基于大概念的微专题构建探索——以“不等式与数轴”为例*

潘丽莎 (江苏省徐州市开发区中学 221001)

1 大概念的提出

传统知识本位的教与学的结构表现为从部分到部分:学科被分成若干章节,章节被分为若干知识点,每个知识点都被分别处理.支离破碎的教学使学生失去了将事实和观察联系起来,并利用当前的知识进行解释的机会.为了应对未来的挑战,学生需要整合知识、经验、学科的核心要素,并在正确价值观的引领下实现问题的解决,这种整合和联系的诉求对课程与教学本身提出了新要求.

《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求通过合适的主题整合教学内容[1],即围绕数学的核心概念、主题、问题来组织架构,提炼出大概念,并从多个角度加以表征,让知识在真实复杂的情境中得到运用.因此,选择少量主题作为核心线索进行内容整合,即围绕“大概念”实施教学,为素养本位的课程建设提供了新的视角.使用大概念统整课程内容,能够有效促进学科课程体系建构[2].

从加涅的学习条件理论看,学习的外部条件主要是教师如何组织教学内容(即对教材的处理),采用什么样的教学方式、方法和手段把知识传授给学生,教师是否以及如何给予学生反馈.因此,学生要想习得迁移能力,离不开教师对知识的结构化输出,离不开教师选择什么样的教学事件组织输出.大概念的教学重点是联系而不是事实,它强调更深层次的理解方式,使学生的学习具有主动性,这种促进核心素养发展的教学恰与加涅的学习条件理论相契合.实施大概念教学就是把孤立的知识与事实建立联系,实现逻辑贯通,使学习变低效为高效,变封闭为开放,变“零星的惰性事实”为系统的流通知识,实现迁移以解决现实问题.

2 微专题

当下的教学组织形式依然是以“课”为单位,所以大概念教学最终还是要落实到课时教学[3].教师要以大概念为“核”思考资源连接的渠道,寻求“连接”载体,找到实现知识结构化理解的路径.当把这些连接具体物化,形成一个个专题或项目穿插在单元新课中实施以后,则可以持续进行特定节点的信息连接和维护,而持续实施的过程,就是推动学生内在发展即追求对知识的整体把握、鉴赏力、批判力的过程.

在自然单元学习后,教师可基于对数学教材的整体理解,研究不同时段学习内容的共性和联系,确定若干个大概念,分别构建具有生长空间的微专题.每个微专题承载知识方法的整合或数学思想的深化,使碎片式的知识在循环应用中形成结构,让大概念教学得以落地.

3 大概念统领下的微专题构建原则

3.1 聚焦性

微专题要围绕一个主题或概念进行构建,以保证学生学习的深度和质量.事实上,教师在进行自然单元教学时如果只重视新课教学,将导致学生获得的知识呈散装状态,他们对重要概念、法则、方法的理解仅停留在低层次思维水平,形成不了迁移所需要的结构化能力,这就降低了学生的学习质量;而以大概念统摄的微专题是聚焦关键概念和重点主题进行的深度学习,使得学生思维得到纵深发展,高阶思维获得培育.

3.2 严格性

教师常常重视学生以追求知识的记忆、掌握、理解、应用为标志的知识发展,即外在发展,而忽略学生的内在发展.文[4]认为:“在当下,社会普遍存在知识碎片化的时候,教会学生学会结构性思考,并形成可迁移的思维模型,比直接说出标准答案更有意义,能更好地促进学生的内在发展.”因此构建微专题所选择的主题必须具有挑战性和迁移性,才能实现帮助学生深入思考和反思、形成结构化知识体系的目的.

3.3 连贯性

数学核心素养的培育应贯穿基础教育阶段整个过程,在不同的知识内容的学习中保持培育数学核心素养的连续性.穿插在单元之间的微专题就需要尊重主题内容的序列结构,体现不同学段、不同知识间的内在逻辑,使得“基本概念能够有意义且有序地过渡到高级概念”.构建时需要研究学生的认知水平发展阶段,为学生理解提供循序渐进的空间,支持学生建立新旧知识之间的联结[5],让学生的认知在连贯发展的同时,其数学学科素养也保持高质量连贯发展.

