数学教育问题的哲学思维途径*

严亚强 (苏州大学数学科学学院 215006)

1 引言

笔者随《中学数学月刊》“走进课堂”栏目组赴某中学“观课议课”,执教老师展现了“圆的方程”一课的经典教学过程:回顾直线方程、从定义开始建立圆的标准方程、讨论点与圆的位置关系、用例题和习题巩固提高并作课堂内容小结．师生的课堂表现中规中矩、严谨务实,得到听课老师的一致好评．

笔者关心的中心问题是:(1)这节课的重点和难点在哪里?这节课达到了怎样的教学效果?(2)如何在这节课中揭示“曲线与方程同一性”的数学思想?如何通过这节课培养数学素养?(3)我们应该使多数课堂致力于“数学探究”还是“数学解题”上?对于数学,怎样算是学得好?怎样算是教得好?

这些是每位一线数学教师随时都会遇到的问题,笔者尝试通过系统地介绍哲学概论中的基本原理来反思数学教育中的困惑,进而促进对哲学思维的方法和途径的理解和运用．

2 哲学的思维和视角

2.1 哲学的思维

我们的思维层次有日常思维、科学思维和哲学思维三种逐步递进的水平．日常思维以眼前当下的实物、现象为目标;科学思维以经验范围内具体事物的内部联系和事实之间的关系为目标;哲学思维以自然现象的整体、精神现象的整体、社会现象的整体为目标[1]．

从认识论和方法论而言,日常思维主要使用直观的方法,科学思维主要使用分门别类和分析的方法,哲学思维则主要使用综合统一的方法．可见,哲学思维比其他形式的思维更适合社会的整合任务,这也正是数学教育的思考所需要的．

所以,日常思维和科学思维被称为对象性思维,而哲学思维被称为超越性思维．由于哲学思维的超越性,哲学的思考对象必先受到科学思维的处理,即超验性(超越经验)和抽象性,然后在抽象的整体目标(人、自然、社会的基本关系,即人生观、世界观和价值观)的层面上展开哲学性思维．

思维科学将思维分为抽象(逻辑)思维、形象(直感)思维和直觉(顿悟)思维三大形态,它们在思维的每个阶段都会出现．直觉是创造的必要条件．思维还有理性和感性之分．理性思维是一种有明确的思维方向,有充分的思维依据,能对事物或问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括的一种思维.科学思维大都是理性思维.感性思维有混沌与清晰之分:混沌感性把认识建立在感觉基础上,以意识片段为形式对世界进行描述,是一种低级的思维状态;清晰感性是在理性思维的基础上,对抽象的分支认识的协同认知、定义和理解,是一种高级的思维状态,哲学家就是依赖这种思维建立假说的．理性主义与经验主义的区别就在于更愿意接受理性思维还是清晰感性思维．

引言中的问题(1)就来自典型的日常思维,问题(2)可以说是科学思维;而问题(3)就属于哲学思维．哲学命题有事实命题与价值命题之分,问题(3)思考的是价值命题,来源于清晰感性思维．

2.2 哲学思维的特性

相对于日常思维和科学思维,哲学思维有三个显著特性．

·超越性

“超越”是指主体的活动离开了特定的范围、条件、现状等的限制．其表现为:一、超越当下事物而指向其“背后”,如就事寻因、就事探果、就事论理;二、超越眼前事物而回溯过去、展望未来,如超越事物的现有价值而指向其潜在价值,超越实用主义和功利主义而指向社会的全面进步和人的全面发展．

·批判性

“批判”是指通过对思维对象的分析、考察揭示出该对象成立的条件和根据,指出其有限性和适用范围,并警示如果该对象超出其适用的范围可能产生的谬误．所以,哲学批判思维根源于哲学的“终极关怀”,而意识的自觉性、反思性把批判性思维引向深层,黑格尔的“否定之否定”是批判性思维的重要形式．

·反思性

“反思”就是对对象意识的再思考．反思在黑格尔哲学里是“反射”的意思,事物的本质不在直接性,而在间接性,我们应透过现象看本质;事物是互为中介、互为根据的,人们应在事物的相互联系、中介中探索事物的根据、原因．郑毓信教授说:“‘更为深入的思考’也就可以说是一种反思,哲学则更可以定义成‘反思的学问’．”[2]前言4

