数学概念教学：遮蔽与澄明

2024-04-09李祎李渺

教育研究与评论 2024年1期

李祎李渺

摘要：就数学而言，概念定义不同于概念本身，也未必能揭示出概念本质。在数学学习中，背会定义并不意味着掌握了概念。因此，在数学教学中，不能把概念教学混同于定义教学，不能用背诵定义代替概念理解，而要处理好数学概念与数学定义的关系，包括处理好过程与结果、内容与形式的关系。

关键词：数学教学；数学概念；数学定义

本文系教育部人文社会科学研究项目“数学深度学习的认知理论分析、测评模型建构与教学实证研究”（编号：22YJA880021）的阶段性研究成果。

数学教学中普遍存在“重解题教学，轻概念教学”的现象，对此，许多学者呼吁重视数学概念教学，并已逐步引起一线教师的重视。但是，深入一线调研不难发现，许多教师把概念教学混同于定义教学，用定义背诵代替概念理解，用定义的外在结果与形式遮蔽概念的内在过程与实质，从而导致学生“学而不会”“会而不懂”。因此，澄明数学概念与数学定义的关系，并在教学中正确地处理两者之间的关系，对于提高数学概念教学的质量至关重要。

一、概念定义不同于概念本身

概念是反映客观事物本质属性的思维产物。所谓本质属性，就是该类事物共有和特有的稳定属性。也可以说，本质属性就是事物变化之中保持不变的属性。数学是研究数量关系和空间形式的科学。因此，数学概念就是从数量关系和空间形式两方面反映和揭示客观事物本质属性的思维产物。

建立一个数学概念，可以极大地压缩和简化语言。比如，定义了“平行四边形”，即可用它来代替“两组对边分别平行的四边形”。因此，数学概念的建立，加快了数学思维的速度，有助于数学思维向纵深发展——其实，数学命题的获得，也具有类似的功能。正如哲学家金岳霖先生所言：“如果不引入任何新概念，只是由原始概念和公理来建立一门理论，尽管在理论上可行，在实际上却是难以想象的麻烦。”^［1］据此也能回答数学教学中一个争论不休的基本问题：是注重掌握知识（包括掌握其实和教材知识没有严格界线的所谓的“二级结论”），还是注重发展思维？这个问题本质上就是孔子说的“学和思”关系的问题。从解决问题（致用）的角度看，知识和思维是相辅相成的（知识是思维得到的结果，思维是知识产生的过程），要辩证地处理掌握知识和发展思维的“度”。

每个概念都有它的内涵和外延，数学概念也不例外。概念的内涵是对概念“质”的描述，往往具有内隐性、抽象性；概念的外延是对概念“量”的刻画，往往具有表象性、直观性。掌握数学概念就要明确其内涵和外延，概念定义就是揭示概念内涵或外延的逻辑方法。揭示数学概念内涵的定义叫内涵式定义，揭示数学概念外延的定义叫外延式定义。因此，数学定义不同于数学概念，数学定义是借助文字语言或符号语言对数学概念的质或量的外在表达。

对数学概念下定义采用的基本方式是“种差+属概念”，即把某一概念包含在它的属概念中，并揭示它与同一属概念下其他种概念之间的差别。比如，以四边形为属概念，可以分别对平行四边形和梯形下定义。但是，同一数学概念，可以有不同的定义方式。比如，平行四边形既可以定义为“两组对边分别平行的四边形”，也可以定义为“一组对边平行且相等的四边形”。

需要说明的是，“种差+属概念”并非对数学概念下定义的最好方式。比如，实数是有理数的“属”，有理数是整数的“属”，整数是自然数的“属”。若按照这种方式定义，应该先定义实数，再定义自然数，即自然数是“用以计量事物的件数或表示事物的次序的实数”。但这不仅与数的发展历史相背，也不符合学生的认知规律。

正因为此，教材中的不少数学概念最初都没有严格的定义，只是通过描述性方法让学生认识概念的特征，把握其内涵所揭示的实质或外延所涉及的范围。随着学生知识的丰富和能力的提升，有些数学概念才逐步给出严格的定义。所以，对数学概念下定义，要综合考虑学科上的逻辑要求和学习中的认知规律，处理好“逻辑序”“历史序”和“认知序”，对不同阶段的学生采用不同的定义方法，通过循序渐进的方式让学生逐步完善对数学概念的认识。

二、概念定义未必能揭示出概念本质

首先，必须明确的是，数学中并非每一个概念都可以给出明确、严谨的定义。美国学者赫尔斯将概念分为易下定义的概念（welldefined）与难下定义的概念（illdefined）。^［2］易下定义的概念是本质性特征明显，易用某种方式揭示出其特征的概念；难下定义的概念是本质性特征不明显，不易用某种方式揭示出其特征的概念。数学中的原始概念，如点、直线、平面等，便是难下定义的概念，只能用描述性语言对其进行刻画。有些数学概念可以给出严格的定义，如面积、体积等的公理化定义，但考虑到学生的可接受性，在中小学教材中并未给出严格的定义，只是给出一些解释性说明或描述性刻画，如将面积概念描述为“物体的表面或围成的图形的表面的大小”等。

