一次函数与反比例函数综合题的类型

胡运兴

一、求k的值与直线解析式

例1 （2021年江西）如图1，正比例函数y＝x与反比例函数y＝[kx（x>0）]的图象交于点A（1，a），在三角形ABC中，∠ACB＝900，CA＝CB，点C坐标为（－2，0）。

（1）求k的值；

（2）求AB所在直线的解析式。

解析：（1）∵点A（1，a） 在正比例函数y＝x的图象上，∴a＝1，∴A（1，1），∴k＝1×1＝1.

（2）过点A作AD⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠EBC + ∠BCE ＝90°， ∠DAC + ∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACD + ∠BCE ＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE. ∵CA＝CB， ∴△ACD≌△CBE. ∴AD＝CE，BE＝CD. ∵C（-2，0），A（1，1）， ∴OE＝3，BE＝3. ∴B（－3，3）.设直线AB的解析式为y＝kx + b，有  [1=k+b3=-3k+b]  ，解方程组得：[k=-12b=32]  .

∴直线AB的解析式为y＝[-12x+32].

方法指导：（1）求反比例函数解析式中的k，要先求到其图象上一个点的坐标或一组自变量与相应的函数值。

（2）求直线的解析式，得求出其图象上两个点的坐标，或知道两组自变量与相应的函数值。而要求出其图象上两个点的坐标，往往要借助已知点坐标和三角形全等，求出要求坐标的点到两轴的距离。

二、求点的坐标、反比例系数k的值、直线的解析式

例2 （2022年江西）如图2，点A（m，4） 在

反比例函数y＝[kx]（x＞0）的图象上，点B在y轴

上，OB＝2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴的正半轴上，且OD＝1.

（1）点B的坐标为_______，点D的坐标为_______，点C的坐标为_______，（用含m的式子表示）；

（2）求k的值和直线AC的解析式。

解析：（1）由OB＝2，OD＝1，知点B（0，2），D（1，0）。由平移知，对应点坐标变化是横坐标加1，纵坐标减2，∵点A（m，4），∴C（m  + 1，2），将点A（m，4），C（m  + 1，2）分别代入y＝[kx]，得2m  + 2＝4 m ，得m ＝1，∴B（0，2），D（1，0），C（2，2）。

（2）∵点A（1，4）在反比例函数y＝[kx]（x＞0）的图象上，∴k＝1×4＝4；设直线AC的解析式为y＝kx + b，

由[a+b=42a+b=2]   解得[a=-2b=6]

∴直线AC的解析式为y＝-2x + 6.

方法指导：（1）有时通过平移规律和函数解析式可帮助求点的坐标；

（2）利用图象上一个已知点可求反比例函数的比例系数k，利用两个已知点坐标和待定系数法可求直线解析式。

三、求反比例函数与直线的解析式及图形面积

例3 （2023年江西）如图3，已知直线y＝x + b与反比例函数y＝[kx]（x＞0）的图象交于点A（2，3），与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y＝[kx]（x＞0）的图象于点C.

（1）求直线AB和反比例函数图象的解析式；

（2）求△ABC的面积。

解析：（1）∵直线AB：y＝x +  b与反比例函数y＝ [kx]（x＞0）的图象交于点A（2，3），∴b＝1，k＝6，∴直线AB的解析式为y＝x + 1；反比例函数的解析式为y＝[6x].

（2）作AH垂直BC于H.由题可求B（0，1），∵点C在反比例函数y＝[6x]的图象上，且BC∥x轴，且点C纵坐标为1，把y＝1代入y＝[6x]，得x＝6，∴点C（1，6）.∴BC＝6，∵A（2，3），∴AH＝2，∴S△ABC＝[12]BC × AH＝[12] × 6 × 2＝6

方法指导：（1）∵直线AB：y＝x + b与反比例函数y＝ [kx]（x＞0）中，只需确定一个常数，∴只需将直线AB：y＝x +  b与反比例函数y＝ [kx]（x＞0）图象的交点A（2，3）代入各自解析式便可求出b＝1，k＝6，进而求出直线AB的解析式为y＝x + 1；反比例函数的解析式为y＝[6x].

（2）考虑到BC∥x轴，∴为了便于求△ABC的面积，应该以BC为底，AH为高，要求BC的长度，可用点C的横坐标减点B的横坐标求出，要求AH的长度，可用点A的纵坐标减点H的纵坐标。