类比·构建·素养：初中数学核心概念教学策略与思考

【摘要】概念是数学知识的基础，是数学推理的主要依据，类比则是数学学习的重要思想方法。通过类比视角进行数学核心概念教学，有助于建立新旧知识之间的联系，促进知识和方法的迁移，引导学生转变学习方式，提升学生的核心素养。文章对模型类比、思维类比、结构类比、方法类比等推理的基本操作模式展开论述，旨在进一步提升学生对数学核心概念的理解与应用，帮助学生积累数学活动经验，促进学生逻辑推理能力的形成。

【关键词】初中数学；核心概念；类比迁移；核心素养

作者简介：王慧灵（1975—），女，浙江省杭州市临安区锦城第六初级中学。

数学概念是人脑对客观对象数量关系和空间形式本质属性的数学表达，是数学知识的核心。在数学概念教学中，教师需要提炼核心概念，围绕核心概念提出核心问题，实现知识的系统化教学，促进学生对概念的深层理解［1］。教师可以借助数学知识、数学思维、数学方法以及数学本质等核心概念的相似结构特征，运用类比迁移方法将陌生对象与熟悉对象、未知规律与已知规律相互转化，让学生的认知结构得到迁移，进而发展学生的核心素养能力［2］。

一、类比学习视域下，数学核心概念的学习机制

数学上的类比是指依据两类数学对象的性质相似性、结构关联性等特征，将核心问题B的结论和方法迁移到核心问题A上的一种合情逻辑推理（如图1）。常见的类比教学有模型类比、结构类比、思维类比、方法类比等［3］。

类比视角下的核心概念教学需明确概念的外延和内涵，洞悉两个概念的本质属性，链接核心概念的关键要素及学习结构。在初中数学核心概念教学中，教师要准确选择类比方法，寻找恰当的核心概念B，类比猜想核心概念A，通过核心概念的类比学习提升学生分析问题和解决问题的能力，落实学科综合素养的提升。

二、类比思想引领下，数学核心概念的教学策略

（一）模型类比—搭建认知结构的概念系统

模型类比是引导学生联想对比已学相似的模型问题与新知识是否适用，将相似类型的概念链接成系统的概念域。新概念的掌握模型类比原概念的学习模型，顺应学生认知结构的发展规律，启发学生将前概念与新概念进行联动，形成概念域，优化学生的概念系统和数学认知结构，发展学生的模型观念等核心素养。

比如，初中阶段代数的学习路径是相通的。一元一次方程和一元一次不等式虽然属于不同的数学模型，但在学法思路上有相同的结构。类比方程的研究思路学习不等式，体现了代数式之间内在的逻辑结构。教师通过梳理知识的纵向结构，建构概念知识体系，让学生形成一定的学法思路，通过模型类比的运用，对概念的学习进行深化，从而形成方程与不等式的学法路径。

（二）结构类比—内化建构核心概念知识体系

数学的探究经历从一般到特殊的学习过程。为此，教师可以对核心概念的结构进行类比，借助应用结构的相似性进行类比探究，引导学生将研究的核心概念问题转化为与其应用结构相似的问题，运用结构类比加以学习，以便帮助学生理解核心概念的数学本质，自主形成知识网络体系，从大概念视角整体理解和把握核心概念。

以特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的判定定理为例。教师可以引导学生回顾平行四边形的判定以及这些判定定理与平行四边形的性质的关系。通过思考，学生发现平行四边形的判定由平行四边形的边、角、对角线的性质的逆命题得到。而矩形是一种特殊的平行四边形，类比平行四边形的判定定理可知，矩形的判定定理除了具有平行四边形的性质，还具有矩形特有的性质，因此也可以根据矩形的性质探索其判定定理。教师引导学生运用结构类比思想，对矩形性质的逆命题进行思考：对于边、角、对角线及对称性满足什么条件的四边形是矩形？在整体学习过程中，学生经历了猜想、验证、证明、归纳等活动，理解并掌握了矩形的判定定理。通过类比相似的结构特征，学生也能得出菱形、正方形的判定定理。