其次，即使是可以下定义的数学概念，概念的定义也未必能反映出概念包含的全部本质属性。这是因为，一方面，有些数学概念的定义采用的是外延式定义法，仅根据定义难以把握概念的本质。比如，实数的定义“把有理数和无理数统称为实数”便属于这种情况。另一方面，数学概念的本质属性往往不是单一的，对其下定义时，只能给出其最显著、最基本的本质属性，其他本质属性要通过推理才能获得。比如，“对边相等”也是平行四边形的本质属性，但这一属性并未在其定义“两组对边分别平行的四边形”中直接显现。此外，有些数学概念本质的把握，还必须结合知识产生的实际问题背景，仅依靠定义分析是不够的。比如，完全依靠定义“在一个特定的随机试验中，称每一个可能出现的结果为一个基本事件”，就难以获得对“基本事件是绝对的还是相对的”的认识。^［3］

最后，数学概念的定义具有人为性，定义方式不当则难以反映出概念的本质属性。比如，在小学，通常是这样定义“角”的概念的：具有公共端点的两条射线组成的图形叫作角。这里把“角”定义为一种图形，未能反映出角的本质。角的本质并非体现在可见的“图形”上，而是体现在不可见的“张口大小”上。而且“射线”也并非体现角的本质的关键属性，“线段”未尝不可。因此，对“角”的定义要进行优化改进。比如，可以改进为“从一个顶点出发的两条射线或线段所张开的口的大小”。史宁中教授曾指出，角的大小是由角所对应的单位圆的弦长或弧长决定的，我们画角时所标记的小弧线，可以理解为具有单位圆的弧长的特质，它旨在揭示角是由具有公共端点的两条线所夹的部分决定的。^［4］这一解释借助“长度”来刻画“角度”，揭示了这两个几何量的内在联系，深刻反映了角的本质，颇具新意。又如，小学教材中“比”的概念有这样的定义：我们把两个数相除又叫作两个数的比。显然，这一定义经不起推敲，学生很容易质疑：既然两个数相除就是这两个数的比，为何还要多此一举，引出比的概念呢？因此，将“比”定义为除法运算，未能揭示出“比”的本质。其实，“比”的产生源于度量的需要。生活中，有些量是可以直接度量的，如长度、角度、面积、体积、质量等；但有些量却难以直接度量，如形状、浓度、速度、价格等。“比”就是通过比值对难以直接度量的量进行度量而建立起来的一个概念，具体又分为同类量之比（如形状、浓度）和异类量之比（如速度、价格）。为了揭示“比”概念的本质，台湾数学教材中引入了“对等关系”，认为“比是两个量的对等关系”。所谓“对等关系”，是指两个数量之间由于某种原因而产生的一种配对关系。这种关系可以分为“组合关系”“母子关系”“交换关系”“密度关系”等。而为了方便比较和运算，将对等关系量化后的结果称为“比值”。这里的对等关系及其量化的過程，本质上就是度量的过程。

三、背会定义并不意味着掌握了概念

正因为概念定义未必能揭示出概念本质，也就导致背会定义并不意味着掌握了概念。然而，这只是问题的一方面。更重要的是，即使概念定义能反映出概念本质，数学定义也仅是通过语言对数学概念的形式表达。虽然概念本质的揭示离不开语言形式的表达，但是仅靠语言进行说文解字、记忆背诵是不够的。因为作为概念外壳的语言无法自动显现概念的意义，无法自动呈现概念的本质；概念的意义和本质只能通过思维来理解和建构。

目前，在中小学数学教学中，特别是在低年级教学中，教师过分倚重定义的叙述，只注重揭示概念的外部特征，将教学重点简化为关键词的记忆，让学生齐声朗读和背诵定义的现象屡见不鲜。

例如，初中数学教材普遍将方程定义为“含有未知数的等式”，但这一干巴巴的定义并没有反映出方程的本原思想。比如，据此定义，x=0应认定为方程，但很显然，它并不具有方程的本原意义——方程的本意是为了求出未知数。又如，据此定义，2x－x=x也应认定为方程，但很显然，该式作为一个恒等式，反映的是一种数学运算，这里的“=”与方程中的“=”，意义已完全不同。还有的教材对“方程”采用了其他定义方式，如“方程是具有等式的开语句”“方程是求指定字母的值，使已给等式成立的问题”等。然而，无论采用何种定义方式，在张奠宙先生看来，“教师在方程定义的黑体字上大做文章，反复举例，咬文嚼字地学习，朗朗上口地背诵，没有实质性的意义。绝对没有学生因为背不出这句话而学不会方程的。”^［5］事实上，在学习方程的过程中，学生能否记住方程的定义并不重要，关键还在于理解引入方程概念的意义，学会如何列方程和解方程。因此，掌握数学概念的本质，既需要静态分析其定义形式，更需要在产生、发展等活动中揭示其内涵。不介绍数学概念产生的背景、意义，仅字斟句酌地分析概念要素、咬文嚼字地告知注意事项，偏重让学生记忆概念外部形式的方式，往往不能使学生对概念产生实质性理解。