一般而言,哲学思维的这三种形态交叉性很大,但还是可以从具体问题中找到区别．例如,现在有些学者对数学课标中的“四能”(发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力)的提法还不满意,认为对问题的比较、评价、审美才是最高级的能力,这可以说是超越;李士锜教授在数学教育学报上连发三问“熟能生巧吗?”“熟能生笨吗?” “熟能生厌吗?”,就是对中国传统教学方法的批判或反思[3]．

2.3 哲学思维的一般途径

哲学思维,按照其思考问题的方向可以分为理性主义思维和经验主义思维,前者强调实证,后者强调归纳,在应用中两者总是相互结合．哲学思维的一般途径有以下几种．

(1)假设与假说

“假设”就是根据已有的材料与经验,对事物产生原因及其发展变化的规律所作的推测．统计学里的“假设检验”就是对观察和实验得到的数据与置信区间进行对比．数学教学活动中的“观课议课”也是一种假设检验,这是假设了某种教育观念的可行性,以课堂表现作为观察和实验的数据的检验方法,所不同的是教育假设没有置信区间,此时专家引领就必不可少．

“假说”是指根据已有的事实材料和科学原理对某些未知事物或现象作出的具有推测性的假定解释．需要注意的是,假说是未被确证的理论,大陆漂移说、狭义相对论、达尔文进化说、DNA双螺旋说、中医学说都是假说．哲学、教育学和心理学里大都是假说．此时实践检验就必不可少．这里的实践检验包括采用经验或事实的直接对照验证,也包括科学实践的间接对照验证．

(2)逻辑学

哲学家通常把逻辑学、伦理学、美学的知识体系构筑作为自己的学术基础．

逻辑学曾被划分为哲学之认识论中一个分支．古希腊时期,亚里士多德于公元前4世纪的著作《工具论》中,广泛涉及了逻辑学的基本问题,比如概念、范畴、四谓词、直言命题、直言三段论等,从而确立了以直言命题为对象、以三段论理论为核心的词项逻辑理论,成为此后十多个世纪西方形式逻辑的教学体系,即“概念-判断-(演绎、归纳和类比等)推理-论证-谬误-反驳-思维规律”,亚里士多德也因此被誉为“逻辑之父”．

哲学是“爱智”之学,要达此目的,思维必须清澈,思路必须清晰,而逻辑则是帮助爱智者们思维清楚的工具．它还有助于人们提升语言表达能力,是揭露逻辑错误、批判诡辩论的有力工具．

逻辑学在西方哲学思维中一直居于中心地位．我国学者喻平教授提出的CPFS数学学习理论(概念、命题及其域和体系)可以说是逻辑学的成功运用．

(3)三分法

归纳逻辑中有一种重要方法——分类法,这也常常被认为是一种基本的数学思想．“分类”不同于“分划”,是根据事物的本质属性或显著特征将概念所反映的对象分为若干个类．辩证法上有“一分为二”法,这常常会导致非白即黑的误用．而三分法是“一分为三”之法,被称为“广义经济法”,就是把分析的对象当作一个商品,它有三个关键属性:外观、功能和灵魂．引言中的问题(1)就是这节课的外观和功能,问题(2)中“核心素养”是它的灵魂．外观和功能就是(形式)结构和内容,而灵魂是商品制造者的“故事”,是其“至爱”,在日本哲学家米山国藏眼中是“精神”,英文spirit既有“精神”又有“灵魂”之意．

关于灵魂再举一例．比如我们写数学教育方面的论文,除了足够的素材和引以为傲的价值以外,还应呈现自己独一无二的心得,自己(通过文献阅读)确信这是别人没有想到过的东西,才会写出让自己永远喜爱的成分——创新性,这样的论文就被赋予了(不死的)灵魂．

(4)系统论

“系统”就是由若干要素以一定结构形式联结构成的具有某种功能的有机整体．在这个定义中包括了系统、要素、结构、功能四个概念,表明了要素与要素、要素与系统、系统与环境三方面的关系．系统是普遍存在的,大至浩渺的宇宙,小至微观的原子,一粒种子、一群蜜蜂、一台机器、一个学校、一个学习团体……都是系统,整个世界就是系统的集合,也包括教育系统、社会系统、一堂课[4]等．系统论的基本观点就是把事物、对象看作系统,进行整体研究．

