素养立意·整体渗透：初中生数学能力培育路径与实践

作者简介：杨淑萍（1987～），女，汉族，浙江诸暨人，余杭区闲林中学，研究方向：初中数学教育教学。

摘  要：在初中数学教学中，素养立意与整体渗透不仅能够促进学生的全面发展，提高教学质量，还能够激发学生的学习兴趣和动力，培养他们的自主学习能力。因此，在教学设计与实践中，初中数学教师应积极融入素养立意与整体渗透的教学理念，从而为学生的成长和发展创造更好的条件。文章基于初二数学反比例函数的图像与性质教学内容，围绕教学目标、教学内容、教学方法以及教学评价等维度对素养立意与整体渗透的具体实施进行了探究。

关键词：初中数学；素养立意；整体渗透；反比例函数；函数图像性质

中图分类号：G633.6    文獻标识码：A    文章编号：1673-8918（2024）17-0077-04

数学能力的培养，能增强学生的自信心，调动学习积极性、学习动力，有助于提高学生团队合作能力及沟通能力。“素养立意”旨在通过培养学生的核心素养和综合能力，帮助他们更好地适应未来社会的需求，实现个人价值和社会价值的统一。“整体渗透”强调的是在教学过程中，将各种核心素养和综合能力培养的要求融入各个学科、各个教学环节中去，使之形成一个有机的整体。文章以初二数学反比例函数图像性质教学为例，就如何实现“素养立意”和“整体渗透”加以剖析，旨在交流与共勉。

一、 从目标设定，践行素养立意与整体渗透

基于反比例函数教学内容的特点，在知识目标维度上可以设定为“理解和掌握反比例函数的性质”，在能力目标维度上可以设定为“培养学生观察、分析、归纳、应用的能力，以及数学建模和解决问题的能力”，在素养目标维度上可以设定为“渗透数学思维训练，提高学生的数学素养和自主学习能力”。进一步设定如下：一是了解反比例函数图像的意义，会画反比例函数的图像。其设计理由是解析法、列表法和图像法是函数的三种重要表示方法，函数图像可以直观生动地表示函数的性质，图像本身也可以解决许多实际问题。二是通过分析反比例函数的解析式和图像，掌握反比例函数的性质。这一教学目标达成标志是当反比例函数的比例系数k取具体的数时，学生能知道函数在平面直角坐标系中的位置、变化趋势和对称性，并能画出图像。三是探索反比例函数图像与性质时，培养推理、直观素养，以及类比、数形结合、分类和特殊到一般的思维能力。这一目标的达成标志是对反比例函数的比例系数k取具体的值（可以不是具体的数，但能判断正负），学生能想象函数的大致图像，画出草图，分析其对称性、增减性等性质，并能演绎推理其他类似函数的图像和性质，概括提炼出学习一般的函数图像与性质的方法或路径。

二、 从教法选定，践行素养立意与整体渗透

通过创新教学方法，如回顾基础知识、创设情境、组织小组探究和引导实例归纳，可以有效提升学生数学核心素养，帮助他们全面理解反比例函数的图像与性质，克服传统描点法的局限，为学生全面发展奠定坚实基础。

（一）知识回顾，问题驱动

笔者通过引导学生理解反比例函数定义及其自变量取值范围，与一次函数进行类比，提出研究反比例函数图像与性质的重要性，达成教学目标。通过追问，启发学生从特殊到一般，先探究正比例函数的图像与性质，为研究反比例函数奠定基础，教学方法上可以采用问题驱动法。