学生由平行四边形的研究内容，建构了平行四边形的研究体系，在结构类比思想方法下，把特殊平行四边形的研究融合为整体，深入理解特殊平行四边形核心概念的数学本质的一致性，体会图形变化之间的联系，提高逻辑推理能力。

（三）思维类比—理解核心概念的数学本质

核心概念的教學强调深层理解概念内涵，通过运用类比的思想，沿着相似的研究方向对同类内容进行整体学习，通过相似学习方法和路径的思维生长链揭示概念的数学本质［4］。学生通过运用类比思想，加强对知识的学习次序、知识内容螺旋上升的梯度进阶，从而形成清晰的学习脉络，不断完善自身知识体系的建构，掌握数学概念的本质［5］。

以函数的核心概念的教学为例。教师可以引导学生从函数单元整体建构的角度去学习。如在教学一次函数的章节起始课时，教师可以引导学生从现实情景问题中抽象出数学问题，分析情景问题中两个变量之间的关系，并且用代数式的形式表示两个变量之间的关系，让学生感受到函数的本质特征；接着，教师可以引导学生对函数的概念、表达式、图像及性质进行学习，让学生对函数学习的整个流程有一个清晰的认识，进而为后续的反比例函数、二次函数的学习做好思维类比学习的准备，最终建构整个函数知识的学习框架［6］。

类似于函数中思维类比的学习方式，从方程到不等式、分数到分式的学习，都可以用思维类比的方式进行学习探究。通过类比，教师能从学生的最近发展区出发，引导学生关注新旧知识之间的思维逻辑关系，促进学生发现新知识的生长点和延伸点，有助于学生把握问题的规律、提高数学思维能力，加深对核心概念的理解，进而不断建构知识体系，从而实现思维类比方法的整体迁移。

（四）方法类比—提升核心问题解决实践能力

核心概念的学习离不开运用所学知识进行解题实践。在课堂教学中，教师可以采用梯度题组、改变题设或提问等变式练习来进一步检验学生对所学知识的掌握情况，引导学生运用类比思想方法寻找解题的关键点和突破口，促进学生问题解决能力的提升［7］。

例题：如图2，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD。

（1）请找出图中相等的角和相等的线段；

（2）若把等边△ABD和等边△ACE改成以AB、AC为边分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE（如图3），猜想BE与CD有什么关系？并说明理由；

（3）如图4，要测量池塘兩岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝50米，AC＝AE，求BE的长（结果保留根号）。

第（1）题是一个开放性问题，学生可以直接从已知条件中找出图中相等的角和线段，也可以从等边三角形的性质中得出。有了第（1）题解题方法的铺垫，基础比较薄弱的学生也能运用方法类比思想找出图3中相等的角和相等的线段，从而完成第（2）题的说理。在第（3）题中，学生可以类比第（2）题的图形的结构特征，添加辅助线，用推理论证方法类比得出全等三角形的证明，最后利用全等三角形对应边相等和勾股定理，解决实际问题。

在课堂教学中，教师通过对某个核心问题进行条件的替换或者对新结论的探究等进行改造、整合，让学生通过整体知识体系以及解题方法或思想方法的不变性，类比前面的解题方法，找到生活实际情景问题的解题关键点。这种类比的思想方法能帮助学生实现对知识、技能和思想方法的融会贯通，从而落实数学核心素养培养。

（五）经验类比—丰富核心问题解决基本策略

数学中的动态几何问题，充分体现了数学中变与不变的和谐统一，其特点是因图形中的某个元素（点、线段、角）和某部分几个图形按一定的规律运动变化，而引起其他一些元素的数量、位置关系和图形形状等发生变化。这些元素的数量变化关系在运动变化的过程中相互依存，有一定的规律可循。

例题：如图5，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB。

（1）求证：PD＝PB；

（2）将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处，当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；