系统论运用完整性、集中性、等级结构、终极性、逻辑同构等概念,研究适用于一切综合系统或子系统的模式、原则和规律,并力图对其结构和功能进行数学描述．系统强调整体与局部、局部与局部、整体与外部环境之间的有机联系,具有整体性、动态性和目的性三大基本特征．这与马克思主义关于物质世界普遍联系的哲学原理高度契合．

文[5]所言的“儒家文化圈”就是一个系统,而梁贯成的研究常常把几个地区(子系统)的数学教育状况作对比,蕴含丰富的系统论方法．

(5)进化生态法

这种方法也可称为“三维空间法”,它与爱因斯坦相对论中的四维空间的思想是吻合的,即生存空间(二维,而不是相对论中的三维)加一维时间．我们所处的空间就是这个社会,是一个广义的生态系统;我们所处的时间就是一个历史文化节点,社会在历史进程中进化和遗传．所以我们所处的世界是一个发展着的“社会—文化体系”(图1)．

图1

关于社会的二维性,可以理解为物质与精神两个方面,也可以理解为泛经济与泛教育、生产力与生产关系、上层建筑与意识形态等等．

马克思投入哲学研究是受到了达尔文的生物进化论影响,他相信人类社会如果看作一个广义的生态系统,那么其发展也与生物进化有相似之处,于是逐渐形成了他的历史唯物主义学说．

文[6]的数学文化和素质教育等章节中也提供了大量典型案例．

3 数学和数学教育的本体论和认识论

3.1 数学和数学教育的本体论

本体论原来研究的是“世界的根本性存在是什么”之类的问题,有世界的本原是水、火、道、天、上帝等说法,后来发展成为物质本体和精神本体两种主要学派．到了康德那里,他认为本体不是知识的对象,我们也不可能获得关于本体存在的任何知识,而当代哲学家波普尔、奎因、海德格尔对本体论提出了辩护与重建,他们都认为本体论问题是非常重要的,任何一个科学家都必须有一个(可以来源于各种立场的)本体论的观点作为方法论的指导．

(1)模式:数学的本体

有两种关于世界本原的学说与数学有关,即毕达哥拉斯所说“万物皆数”和柏拉图所说“理念世界”．按照质量互变规律,事物的质和量是事物变化中保留的一对范畴,所以说“世界的一半皆是数学”就不过分了;而许多卓越的数学家,像集合论的创始人康托,认为数学概念是独立于人类思维活动的客观存在,这与柏拉图的看法是一致的[7]．所以,虽然理念世界只能表明人们的思维活动形成了从不同角度反映现实的概念体系,但将“数学世界”这样的一个抽象体系与现实世界区别开来,是十分有益的．

那么数学世界里有什么东西呢?恩格斯的著名论断“纯数学的对象是现实世界的空间形式和量的关系”仍在主导着当今课标中对数学的定义,但曾任美国数学协会主席的斯蒂恩1988年在《科学》杂志提出的论断“数学是模式的科学”得到了现代哲学界的高度重视．斯蒂恩说:“数学家们寻求存在于数量、空间、科学、计算机乃至想象之中的模式．”因为传统的“数和形”是“量”,也是“数学模式”,现代数学中的结构、关系、逻辑形式也是数学模式;数学的概念、命题、推理方法等都是数学模式．数学本身就是人类为了有效地认知、控制和利用自然界及其客体而创造的一种抽象的、逻辑可能的形式结构或模式．

郑毓信在他对数学模式论的地位的阐述中把数学与现实的关系整理在图2[2]60中,这便于更清楚地看到数学活动和数学文化的本质．

图2

(2)数学化:数学教育的本体

弗赖登塔尔是数学教育领域少数几个主心骨之一,四年一度的ICME大会就是在他作为国际数学教育委员会主席时倡议召开的;“数学教育哲学”的概念就是由他首先提出的．总体来讲,他的思想主要体现在以下五点:①情境问题是教学的平台;②数学化是数学教学的目标;③学生通过自己努力得到和创造结论是教育内容的一部分;④“互动”是主要的学习方式;⑤学科交织是数学教育内容的呈现方式．这些思想可以用“现实”“数学化”和“再创造”来概括[8]．