例如，问题1：请同学们回顾上节课学习的反比例函数，它的概念是什么？生1：形如y=kx叫作反比例函数。追问：这里的k能取任意实数吗？生2：k≠0，x≠0，y≠0。通过上述学生的回答，可以判断出学生都能够较为准确地回答出反比例函数的概念。针对这一结果，笔者提出问题2：类比一次函数的学习经验，你认为接下来我们要研究反比例函数的哪些知识？学生猜到了反比例函数的图像与性质。笔者再提出问题3：图像法也是表示函数的重要方法，我们可以根据函数的图像解决很多问题，那你能回忆起我们研究一次函数图像和性质时的步骤或方法吗？笔者通过引导，学生共同回忆：一次函数y=kx+b（x≠0）的图像与性质研究。先是当b=0时的正比例函数（如，y=2x）的图像与性质，用描点法画出图像并观察其性质，然后再研究当b≠0时的一次函数（如y=2x+1）的图像与性质，再从k的正、负性分类取值进行研究。

在上述教学环节中，基于学生素养培育的目标，将反比例函数图像与性质的学习与一次函数图像与性质的学习经验构成一个整体，从而使已有知识经验有效迁移。

（二）思行并进，探究新知

结合反比例函数图像和性质的教学内容，引导学生在用描点法动笔画图前，先观察解析式，发展数据分析能力，从数到形进行合情推理，预测反比例函数的图像特征。践行中，笔者首先肯定学生在一次函数图像与性质内容上的掌握情况，旨在促使学生建立信心。接着，笔者提出：我们今天先不动手，先来动脑，探究一个简单的反比例函数，请你取一个特殊的k。生1：k=1。师：k=1当然是可以的，但是我们用描点法取点时你觉得方便吗？有没有让画图更简便的特殊的k呢？生2：k=6。师：很好，当k=6时，我们就可以取多个整数点了，下面就让我们一起来观察函数y=6x解析式的特征吧。此时，学生的探究欲望得到了有效激发，为笔者的后续教学做好了铺垫。

接着，笔者提出问题：你能从图像的形状、位置和对称性等方面来大致想象y=6x的图像吗？生3：y=6x图像肯定不是一条直线，可能是曲线。生4：反比例函数y=kx（k≠0），x≠0，y≠0，所以它的图像肯定不与坐标轴相交，也不会经过原点。生5：我发现y=6x中x，y的符号一定是相同的，要么是（+，+），要么是（-，-），所以它的图像应该在第一象限和第三象限。通过上述学生的回答，可以判断出他们已经具备了一定的判断能力。

笔者再次提出问题：根据自变量x的取值和对应的函数值，你能预测x，y的变化趋势吗？函数有最值吗？生6：当x越来越大时，y越来越小；当x越来越小时，y就越来越大。因此，图像会无限接近x轴或y轴，但是取不到最值。师：很好！根据我们刚才的分析，相信每个同学脑海中已经初步有了反比例函数y=6x的图像了，接下来让我们用描点法来验证一下吧！看看跟你脑海中的图像是否一致。基于前面的铺垫，学生在列表中没有出现取x=0或只取正数或负数的错误（表1）。

表1  反比例函数y=6x列表

x…-6-5-4-3-2-1123456…

y…-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21…

学生完成列表后，笔者再次提出问题：根据表中的数对，能验证你对问题4中提出的猜想吗？根据这些数对，你还能提出哪些猜想？生1：反比例函数图像上的点关于原点对称。笔者再次追问：你的猜想非常好！还有其他猜想吗？如果没有，接下来就请同学们开始画图，来揭开反比例函数图像的神秘面纱吧！学生根据所列表描点、连线。学生完成列表后，笔者引导学生再次放慢脚步，先根据表中的数对来初步验证之前的猜想，然后再展开新的猜想。这一做法旨在引导学生探索反比例函数图像的对称性。在笔者的引导下，学生通过观察图像不难发现反比例函数y=6x的图像是在第一、三象限的两支曲线，这两支曲线关于原点对称，甚至观察能力较强的学生还能发现图像关于直线y=x和直线y=-x对称。