4 大概念统领下的微专题构建策略

如果说确定大概念需要教师从课程标准和核心素养出发,基于经验和反思进行提炼,属于上位思考,那么围绕一个大概念怎样具体分课时设计微专题则是教师的下位行为,是落实大概念教学的具体样态.下面以学习苏科版七年级下册不等式单元后,“在不等关系中培育数学模型观念”为大概念,挖掘概念中的共同属性为资源连接,建构微专题“不等式与数轴”为例,对大概念统领的微专题建构进行探究.

4.1 概念属性关联研究

数轴是一条有方向的直线,它上面的点与实数一一对应,是实数集合的图形表达形式.一般的不等式的解集是实数集合的子集,也可以用数轴的一部分表示.不等式的解集可以借助数轴刻画,用向左、向右的折线所覆盖的区域表示.反之,由覆盖的区域也可以读出不等式的解集.不等式与数轴完美体现数学的数形结合思想.

深入研究两个概念的内在属性,发现不等式是表示两个数或式之间不等关系的模型,而数轴概念里的正方向的确定则蕴含着不等关系(右边的数总比左边的大).从图形角度看,数轴上点的位置代表两个数的大小关系;从代数角度看,不等式的建立表达两个数量间的联系.学习不等式单元后如果再回归到数轴,将数轴作为不等关系的模型进行研究,那么数轴上表示的数就可以发展到一般的代数式,从而提高学生对两者的认知站位.这种从形到数再到形的不等关系的逻辑发展轨迹,与学生在不同年龄阶段的认知规律相吻合.通过聚焦共同属性建构专题,可以提高学生对不等关系模型的深度理解;引导学生经历这种关联探究的过程,既能提高学生的数学思维能力,又能培养其用数学的语言表达事物关系的学科素养.

4.2 教学过程设计

·环节1 剖析属性,形成模型

问题1如图1,观察数轴,点A表示的数为a,点B表示的数为b．

图1

(1)标出点M:2,点N:-1;(2)写出你观察到的数学信息(比如:线段MN长为3,a<-1,1b+1).

总结 重新认识数轴:确定点的相对位置—比较两数大小—不等关系模型(从形到数).

问题2(1)在数轴上表示不等式x<3的解集;(2)不等式解集的表示:所有比3小的数与这条射线上的点一一对应,因此用这条射线形象地表示小于3的数集,体现从数到形．

·环节2 理解属性,建模应用

问题3如图2,在数轴上,点A,B分别表示-2x+3,1.(1)求x的取值范围;(2)在点A左侧标记数-3,写出你获得的信息;(3)数轴上表示数-x+2的点应落在( )．

图2

A.点A的左边B.线段AB上C.点B的右边

总结 ①提炼常用解法:作差法、分类讨论;

②特殊解法:特殊值代入法、特殊位置法;

③数学思想运用:从形想数、用数释形,由数想形、以形示数.

·环节3 联结属性,发展模型

问题4绝对值与不等式.

已知数轴上点A表示1,点B表示2x,若A,B之间的距离小于5,求x的取值范围．

总结 以形示数,用数轴建构新型不等式模型,借助不等式进一步理解绝对值的定义．

4.3 微专题构建策略

(1)从新入旧,提供多维视角

根据加涅的学习条件理论,在教学设计中要“确定习得的能力、选择适宜的教学事件、进行累积学习的任务分析”[6]30.其中“习得的能力”即指学生原有的知识、能力及其认知结构．在围绕大概念进行微专题建构时,必须尊重认知规律,尊重学生的前拥概念,将当下新知与旧知多维度关联,每个概念都要涵盖充分的实例(变式),分别用以说明该概念在不同方面的含义,从而形成对概念的多角度理解,如此才能体现大概念教学的作用.