数学教学不能停留在直观和操作的水平,必须经由“数学化”发展到“形式化”的阶段,在抽象的层次上思维．数学化的对象一是数学本身,二是客观事物．对数学本身的数学化,就是深化数学知识,或者使数学知识系统化,形成不同层次的公理体系和形式体系;对客观世界的数学化,就是形成数学概念、运算法则、规律和定理,以及为解决实际问题而构造的数学模型．可见,数学化是数学教育的灵魂．模式和数学化的关系也可以从图2中清晰地看到,前者在方框内,后者在箭头上．

值得一提的是,波利亚提出中学数学教育的根本任务是“教会学生思考”,但他的工作过分专注于“教会学生解题的思考”,国内权威教材中不加评析地出现“数学教学的根本任务在于使学生学会解数学题”的论断[9],这应是对中国数学教育走向技术化、功利化、庸俗化的误导．

3.2 数学模式论的认识论及其教育启示

以下观点主要引用曹一鸣等人对数学教育哲学研究的综述[10]59-80．

(1)数学不是纯理性的科学

拟经验性的数学认识论认为,数学既不是经验的也不是纯理性的．数学由其“科学”的部分和“数学世界”的部分所组成．科学的部分是经验和演绎相结合的,人们在“数学世界”中还从事着对形式结构的不断发现、创造与发明活动,这些活动本身不是纯粹的推理,而要借助客观世界原型的反映,因而也具有一定的经验性．

数学的形式主义流派否认数学的客观性,直觉主义否认排中律,逻辑主义认为数学的公理无法检验．历史上,欧氏几何遇到非欧几何的冲击,出现了几何的多样性;康托的集合论也遇到悖论的挑战;希尔伯特的形式系统被哥德尔不完全性定理所打破;传统几何又遇到分形几何的挑战……这些事实都可以验证拉卡托斯提出的“数学可误主义”,从而数学不是纯粹理性的．

(2)数学不是绝对真理

尽管数学理论曾经在很长一个时期被认为是绝对真理,可误主义的事实标志着数学的绝对真理性和确定性已经丧失了．特别是哥德尔定理告诉我们,形式系统尽管很有用,是数学研究的有力工具,但它不是万能的,它不足以帮我们认识全部的数学真理．从历史的经验来看,数学家只有放弃数学真理性的神话,才能走出各次危机．

数学知识没有绝对有效性,它是可误的,要不断地接受更正．数学结论起源于公理,公理本身只是一种约定,数学的真理不是被“证明”而是被“说明”的．的确,任何命题的正确性都可分解为两个方面,前提的可信性(信度)和逻辑的有效性(效度),我们所感受到的数学的真理性其实是数学优于其他任何学科的严谨性和有效性,而问题都出在对“公理”的不同理解上,数学家凭着数学的有效性就敢于跨越逻辑的精神支柱是他们的信仰．徐利治、郑毓信的“模式真理观”将真理分出三个维度:平均抽象度(弱平均水平)、模式真理度(完善度,一种美学标准)、现实真理度(原型反映度,一种实践标准)[11]．这个分析能够很好地解释为什么数学的对象具有很强的“貌似的”真理性．

(3)数学教育内容的高级形态是思想方法和活动经验

数学真理的讨论告诉我们:“数学归根到底是人类的活动,它具备人类社会所创造的文化之一切特点．因此,数学不是绝对的、不可改变的．”数学应从虚幻的天堂重新回到现实的人间．

认识这一点对广大数学教师十分重要．首先,我们引以为傲的理性思维其实地位并没有想象的那么高,数学教育应该高度重视其特有的经验性成份,也就是数学现实和再创造;其次,应该明白自己所教的是不是数学,教数学是在引导学生对数学的模式的探求,而教刷题是在剥夺学生的求知欲和好奇心;再次,教师不应该把教学目标定位于数学基础知识和基本技能,而应该通过“数学可误”的观念引导学生批判和反思.例如,数学命题的制造者不是神,而是人,他们期待我们去实践检验和重新探究．因此,数学课标中所要求的“基本思想方法”和“基本活动经验”是数学教学(高级形态)的核心内容,不能可有可无,这就涉及到下面要讨论的两个侧面:数学文化论和数学活动论．