基于上述任务及目标的达成，笔者再次抛出问题。问题1：你能用上述思路画出y=2x与y=12x的图像吗，从而你能归纳出所有反比例函数的图像特征吗？（学生画图后不难归纳：当k>0时，反比例函数图像是在第一、三象限的两支曲线，且关于原点对称，也关于直线y=x和直线y=-x对称。但是当k<0时，图像显然不在第一、三象限，而是在第二、四象限。）问题2：我们已经研究了当k>0时反比例函数的图像，接下来你能独立研究当k<0时的图像吗，如何开展研究？

在上述教学环节中，学生通过积极动脑，已经勾勒出大致图像，再通过动手画图验证，从而归纳出当k>0时反比例函数的图像特征。这样的学习路径巧妙地串联起函数的解析式和图像，学生能更加深刻体会数形结合思想，培养了抽象能力和空间观念。

（三）例题解析，应用新知

上述教学完成后，笔者利用一则例题，引导学生进行知识的运用。即：已知反比例函数y=kx（k≠0）的图像的一支如图，它经过点B（-4，2）。问题1：判断k是正数还是负数。问题2：求这个反比例函数的解析式。问题3：补画这个反比例函数图像的另一支。

图1

问题1旨在促使学生及时巩固反比例函数图像所在的象限由k的符号决定。问题2旨在引导学生用待定系数法来求函数解析式，感悟坐标满足函数表达式的所有点都在图像上，反之，图像上的所有点也都满足函数表达式。问题3旨在考查反比例函数的对称性。同时，为了更好地让学生对所学新知识能够加以运用，笔者又提供了两道课堂练习题目。练习题目1：函数y=m+2x的图像在二、四象限，则m的取值范围是    。练习题目2：已知反比例函数y=kx（k≠0）的图像上一点的坐标为（-2，2），求这个反比例函数的解析式。

（四）小结归纳，构建提升

通过小结旨在引导学生回顾和归纳所学的知识点与学习路径，从而提升学生的类比、数形结合、从特殊到一般等数学思想、方法及几何直观、抽象能力和数据观念等核心素养。课上，笔者提问：这节课大家学了哪些知识？生1：我们学习了反比例函数的图像与性质。师：你能归纳一下我们是怎样来学习反比例函数的图像与性质的吗？从中你感悟到了哪些数学思想方法？生2：我们类比了一次函数的图像与性质的研究路径，先研究特殊的反比例函数y=6x，根据解析式猜想其图像，再用描点法画出图像验证，然后用同样的方法画出y=2x与y=12x的图像，从而归纳出当k>0时反比例函数的图像与性质，体现从特殊到一般的思想方法。然后再用类比思想研究当k<0时反比例函数的图像与性质，这里体现了分类讨论思想。师：通过这堂课的学习，相信同学们学习到了研究函数图像与性质的一般研究路径与方法，以后学习其他函数也不是什么难事了。通过上述的小结，学生们实现了对知识的回顾与提升。

三、 从评价确定，践行素养立意与整体渗透

基于素养立意和整体渗透的教育理念，笔者在教学评价上将过程评价与结果评价相结合，主要从知识的掌握、能力的表现及学习的态度三个方面展开评价。

（一）理解程度的评价

理解程度的评价是对学生对反比例函数性质理解程度的评估，涉及概念的清晰度、与实际应用联系的理解、对性质推理的掌握、对图形和图像的理解以及对问题的分析与解决能力等方面。概念的清晰度上，评价学生是否能够准确、清晰地表述反比例函数的基本概念，如定义、性质等。对概念的准确理解是掌握反比例函数性质的基础。与实际应用联系的理解上，考查学生是否能够将反比例函数性质与实际应用场景联系起来，理解其在实际问题中的应用价值。能够将理论知识与实际相结合，说明学生对反比例函数性质有更深层次的理解。对性质推理的掌握上，评价学生是否能够根据已知条件，运用逻辑推理得出新的反比例函数性质或解决相关问题。对性质推理的掌握程度反映了学生的逻辑思维和理解深度。对图形和图像的理解上，评价学生是否能够准确解读和理解反比例函数的图形和图像，包括函数的增减性、对称性等。对图形和图像的理解有助于学生更直观地把握反比例函数的性质。对问题的分析与解决能力上，评价学生在面对与反比例函数性质相关的问题时，是否能够准确分析问题的本质，并运用所学知识进行解决。这种能力体现了学生对反比例函数性质的深入理解和综合运用能力。

