用一种代换方法证明三元不等式

孙 红 (江苏省灌云高级中学 222200)

1 性质

已知x,y,z>0,且x+y+z+2=xyz,则

性质1xyz≥8．

性质2x+y+z≥6．

性质3xy+yz+zx≥2(x+y+z)．

(2)由条件x+y+z+2=xyz及性质1,得x+y+z=xyz-2≥6．

2 应用

为了代换方法的统一,对以下部分例题中的符号进行了改写．

2.1 约束条件x+y+z+2=xyz的不等式证明

例2(《数学通讯》2016年第3期问题250)设x≥1,y≥1,z≥1,且x+y+z+2=xyz,求证:3(x+y+z)≥xy+yz+zx+6．

例3(2019年奥地利数学奥林匹克国家级决赛)设正实数x,y,z满足x+y+z+2=xyz,证明:(x+1)(y+1)(z+1)≥27．

评注前3个例题利用条件x+y+z+2=xyz的等价形式简化了证明过程,后2个例题通过代换方法转化为比较容易证明的不等式．

2.2 无约束条件的不等式证明

(2)作代换a=cotAcotB,b=cotBcotC,c=cotCcotA(A,B,C为锐角三角形ABC的内角),并注意到三角恒等式cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1,则由例8可得

3 代换方法的延伸

例9(2015年希腊数学奥林匹克)已知a,b,c>0,且ab+bc+ca+2abc=1,求证:4a+b+c≥2．

例13(《中等数学》2019年第3期问题613)已知正数a,b,c满足a2+b2+c2+abc=4,求证:a2b2+b2c2+c2a2+abc≤4．