3.3 数学文化论和数学活动论及其教育含义

(1)数学文化论与数学观念和思想

数学文化论有两种含义:一是作为一种文化形态的数学,二是作为数学领域一部分的数学文化．

在第一种含义下,由于数学对象并非都是物质世界中的真实存在,而是抽象思维的产物,因此,数学就是一种精神文化．齐民友先生的话振聋发聩:“一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的,一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的．”这可以回答“为什么要教数学?”的问题,学习数学是民族所赋予年轻一代的历史重任．

在第二种含义下,数学文化是数学中的遗传性力量的部分．怀特海列出了数学发展的23条规律,从中归纳出与生物进化相似的“遗传力量”和“环境力量”,前者是指数学家的工作、挑战和方向,后者是指生活的需要和其他学科的关联等．郑毓信将数学力量概括在图3中．汪晓勤将数学文化归为“知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐”四个方面,其中知识源流就是数学史和数学思想．数学文化论告诉我们,除了数学的结论和公式,数学真正的知识成分在于它的问题、方法、语言和理论体系,而它的灵魂在于数学共同体流传下来的数学的思想和信念．

图3

M·克莱因是详细阐述这种遗传力量的第一人,他写的巨著《古今数学思想》就是这个意图的存在．然而,学术界对“何为数学思想”这个问题至今“讳莫如深”,连课标上也没有明确定义,只是把“思想”和“方法”绑在一起谈．教师不应感到数学思想“只可意会不可言传”,而这正是教师应该克服的障碍,否则教师如何达到这一基本教学目标呢?郑毓信在文[2]的附录“聚焦‘数学思想’”一节谈得非常透彻,他将“思想”和“方法”分别归为理论和实践两类工作的核心．邵光华[12]将数学思想分为全域性和局域性两类的方法很值得借鉴．全域性思想指导着多门分支学科甚至整个数学学科的发展,它包括:公理化思想、算法化思想、符号化思想、形式化思想、集合论思想以及一些数学辩证思想;局域性数学思想是指某一学科或某一主题蕴涵的数学思想,如数与运算思想、图形与几何思想、方程与函数思想、无穷与极限思想、微分与积分思想、概率与统计思想等．他对数学方法也作了一般性方法和特殊性方法的区分:一般性方法大体有推理证明方法、合情推理方法、数学抽象方法、数学化归方法、数学模型方法、数形结合方法;比较大的特殊方法如分类讨论法、逐次逼近法、反证法、数学归纳法、构造法、反例法等．值得注意的是,张奠宙等[8]95-96用哲学范畴(形式与内容、运动与静止、偶然与必然、现象与本质、原因与结果、精确与近似、局部与整体等)表达对立统一的辩证思想在实践中具有很好的指导意义．

认识了这些思想和方法的地位,就不难在课堂中展开教学了．例如,初中的“锐角三角函数”一课中,我们所见的现实世界中坡的陡峭程度转化为直角三角形的一个角,而此角又转化为一对线段的比值,这就是算法化的思想!

(2)数学活动论与数学体验和创造

数学活动是指学生参加的与数学学习目标有关的各种活动．在数学的拟经验性的基础上,“数学活动论”是顺理成章的．怀特海认为“数学的本质特征,就是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究”,因此,课标中的“基本活动经验”才是数学教育中最重要的一部分,三维目标中的二维(过程与方法、情感态度与价值观)以及“四能”中的“发现问题和提出问题能力”就在于数学活动．对照爱因斯坦提出的培养创造力的三个基本条件(闲暇、好奇心、自由对话),可以看到一些优秀的数学课堂在数学活动上所作的努力——留白、数学实验、发言和讨论．

“数学活动论”的核心观点在于:作为人类的创造性活动,数学应当被看成一个同时包含有“知识成分”和“观念成分”的复合体.应该让学生感悟到:①决定科学家本色的,不是他们拥有的知识的多少,而是他们的工作方式或态度;②我们不应将数学等同于数学活动的(结论和公式等)最终产物,而是应当更加关注相应的创造性活动．

