深度探究学习：提升数学思维的必然途径

金爱民

［摘  要］ 数学学习是提升学生思维品质的关键课程，通过数学课程的学习，学生能够初步具备运用数学眼光观察、分析和解决问题的能力。在数学课堂中教师不仅要传授数学知识，还要让学生在活动中体验学习过程，积累活动经验，实现知识迁移，让学习真正发生。

［关键词］ 深度探究；思维品质；活动体验；迁移运用

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出小学数学学习的重要方式是教师在课堂上积极引导学生在活动中深度探究、合作交流、动手实践，提升思维灵活性，通过教与学的转变，使学生能够主动掌握知识，提升思维品质。教师在教学中要以挑战性的任务为载体，引导学生围绕学习任务进行积极的思考与体验，从而体会知识发展过程，让学习真正发生，这对其长期发展具有重要意义。学生在深度探究中通过运算推理、猜测想象、数据分析等过程，能掌握数学核心知识，体会数学本质，提高学习效率和掌握数学思想方法。笔者以教学实践为例，谈一谈如何引导学生进行深度探究、深度学习，从而让学习真正发生。

一、挖掘教材内涵，创设教学情境

小学生思维活跃，具有较强的求知欲，侧重感性认识，具象思维较强，理性思维相对较弱。因此激发学生的学习兴趣需要教师创设形象的教学情境，让学生在有趣的活动中探究和体验。情境活动的创设要依据课标和教学内容，遵循学生的认知规律特点进行针对性的创设。因此，教师要善于挖掘教材的内涵，充分研究教材，把握教学的起点。

案例1  认识“倍”的概念

情境创设：游戏“找朋友”。由1名学生首先找到好朋友组成一个小组，然后2人一组站在一起。这时班上其他同学还未组队，马上就有学生提出，我要和某某一组，剩下的学生着急要求分组。最后所有学生完成两两分组，变成了2的倍数。当然学生还可以分成其他的份数……学生在活动中自然地理解了“倍”的概念。学生在玩中学、做中玩，探究的兴趣被激发出来，让学习真正发生。

数学知识的学习是相互联系、螺旋上升的，数学教材的编排有内在的知识体系和逻辑建构，教师只有不断挖掘教材内涵，引导学生層层深入地进行学习探究，才能落实教学目标。比如，在小学数学中要学习平面图形面积的计算，一般是先学习平行四边形、三角形的面积计算，然后学习梯形面积的计算。因此学生在学习梯形面积的计算时，已经具备一定的平面图形面积的计算方法。教材中的例题列举了一种推导梯形面积公式的方法，即通过将梯形组合成学生已学习过的平行四边形进行计算，这种方法学生比较容易理解，但是在教学中如果止步于此，是远远不够的。

数学公式的推导一般是由易到难，采用将复杂问题进行转化的方法，从而实现化繁为简。在推导梯形面积计算公式时，既然学生已经有了计算其他平面图形面积的经验，那么教师就可以采用转化的方法实现问题的解决，让学生在推理过程中通过数学活动进一步积累归纳、对比等数学思想。教师还要进行学习任务的优化设计，尝试引导学生通过多种方法解决这一问题，将这一学习任务变成一个开放性的任务，让学生能够充分地讨论、探究和思考。学生在合作学习中充分发挥能动性，能提升思维的创新性，实现数学能力的提升。

二、设计学习任务，引导合作探究

学习任务的优化设计是学生参与体验活动的前提，只有让学生在体验中亲身感受知识的产生过程，才能唤醒学生对知识的探究兴趣。比如，在教学面积的单位时，教师可以充分利用周围的条件进行活动设计。笔者利用学生熟悉的环境设计了一个实践任务：学校打算将教室进行重新装修和粉刷，假设每桶涂料能够粉刷60平方米的面积，请问一共需要购买多少桶涂料才能完成学校所有教室的粉刷？这样的实践任务需要学生进行分组合作设计出最合理的方案。学生充分发挥能动性，分组合作，采用了巧妙的丈量方法，比如利用地面面积和天花板面积进行等式转换，利用长的竹竿测量墙的长度和宽度等。学生在分工合作、相互配合下，很快测量出有效的数据。

因此，只要教师的任务设计合理，给予学生探究的时间和空间，学生学习的动力就会被充分激发出来，在合作探究中激发出新的智慧。

案例2  梯形面积的计算

1. 温故知新，激活已有经验

师：计算平面图形的面积是数学中的一项重要知识，你们会计算哪些图形呢？

生1：我会计算平行四边形的面积和三角形的面积。

师：很好，这些图形的面积公式都是推导出来的，你们还记得是如何推导出来的吗？采用了哪些推导方法呢？

生2：我们使用了转化法。

师：是的，数学学习中有许多常用的思想方法，转化法就是其中之一。那么今天我们将要推导梯形的面积公式，你们能不能从转化法中得到一些启发呢？

2. 观察分析，尝试解决方案

师：同学们，仔细观察黑板上的梯形，想一想我们怎样利用学过的计算图形面积的方法来计算梯形的面积呢？

生3：虽然梯形与我们已经学过的平行四边形和三角形不同，但是我们可以这样进行分割（如图1），就能得出梯形的面积。

生4：我们还可以进行如图2的分割方法，通过分别计算三角形和平行四边形的面积，从而得到梯形的面积。

生5：刚才都是将梯形进行分割，我可以进行增补，在原来的梯形旁边加上1个一样大的倒着放的梯形，这样就拼成了1个平行四边形。通过计算平行四边形的面积，再平均分成2份，其中1份的面积就是原来梯形的面积（如图3）。

