线、线到线(含曲线)距离问题的通法——转化为函数最值问题．距离概念的一致性主要体现在“最短”上面,即两图形之间的距离是分别位于两图形上的任意两点之间连线长度的最小值.所以从函数角度看,距离问题就是最值问题,可以通过建立函数求解距离问题．

3.2 通法的应用举例

例2(2022·扬州)如图4是一块铁皮余料,将其放置在平面直角坐标系中,底部边缘AB在x轴上,且AB=8 dm,外轮廓线是抛物线的一部分,对称轴为y轴,高度OC= 8 dm．现计划将此余料进行切割．

图4

(1)若切割成正方形,要求一边在底部边缘AB上且面积最大,求此正方形的面积;

(2)若切割成矩形,要求一边在底部边缘AB上且周长最大,求此矩形的周长;

(3)若切割成圆,判断能否切得半径为3 dm的圆,并请说明理由．

思路评析第(3)题的关键是求出圆心到抛物线的距离,然后通过比较圆心到抛物线的距离与半径的大小判断抛物线与圆的位置关系,这是直线与圆的位置关系研究方法的迁移应用．这里圆心到抛物线的距离属于点到曲线的距离,是上述通法的直接应用．

例2第(3)题是直接求点到抛物线的距离,其实第(3)题可变式为求与抛物线相切的圆的半径:

变式 若切割成圆,要求面积最大,求此圆的面积．

图5

例2中圆心到抛物线的距离、变式中圆与抛物线相切时过切点的半径,两者都是圆心与抛物线上任意一点的连线段长度的最小值,因此应用通法可以求出这些长度．

3.3 通法的教学价值

求点到线、线到线(含曲线)距离的通法,其教学价值主要体现在两个方面:一方面,有利于学生进一步深刻体会距离概念的一致性本质——最短,即两图形之间的距离是分别位于两图形上的任意两点之间连线长度的最小值,而且是在应用中体会理解;另一方面,有利于培养学生的函数建模意识和能力．从最小值联想到函数,构造点与线上任意一点的连线段的长度与该任意点的坐标之间的函数关系,利用函数最值求出点到线的距离或过切点的半径,这里的函数构造不是通过小题铺垫给学生下指令,而是需要学生自主发现现实情境中存在函数依赖关系,从而自主构造函数,自觉应用函数知识解决问题．这里要特别强调函数建模的自主自觉,因为学生未来遇到真正的实际问题时,不会再有人告诉他“这个问题里面有函数关系”,或有人替他分解成几个小问题,让他构造函数．函数建模首先需要有建模的意识,然后才能用到函数建模的能力．强调自主自觉才能真正培养和发展学生的数学建模素养[2]．