（二）应用能力的评价

评价学生反比例函数性质的应用能力，需要综合考虑他们的问题解决能力、思维灵活性、解题步骤的完整性以及错误识别与纠正能力。问题解决能力评价上，主要观察学生是否能够准确识别出需要使用反比例函数性质解决的问题，能否合理运用这些性质进行问题的分析与解答。学生能够运用反比例函数的性质解决实际问题的能力，是评价其应用能力的重要标准。思维的灵活性上，考查学生在解决问题时，是否能够灵活运用反比例函数的性质，进行问题的转化与求解。具备思维灵活性的学生，往往能夠在面临新问题时，迅速找到解决问题的策略。解题步骤完整性上，观察学生在解题过程中，是否能够清晰、完整地展示出运用反比例函数性质的步骤。一个完整、逻辑清晰的解题过程，能够体现出学生对反比例函数性质的深入理解和熟练应用。错误识别与纠正上，观察当学生在应用反比例函数性质时出错，是否能够及时发现并纠正错误，也是评价其应用能力的一个方面。具备错误识别与纠正能力的学生，往往能够更快地提升自己的解题水平。

（三）解题技巧的评价

解题技巧的评价主要涉及学生在解题过程中所展示的方法、策略和效率，评价上主要涉及方法多样性、策略合理性、运算准确性和问题分析与转化能力等多个方面。方法多样性上，评价学生是否能够针对不同类型的问题，运用多种解题方法进行求解。拥有多样解题方法的学生，展现了对反比例函数性质的深入理解和应用灵活度。策略合理性上，观察学生在解题时，是否能够选择适当的策略，简化问题，提高解题效率。合理的解题策略能够减少不必要的计算和推理，更快地找到问题的解决方案。运算准确性上，评价学生在解题过程中的运算能力，包括计算准确性和处理复杂表达式的能力。高效准确的运算是解题技巧的重要组成部分，也体现了学生的数学基础扎实程度。问题分析与转化能力上，考查学生是否具备良好的问题分析和转化能力，能否将复杂问题拆解为简单的子问题，并运用反比例函数性质进行求解。这种能力有助于学生更好地解决实际问题，提高解题效率。

（四）学习态度的评价

学习态度的评价是对学生在学习过程中表现出来的学习态度、习惯、努力程度等方面的綜合评估。学习积极性上，评价学生是否对学习反比例函数性质保持积极的态度，是否愿意主动投入时间和精力进行学习。积极的学习态度有助于学生更好地理解和掌握反比例函数性质。课堂参与度上，观察学生在课堂上的表现，是否积极参与讨论、提问和解答问题。良好的课堂参与度表明学生对学习内容的关注度高，有助于提升学习效果。面对困难的态度上，考查学生在遇到学习困难时，是否能够保持冷静，积极寻求解决方法，而不是轻易放弃。面对困难时积极应对，展现了学生的学习毅力和解决问题的决心。学习方法与习惯上，评价学生在学习过程中是否能够形成良好的学习方法和习惯，如定期复习、总结归纳、主动请教他人等。良好的学习方法和习惯有助于提高学习效率，巩固学习成果。

四、 结论

综上所述，有效落实素养立意与整体渗透，能全面提高教学质量，促进学生全面发展，并激发他们的学习兴趣与自主学习能力。通过回顾一次函数并类比引出反比例函数，结合数据分析、推理想象与实践验证，数形结合思想得以深化。这种“猜想——推理——实践验证”的教学方式，紧密联系了函数的三种表达方式，使学生能整体感受函数的魅力。

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