上面的案例中,教师运用属性关联的共性有意识地引导学生从不等关系模型视角重新看待数轴,使学生的认识得到了升华:一方面不等关系模型可以用形和数两种数学语言进行描述,其中数的方式是学生原有知识,形的方式是新的认知;另一方面通过这种从新入旧的过程,学生对数轴的认识从原来只表示实数的大小及关系深入到表示式的关系,从而对数轴的工具功能赋予了更加一般的意义,使旧知焕发出新的活力.

通过这节微专题教学,学生经历了从新知回归旧知的过程,深度学习数轴与不等模型的关系,以创设模型的多维表征来扩充学习经验.因此,通过概念属性关联建立微专题,可以让学生在从新入旧的过程中深刻理解概念属性,实现把新的知识方法嵌入到原有的认知结构、丰富扩展知识结构的目的.

(2)由简入繁,预见建模差异

围绕大概念设计的微专题具有“微而专”的特性且需要一定的综合性.构建的主题要能以小见大,通过由简入繁的变式设计引导学生把握知识的本质.由于迁移的必要条件是同时具备共同性和差异性,因此在构建过程中教师需要预见两种差异:一是在探究前后知识共性的基础上凸显差异;二是不同学生构建知识的意义时的差异.

比如案例中观察数轴活动设计,意在重新认识数轴,对其功能进行剖析.通过对数轴上的线段长度的代数表示和大小关系的建立,形成对数轴进阶式的理解,感受与初学数轴时的认知差异,建立数学符号意识和模型观念.环节2和环节3运用模型环节中提出的新问题,意在引发学生的模型应用热情,迅速建立不等式(组)解决问题,凸显数轴中建立不等关系模型在前后学习中的差异.

建构主义认为,学习过程同时包含两个方面的建构:学习既是对新信息的意义的建构,也是对原有知识经验的改造和重组[6]33.即人对信息的理解是通过运用已有经验,超越所提供的信息而建构起来,从记忆系统中提取的信息本身,也要按具体情况进行具体建构,而不是单纯提取.因此当学习者以自己的方式和经验建构对数轴的理解时,他们所看到的事物的意义是不同的,其理解也就不存在唯一的标准.教师在设计问题时需要根据不同学生的理解差异去加以引导并发展.比如环节2的最后通过组织独立思考和交流互学活动引发学生多角度思考,通过一题多法渗透分类、转化等数学思想,让不同学生的不同理解得到肯定,促进数学能力发展.

(3)以点带类,建构多元主题

建构主义学习理论研究者斯皮罗等人认为,对信息意义的建构可以从不同的角度入手,以获得不同方面的理解.因此大概念统摄下的微专题构建要围绕单元中涉及的具体知识建立,每个微专题代表一类方法或思想,几个微专题涵盖整个单元或前后单元的核心知识与方法.对同一内容的学习要在不同单元多次进行,每次情境都经过改组,以不同的目的分别着眼于问题的不同侧面.

比如在不等式单元以大概念“在不等关系中培育数学模型观念”为核心,可以建构不等式与数轴、不等式中的参数、实际问题中的相等或不等关系应用等微专题;而在学习一次函数、反比例函数、二次函数后都可以“函数中的不等关系”为课题建构系列微专题,将不等关系在函数领域中进一步发展.这种在各个不重合的学习情境中发生的以点带类式微专题教学,不是为巩固知识技能而做的简单反复,而是为使学习者对概念获得新的理解.

教师可以通过注重教学过程中各关键环节、元素之间的逻辑关联及整体设计等路径构建多元主题,比如从内在属性关联、数学思想关联、方法模型关联等不同侧面进行微专题资源开发.通过微专题在不同学段和单元反复出现,学生在知识上获得新的理解,在结构上获得不同维度的联结,在螺旋式上升的认知能力发展中获得素养提升.