变化的“鱼”

吉宏湘

学习了平面直角坐标系后，我们一起来探究一下平面直角坐标系内图形的变化与坐标的关系。

例如，将下列各点A（0，0）、B（5，4）、C（3，0）、D（5，1）、E（5，-1）、F（4，-2）在平面直角坐标系中描出，然后按照A→B→C→D→E→C→F→A的顺序将各点用线段依次连接起来，如图1。你们看，图1像不像一条可爱的小鱼呢？

探究1 图形的平移

如果把6个点的横坐标分别加6，纵坐标保持不变，再按照原来的顺序将所得的各点用线段依次连接起来，那么所得的小鱼与原来的小鱼在大小、形状、位置上有什么变化？如图2，我们发现，小鱼的大小、形状不变，但位置发生了变化——向右移动了6个单位长度。

因此，要使这条小鱼上下平移，我们可适当增加或减少这些点的纵坐标，横坐标保持不变。比如，如果把这些点的横坐标都加1，纵坐标都减2，再按照原来的顺序将各点用线段依次连接起来，所得的小鱼与原来的小鱼相比，大小、形状不变，位置发生变化——先向右平移1个单位，再向下平移2个单位。

我们发现，当图形中各点纵坐标保持不变，横坐标分别加上或减去a（a>0），则图形向右或向左平移a个单位；当横坐標保持不变，纵坐标分别加上或减去a（a>0），则图形向上或向下平移a个单位。

探究2 图形的伸缩

我们将图1中各点进行如下变化：纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的2倍，再按照原来的顺序将各点用线段依次连接起来（如图3），所得的小鱼与原来的小鱼相比，大小和形状都发生了变化。我们发现，“小鱼”变长了。

因此，我们要想将小鱼上下伸缩，则可改变各点纵坐标的大小，横坐标不变；左右伸缩，可改变各点横坐标的大小，纵坐标不变。比如，横、纵坐标分别变为原来的2倍（如图4）。

我们发现，当图形中各点纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的a（a≥1）倍（或[1/a]），则图形横向伸长（或压缩）为原来的a倍（或[1/a]）；当横坐标保持不变，纵坐标分别变成原来的a倍（或[1/a]），则图形纵向伸长（或压缩）为原来的a倍（或[1/a]）。

探究3 图形的对称

若图1中各点纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1，再将所得的各点用线段依次连接起来（如图5），我们可以发现，所得的小鱼与原来的小鱼关于y轴对称（即沿着y轴翻折能互相重合）。

若将图1中各点横坐标保持不变，纵坐标分别乘-1，再将所得的各点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？请同学们自己画出图形，观察图案。

我们发现，当图形中各点横坐标保持不变，纵坐标分别乘-1，所得的图案与原图案关于x轴对称；纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1，所得的图案与原图案关于y轴对称。

（作者单位：江苏省海安市城南实验中学）