反弹琵琶为哪般

郝高峰 白翠霞 郭荣

［摘  要］ 除法竖式从高位除起已成为一种标准化、程式化的操作，从高位除起是求简的人性使然，并非数学内在的逻辑要求。在教学中进行“从低位除起”的尝试和讨论，一定程度上有利于学生打破思维定式，理解除法竖式以及除法运算的本质，为培养学生的批判质疑精神创造契机。

［关键词］ 除法竖式；双向可行；低位除起；教学价值

一、引言

批判质疑能力作为学生“核心素养”的重要表现之一，历来受到广大的教师重视。在实际教学时，因为问题的答案几近唯一、解决思路趋于固化以及应试教育功利性等原因，致使小学数学课堂教学常常表现出标准化、程式化的倾向。比如，在教学“笔算除法”时教师强调从高位除起，很少有学生思考为何如此。到四年级教学三位数除以两位数笔算时，学生对此已达成“共识”，教师不提学生不问，一切都显得理所当然。

随着人工智能时代的到来，教育教学理应更加凸显人的主体性和创造性，这一切应落实到课堂教学中。面对同一学习素材，教师要让学生进行多元解读、多角度思考，在对比中适时质疑，于反思中深度建构。即便面对看起来“理所当然”的事，教师也要引导学生时刻保持“三省（xǐng）”的态度。因此在学习了三位数除以两位数笔算后，笔者便“推波助澜”，让學生尝试从低位除起，开启了一次“反弹琵琶”的尝试。

二、可行性分析

1. 原理：竖式理应“双向可行”

知识之间存在“相对意义的联系”［１］，即概念之间往往存在“是”与“非”相互依存的现象。比如“左”和“右”相伴，“增加”和“减少”共存，“变化”与“不变”相生等。对于加法、减法和乘法竖式而言，一般规定从低位算起，也应该可以从高位算起；对于除法竖式，通常是从高位算起，也应该可以从低位算起，这就是“双向可行”。比如加、减法，其计算的“原理性知识”是相同计数单位的数直接相加减，从低位算起还是从高位算起只是人为约定的“规则性知识”。乘法的本质是加法，除法的本质是减法，因此，乘法、除法也必然“双向可行”。

纵观竖式的演变史，人们可以找到加法、减法和乘法“双向可行”的证据（图1）。因为这些竖式倘若从高位算起，就可能面临二次处理“进（退）位数”的麻烦，从而增加计算负担，从低位算起则能有效规避这一问题。除法因其“余数”可能需要多次参与分配的实际，其竖式较为特殊，经过历史演变成为现在通用的“长除”竖式（本文不讨论其演变过程，仅以现行竖式规范为例），它也理应双向可行（图2）。从高位算起，可以让每次减去的数尽量多，让减的次数和余下的数尽量少，计算就会更加简便。因此，从高位算起是人性使然，并非数学内在的逻辑要求［２］。

2. 学情：教材为何“高位除起”

源于“求简”的人性，加法、减法和乘法竖式最终规范为从低位算起，除法竖式则从高位除起。在教学和生活中，不难发现有许多人不顾“规则”从高位开始计算加、减法，究其原因这符合人们从左往右的书写和观察习惯，这一习惯所带来的便利此时明显大于进退位所带来的不便。从这个角度讲，这是一种人性“求简”的习惯，除法竖式从高位除起的“规则”顺应了这一习惯。

现行教材在面对竖式教学时，都强调其规范性和程式化操作。以北师大版小学数学教材为例，整数除法的竖式教学安排在三个阶段完成：

（1）二年级下册基于“表内除法”初步规范竖式写法，“表内除法”的竖式毫无优越性可言，主要是为后续学习做好铺垫，探讨从左往右算或从右往左算的价值不大。

（2）三年级下册进一步学习“除数是一位数的除法（商是两位数或三位数）”竖式，此时计算本身难度不大，学生对竖式充满好奇，最适合对除法规则及数学内在逻辑进行探讨。教材严守规则，旨在强化规则。

（3）四年级上册学习“除数是两位数的除法”，这一阶段运算量增大，竖式的优越性尽显。因为前面两个阶段对竖式规范化的渗透，所以教学难点不是竖式本身，而是在“试商”和“调商”上。学生对规则本身的探究欲望已被绝对性压制，陷入机械执行阶段。自此，除法竖式从高位算起的规则在学生心中扎下了根。与此同时，学生对其规则的探究欲望也被深埋——但从未消失。

3. 价值：“低位除起”带来什么

竖式作为一种程式化、标准化的计算工具，在教学中极易落入“简单模仿”的窠臼。在教师眼中，竖式不应该被简单地当成一种工具，它应该是一项有独特价值的教育资源。如果做一次从“低位除起”的尝试，又会带来什么呢？