（3）探究AQ与OP的数量关系，并说明理由。

（4）迁移探究：如图6，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他条件不变。试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由。

本题以“问题探究—迁移探究”为研究主线，借助问题串引导学生亲身经历发现、探究、解决数学问题的完整学习过程，呈现从问题发现到问题解决，再到拓展应用的思维全过程，有效地考查了数学抽象、几何直观、逻辑推理等核心素养，同时，助力学生进一步积累数学活动经验，促进“做中学”“用中学”的落实。

三、类比方法导向下，数学核心概念的教学启示

数学课堂应注重知识体系的建构和思维能力的培养。教师要灵活处理课堂上生成的问题，及时组织学生讨论、探究；要注重知识的形成过程，遵循学生的思维发展的规律，从学生的生活经验和已有知识背景出发，创设合理的教学情境，激发学生的探究欲望，使学生从单纯地接受知识转变为学习的主人。

（一）寻找经验与数学概念的关联

数学的高度抽象使得一些基本概念和基础知识似乎与现实生活没有多少联系，但学生如果搞清楚了基本概念和知识产生、发展、形成、变化的规律，就能找到这些内容与现实生活的关联。因此，教师需要引导学生了解概念和知识产生、发展、形成、变化的规律，让学生预测概念和知识的未来发展趋势，这不仅有利于激发学生学习兴趣，也有利于培养学生的学习主动性。

（二）构建新旧知识内在逻辑结构

通过类比方法的应用，学生能够找到新知问题与旧知之间的关联点，利用已学知识和经验解决新的问题，构建新旧知识的内在联系，形成对数学知识的整体认识。在类比教学中，教师引导学生明晰学习方法，将新知同化于原有的知识结构中，进一步感受知识的相互联系，有助于学生将所学知识迁移和综合运用。

（三）遵循学习规律，提高思维能力

数学学科具有较强的结构性，教师引导学生以类比学习的方式建立相似概念的知识体系，能够帮助学生构建完整的知识结构。类比方法是数学学习的逻辑思维发展点和有效途径。教师通过类比的方法，将数学的核心概念逐步推广，引导学生探索新概念的学习方式和路径，深化对新知识的理解，促使学主提高解决问题的能力。

（四）从知识到能力，落实核心素养培养

在基于类比思想的核心概念学习中，教师能充分了解学生的学习能力、学习习惯与方式等，精心选择不同的类比学习方式，从而激发学生的学习兴趣，发展学生的数学思维。通过类比学习，学生能够建立新旧知识之间的联系，实现数学知识的迁移和深化，完善前建构与后建构的整体性，进一步发展分析、归纳问题的能力，培养探究精神和创新意识。

结语

在初中数学教学过程中，有许多数学知识、数学思想、数学方法之间都存在内在联系和相似之处。在核心概念的教学过程中，教师要厘清教材结构和知识间的内在联系，有步骤、有计划地将类比思维的培养渗透到初中数学教学中，引导学生根据核心概念的特点感悟数学思想、类比研究内容、明确学习路径、积累研究方法，发展学生的核心素养。

【参考文献】

［1］马云鹏.聚焦核心概念落实核心素养：《义务教育数学课程标准（2022年版）》内容结构化分析［J］. 课程.教材.教法. 2022，42（6）：35-44.

［2］史宁中. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》的修订与核心素养［J］. 教师教育学报， 2022， 9（3）：92-96.

［3］任玲.基于类比思想的教学策略与实践［J］.数学学习与研究，2020（10）：30-31.

［4］徐登峰.指向关键能力发展的数学单元整体教学策略［J］.中国数学教育，2021（7/8）：37-40，44.

［5］朱国防.类比思想在高中数学课堂教学中的应用研究［J］.数学学习与研究，2022（21）：14-16.

［6］江山.初中数学核心概念教学设计研究［J］.中学数学，2022（18）：76-77.

［7］孙永毅.类比思想在高中数学教学中的应用研究［J］.中学数学，2021（5）：91-92.