数学教学效果取决于教师的数学观、教学观和数学教育观．“如果教师认为数学毫无用处,并认为只有天才才能在数学中作出创造,那么,无论其是否清楚地意识到这样一点,这些观念都必然地会在他的教学工作和日常言行中得到反映．”[2]103

本文引言中的问题(3)——怎样才算学得好?怎样才算教得好?——已经有了大半个答案了．

有些学者和一线教师认为,课标中“创新意识”形同虚设,理论和实践都无从下手．那么,请从数学活动开始．苏州有位教师在上“中点”的习题课时,给学生提供了18张含中点的几何图形,要学生各选一图编题后讨论,可谓是大胆且有益的尝试.

4 数学和数学教育的价值论

4.1 价值哲学概论

(1)价值意识与价值观

人的意识按其内容可分为事实意识和价值意识．休谟认为,说“是”与“不是”是事实意识,说“该”与“不该”是价值意识．事实意识属于本体论和认识论,价值意识属于价值论,两者的根本区别在于它们是否具有情绪性．价值意识包括两方面的内容:一是价值心理(兴趣、爱好、意向、欲望、愿望、情绪、情感、意志等)、价值观念,二是价值认识、价值知识．这是价值意识的结构．

价值意识的内涵有三种层次:第一层次是价值感知、价值经验或感性价值知识;第二层次是价值观念和理性价值认识,包括价值概念,价值判断或价值评价,价值推理、选择、预测、决策等;第三层次是价值观,它又分为价值目标(信念、信仰和理想等)和价值标准两方面．价值观在每个人心目中形成一个完整的信念系统,其在深层上表现为人生处世哲学,包括人生的目的、意义、使命、态度,而在表层上则表现为对利弊、得失、真假、善恶、美丑、义利、理欲等的权衡和取舍．价值观构成人生观的重要内容,直接指导着人生各方面的实践活动,是一个无形而有力的世界．

价值观的主要问题是价值的评判标准,是一种评估或估价的主观活动．在被迫作出选择时,人们就必须进行评价、判断并作出取舍,得到的结论与事实有关,但也很可能与评价者的兴趣和利益有关．

北师大张志勇教授给出了一段关于价值观的实例:“教育已远离了其自身的功能．这个话题与我们的教育价值取向有极大的关系．学校教育到底是干什么的?现在学生上小学为了上中学,上中学为了考大学,考大学是为了找工作．在这样的一个话语体系里,根本没有培养人的问题,没有为生活做准备、为终身发展做准备的问题．”

(2)价值内涵

价值的外延十分宽泛,不论高低、尊卑均属价值领域,大体可以有以下几种主要分类:物质价值与精神价值、内在价值与外在价值、现有价值与应用价值、潜在价值与现实价值、自我价值与社会价值等等．因此,价值的内涵也非常复杂．一般来说,价值内涵可以表现在三个层次:第一个层次是事实追求的层次;第二个层次是个人的修为、行为和模式的层次;第三个层次是一种境界的层次．

在第一个层次里面我们称之为“真”,或者称之为一种“科学的精神”,也就是说我们在追求事实的过程里面,要有一种什么样的态度、什么样的方法来帮助我们追求事实;而在第二种层次中,表现在行为上,怎么样使自己的行为正确,或者使自己的行为有更高层次的表达,这种对于行为的要求,或者行为方法的要求,我们一般称之为“善”,也就是一种“伦理”;第三种境界就是如何将人生修为的一种能量提到更高,能够更具体地加以表达出来,这样的精神我们称之为“艺术精神”,也称之为“美”的精神．总之,人类心理活动知、情、意的三种基本形式“分管”着真、善、美的价值判断．

从认知到意志再到情感的活动,一种比一种复杂,一种比一种感性．“真善美”已经成为一个很完美的词汇、一种公认的价值标准,因为它完整地表述了正常人的追求中的心理活动和行为,也完美地对应到了人类的重要文化领域、价值形态和哲学学科,这可以从表1中看出．

表1 真善美的哲学地位

(待续)