（1）创造了一次唤醒学生批判意识的契机

学生批判意识的培养如何在小学课堂上落地一直都是一个重要课题：一方面小学生正处于行为习惯的关键培养期，需要“规范”；另一方面他们又处在批判意识养成的萌芽期，需要“适度的空间”。在实际教学中，教师往往“顾此失彼”。比如除法竖式的教学，从学生第一次接触开始，为了避免其走弯路，教师一直强调规范格式，强调从“高位除起”的规则。如果“为什么除法一定要从高位算起”“除法可以从低位算起吗”的种子被激活，学生就有可能经历一次从除法竖式“只能从高位算起”到除法竖式理应“双向可行”，再到还是“从高位算起简单”的批判性学习过程。这样可以让学生积累批判思维的经验，在遇到问题时不仅要思考“是什么”“为什么”，还要思考“一定是这样吗”“还可以怎么样”等，时刻葆有质疑的热情。

（2）开拓了一片探求数学内在逻辑的空间

数学学习不只是为了掌握方法，更重要的是探寻其背后的道理。除法竖式虽然表现为一种程式化操作，但是其背后所蕴含的数学的内在逻辑具有更大的育人价值。当学生尝试从“低位除起”时，一定程度上打破了原有的程式，倒逼学生反观除法竖式以及除法的本质：即不断从被除数中减去若干个除数，以减轻脑力计算的负担，把其中的关键步骤记录下来。至于是从高位算起还是从低位算起，需要几次“除尽”，这不是数学内在的逻辑要求。在与从“高位除起”的对比中，学生进一步体会到人们选择“高位除起”的必然性——“求简”的人性使然，甚至可以体会竖式“分层”的优越性，即“试商”“调商”的道理所在。为了让每次减去的数尽可能多，剩下的就尽可能少，从而使减的次数尽可能少。可以说，“低位除起”的尝试一石激起千层浪，开拓出一片学生适度探索数学内在逻辑关系的空间。

（3）重构了一个提升学生学习兴趣的场域

除法竖式“低位除起”的尝试让学生感受思维带来的快乐，打破了以往竖式教学中简单重复训练、近乎枯燥的僵局，释放并解答了隐藏在学生心中多年的“为什么一定要从高位除起”的疑惑，为学生重构了一个兴趣盎然的学习场域。学生在这个场域中深度感受竖式的本质，重新认识竖式的规则。这个场域一经建立，就会吸附学生学习过程中生成的同质或类同质场域，从而形成一个更大的“群”。这个群达到一定程度就会产生强大的“内卷”功能，促使学生长时间保持对学习的兴趣，感受学习带来的愉悦感和成就感。

综上，“低位除起”的思考，不是对除法竖式规则的打破和反叛，而是通过突围和变通，完成对竖式规则的完善和升级。“反弹琵琶”的实践不是哗众取宠，而是对数学理性思维的执着探寻。

三、教学尝试

基于以上思考，笔者在教学北师大版四年级上册“除法”单元时，对除法竖式能否从低位除起进行了教学尝试。

1.质疑激趣：“除法竖式”呈现“双向可行”

北师大版“除法”单元的“三位数除以两位数的笔算”分为“买玩具”“参观花圃”“秋游”等3个主题情境，分别对应“除数是整十数”“一次试商”“调商”3类笔算除法。“秋游”教学后，笔者出示“试一试”的竖式（图3），与学生交流了笔算除法的注意事项：“从高位除起”“除数是两位数，先看被除数的前两位”“试商”“调商”“检验”等，鼓励学生勇于质疑，于是有了下面的教学片段。

片段1

师：同学们再看看三位数除以两位数的竖式，回忆我们的学习过程，你们有什么问题在脑海中冒出来？

生1：我觉得有时候试商比较麻烦，特别是需要调商的时候。有没有更好的方法？

生2：竖式计算时要从高位除起，这是为什么呢？

生3：是呀！能不能从低位除起呢？（学生哗然）

师：同学们能对习以为常的“除法竖式”计算方式提出自己的质疑和反思，为你们点赞！“从低位除起”，多么奇妙的想法！我们来试试，愿意挑战从低位除起的同学组成一队，其余同学组成一队。（学生跃跃欲试）

鉴于学生被激起的探究欲望，教师出示题目“396÷3”小试牛刀，结果两队学生几乎同时完成（图4）。“哇，可以，可以！”赞叹之声在教室内此起彼伏。

教师请从低位除起的同学讲了算法之后随即提议：“有没有人还想试试从低位除起的？”此时几乎所有学生的积极性都被调动起来。

2.深度探究：“低位除起”经历“柳暗花明”