师：大家的回答真是太精彩了！刚才我们通过很多方法都能计算出梯形的面积，但是这样计算太麻烦了，不可能每次都这样计算。梯形面积能不能像三角形和平行四边形一样可以直接计算呢？

3. 独立思考，合作交流探究

（1）在思考中尝试探究

任务要求：每个小组用纸裁剪出1个梯形，通过将梯形进行分割、剪裁、拼接的方法计算出梯形的面积，然后通过计算结果推导出面积公式，最后各小组在讨论交流的基础上汇报讨论的过程和成果。

（2）在合作中交流辨析

第一小组：如图4，我们组将2个完全一样的梯形拼接成1个平行四边形，通过观察我们可以发现，平行四边形与梯形同高，平行四边形的底为梯形上下底的和。我们已经知道如何计算平行四边形的面积，由此就可以推导出梯形的面积公式。

第二小组：我们还有另外一种分割的方法，如图5所示，将梯形分割成2个三角形。通过观察可以发现三角形的两条底边就是梯形的上底和下底，那么三角形的面积是底边乘高除以2，利用梯形的上底、下底和高就可以推导出梯形的面积公式。

第三小组：如图6，我们用的是剪拼的方法，即将梯形两条腰的中点连接，沿着这条连接线剪开后将原来的梯形分割成了2个梯形，并将剪下来的2个梯形拼在一起，就变成了1个平行四边形。接下来和第一组推导的方式相同，运用平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式。

第四小组：我们还有另外一种剪拼方法，如图7，沿着梯形两条腰的中点作垂线，并将其剪开，经过旋转可以形成1个新的长方形。观察图片可知已知长方形的长和宽与梯形底和高之间的关系，由此根据三角形的面积公式，可以推导出梯形的面积公式，和上面几组同学的结果是一样的。

师：同学们的方法都很好，那么大家有没有想过这些方法有什么共同点呢？

生6：这些推导方法都是借助我们已知的三角形或者平行四边形的面积公式进行推导的，是一种数学转化思想，而且都是通过拼接或者组合的方式进行转化的。

这时学生学习的热情被点燃了，注意力都集中在课堂上。在相互交流中学生的学习热情高涨，教室里充满了浓厚的学习氛围。学生的思维相互碰撞，产生了新的火花，每个人都在分享中收获了知识，掌握了学习方法。

在这一案例中，学生能够推导出梯形面积公式的主要原因有：一是通过学习平行四边形和三角形面积的计算方法，已经具备了图形面积计算和推导计算公式的基础；二是在教学活动的设计中，教师为学生创设了交流学习的时间和空间，使学生能够在深度探究中激活思维，运用知识解决问题。面对学生的多种解决方法，教师能够及时关注课堂生成，进行引导追问，使学生将习得的知识和方法进一步巩固和升华，形成自己的认识，由此发展自身的思维能力。

三、反思教学过程，让学习真正发生

1. 激发参与热情，在活动体验中学习

深度探究的主体是学生，探究的载体是学习活动。教学活动的设计要尊重学生的主体地位，激发学生的参与热情，使学生在活动过程中获得知识和情感的体验，从而内心产生感悟。要使学习真正发生，学生需要由被动学习转向主动学习，因此教师要落实学生的主体地位，创设学生体验活动的情境，使学生在活动中感受和探究知识发生、发展的过程。在进行梯形面积推导公式教学时，教师要通过开放性的设问和实践操作活动，引导学生积极思考，探究多种解法。在这一探究活动中，教师充分激发了学生学习的自主性，让学生灵活运用知识解决复杂的问题，并自然地渗透了数学转化的思想。学生在活动中体会到面对学习中的障碍和问题时应该怎样寻求解决的方法，在探究过程中体验消除困惑、解决问题以及收获成果的喜悦。

2. 引导深度思考，体会知识迁移与应用

知识的迁移与应用是提高学习的一种重要的能力。知识迁移是对头脑中已有的经验的扩充与提升，知识应用是将头脑中已有的知识进行具体应用的能力。这一过程是学生学习真正发生的体现，在应用中反映知识的迁移。学生在研究梯形面积公式的推导时，已经具备了三角形面积推导的经验，因此将已有的知识经验进行迁移和应用就能推导出新的知识。平面图形的面积计算具有内在的相关性，自主推导计算公式的活动发展了学生思维的深刻性。学生通过拼接、剪裁等方式，主动迁移和应用知识，激发了学习的主动性、积极性、自觉性，逐渐理解数学之美。

3. 合作探究学习，在交流辨析中生成智慧

深度探究的关键环节是交流与辨析，在交流思辨中可以生成新的智慧。学生在活动体验中进行对话沟通，并且通过思考辨析，能够实现深度交流，从而生成智慧的火花。在学习交流的过程中，教师要创设平等和谐的课堂氛围，实现师生之间、生生之间的互动，让学生在轻松的氛围中能够自由发表自己的看法，从而在思想认识上产生共鸣；对于探究中产生的不同意见，教师要引导学生在充分讨论后逐渐形成共识，巩固学生的认识，从而不断提升学生分析、解决问题的能力，增强学生之间的合作精神。在上述推导梯形面积公式的案例中，经过两次小组交流，能激发学生学习的动力，促进学生更加深入地学习。

在学生深度探究学习的过程中，教师要不断优化学习任务，让学生在应对挑战任务时不断丰富体验、收获知识。在教学中教师要充分发挥引导作用，做好教学任务的设计，激发学生的探究兴趣，并将数学课堂学习与实际生活相联系，不断增强学生学习的信心。探究学习可以增强学生知识迁移和运用的能力，提升辨析思维的品质，讓学习真正发生。