教师请学生从低位除起试算“秋游”的“试一试”，有的人开始面露难色，有的人算到一半时无从下手。面对着“山重水复疑无路”的困境，反而激发了学生深度探究的欲望。

片段2

師：我们发现很多同学算到一半，开始犹豫不决。谁能来讲讲自己遇到了什么困难？（一生上台，边讲边板演）

生1：624除以13，除数是两位数，我从后两位除起，用24除以13，商1余11。11不够除把6移下来，611除以13商40，所以在十位上写4，这时还余91（如图5）。然后用91除以13商7，可我犹豫7该写在哪里呢？

生2：应该写在个位上呀！

生1：我也知道，可个位上已经有1了嘛！

（生1有些为难，一些学生随声附和。）

生3：那就写在1的上面，那里也是个位！

（生1虽有些犹豫，但还是尝试在1上面写了7）（如图6）。

师：刚才大家的发言都非常有道理。生1在遇到困难时勇于思考、不放弃，终于在大家的帮助下把624分完了。那么624除以13到底等于多少呢？是41？还是7？

生（恍然大悟）：是它们的和！（如图7）

师：通过刚才的交流，你们又有什么想法呢？

生4：我觉得从低位除起是可行的。这道题要求624里面有多少个13，我们可以先看13里面有1个13，再看520里面有40个13，最后算余下的91里面有7个13。用1+40+7就可以得到它的商是48了。

生5：我体会到除法竖式计算就是把被除数不断地平均分。以前觉得商只能写一行，其实写几行无所谓。我在同学的启发下，列了这样的竖式（如图8）。

生6：我认为从低位除起确实可以，但是好像从高位除起更简便些。

经过全班学生的共同努力，貌似无法进行的“低位除起”经历了“柳暗花明”的探究过程。学生通过不断尝试、相互启发、共同合作，再一次印证了除法竖式的“双向可行”。享受到探索之后成功的喜悦，学生的兴致被再一次激发，其数学素养在质疑探究中得到发展。教师趁机让学生相互出题从“低位除起”进行试算，对比“高位除起”的经验，进一步体会除法运算的本质。

3.交流提升：“低位除起”印证“高位除起”

学生经历了“396÷3”的竖式“双向可行”体验、“624÷13”竖式的“低位除起”探究以及学生相互出题对比体悟“低位除起”和“高位除起”的一致性和独特性之后，全班进行讨论交流。

师：同学们，结合这节课的研究经历，你们还有什么想和大家交流呢？

生1：我没有想到除法竖式还可以从低位除起，脑洞大开呀！以后碰到事情一定要从多个角度去想一想。

生2：虽然可以从低位开始除，但是我发现有些题目从两边除难度差不多，大部分题目从高位除起要简便很多！

师：看来，你有深刻的体验。那么大家有没有想过，为什么对于大多数题目而言从高位除起会简便一些呢？

生3：我从低位除起的时候经常会碰到商不知道往哪里写的现象，而且有时候眼看着都算到高位了，又出现返回到低位的现象。这样来回反复，比较麻烦。

生4：没错！我也有同感。我觉得从高位除起的时候，每次分掉得比较多，这样剩下的就比较少，每分一次剩的就少一些，越来越少，越来越好分。然而从低位除起恰恰相反，因为每次分的比较少，剩下的就比较多，再分的时候仍然很麻烦。

师：是呀！除法的本质是减法，除的过程实际就是不断地从被除数中减去除数的过程。每次减去的越多，剩下的就越少，也就越好分了。

生5：我发现从低位除的时候经常要把几次的商加起来才是最后的结果，而从高位除起时，因为一直按顺序写下来就少了相加的那一步。但我觉得如果有同学不能一次商到位，就像从低位除一样，把商分几层来写，最后加起来也是可以的。

师：你们看到了除法竖式的本质！正是因为数太大了，不好口算，我们就把被除数分成若干个小份，然后通过若干次分完罢了。比如624÷13，从高位除起就相当于先算520÷13=40，再算余下的104÷13=8，所以商就是40+8=48；从低位除起相当于把624看作“13＋520+91”，分三次除以13，最终的商就是1+40+7=48。虽然两种方法都可以，但显然从高位除剩下的会迅速减少，还是方便很多！

生6：老师！我们这是在“反弹琵琶”！

师：没错！有时候“反弹琵琶”也未尝不可。今天的“反弹琵琶”让我们更好地认识了除法，也认清了除法竖式从高位除起的奥秘……

参考文献：

［１］ 郜舒竹.笔算方法多样性的历史考察［Ｊ］. 课程·教材·教法，２０１６，３６（０１）：８８－９４.

［２］ 蔡宏圣. 当下整数竖式计算教学：数学史的视角［Ｊ］. 小学教学（数学版），２０２０（０５）：６３－６６.