要能够运用导数概念成功解决某些实际问题或非良构型问题，必须理解导数概念产生的背景和意义、解决问题的思路和方法。即要解决“某一点”的问题（瞬时变化率），但停留在“这一点”无法求出，因此对“这一点”进行否定（给增量），否定的结果是得到“另一点”，并由此得到一个小区间；在这个区间上先求出近似值（平均变化率），再对“另一点”进行否定（令增量趋于0），由此把平均变化率转化为瞬时变化率。经过两次辩证否定，原问题成功得以解决。无论是求切线斜率还是求瞬时速度，都不难发现，需要解决的问题类型相同，解决问题的思路和方法相同，得到的数学模型结构相同。由此，抽象概括出导数概念。事实上，只有在数学活动中，以过程体验取代形式记忆，以内涵理解取代语言分析，才能真正避免“会而不懂”的现象。

在该定义中，什么是“稳定”？“稳定”是否意味着“随着试验次数的增加，频率越来越接近概率”？是否意味着“频率的极限就是概率”？单靠定义很难作出判断和回答。事实上，依据大学概率统计知识可知，“稳定”并非说频率的极限就是概率，而是频率依某种收敛意义趋于概率，即满足大数定律。大数定律表明，随机试验次数n越大，频率与概率发生较大偏差的可能性越小，但仍然有可能发生。概率的统计定义，反映了随机事件发生频率的随机性和规律性特点。对这一特点的深刻理解，仅靠概念的文字表征和定义记忆显然是不够的。

四、概念教学需要处理好过程与结果的关系

“一个定义，几项注意”，过分重视定义的文字叙述，对定义咬文嚼字、字斟句酌，忽视概念建立的背景和意义，有意无意缩减思维过程，用结果分析代替过程领悟，这样的数学概念教学往往会导致“食而不化”的现象，是低质量的。数学概念是人们对事物的数形特征认识到一定阶段的思维产物，数学概念的定义体现了人们对此认识的结果，理解数学概念还离不开对其认识过程的把握。

首先，要让学生了解数学概念产生的背景和意义，体会数学概念的来龙去脉，掌握数学概念所涉及的前后知识之间的内在联系。比如，初中阶段，锐角三角函数的概念是教学难点之一，主要表现在：之前研究的都是三角形中角或边之间的直接关系，而这里研究的是角与边之间的间接关系；之前研究的都是三角形中角或边之间的大小关系，而这里反映的是角与边的比值之间的一种对应关系。在课堂观察中我们发现，许多教师不讲解概念产生的背景、过程，只是让学生记住概念的形式定义，致使学生无法真正理解概念的本质，教学难点也未能得到有效突破。其实，对锐角三角函数概念的探究，应从三角形相似讲起。即由两个三角形相似，得到对应边成比例，发现比值是不变量；再让一个角固定下来（如取直角），研究其中一个角与边的比值之间的关系，这时发现它们之间存在某种对应关系：角一旦确定，边的比值也唯一确定，而且可以具体地求出来（如取特殊角）；边的比值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关。只有像这样在知识的前后联系中学习概念，才能真正克服对概念定义的机械记忆，有效促进对概念内涵的实质性理解。

其次，要让学生经历从具体概念到定义性概念的发展过程。著名教育心理学家加涅把概念分为具体概念和定义性概念。所谓具体概念，是指其关键特征通过对概念例证的观察而获得的概念；所谓定义性概念，是指通过下定义的方式来习得的概念。^［6］然而，对一个具体的数学概念而言，两者往往并不是非此即彼的关系，而是先通过对例证的观察形成具体概念，再通过下定义得到定义性概念。因此，让学生经历数学概念的生成过程的重要含义之一，就是让学生经历从具体概念到定义性概念的思维建构过程。比如，对函数单调性的概念，初中通过对函数图像的观察和感知，获得函数图像上升或下降的直观特征，并用定性的文字语言描述这种特征（如“x增大时，y随之增大”），这时学生掌握的是关于单调性的具体概念；高中则在此基础上，通过符号语言的定量刻画，给出单调性的严格定义，这里要求学生掌握的便是关于单调性的定义性概念。高中阶段的教学中，不仅要让学生明白单调性特征符号化的意义，还要让学生经历图像特征符号化的过程，不能直白地分析或记忆单调性概念的形式定义。从具体概念到定义性概念，体现了数学概念发展的认识论特征，揭示了数学概念学习的认知规律。但在课堂观察中我们发现，在从函数图像特征的描述向形式化的符号表示转化的过程中，教学的过程性特征还体现得不够充分，许多教师把教学重心放在细枝末节的强调、解题程序的归纳和证明技巧的訓练上。这是极为不妥的。

最后，要让学生认识到数学概念是过程与结果的辩证统一。美国学者杜宾斯基等创立了数学概念学习的APOS理论模型，认为学生学习数学概念要经历活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）和图式（Schema）四个阶段。^［7］“活动”和“过程”阶段体现了概念的过程性特征，而“对象”阶段就是对过程的内化和压缩，通过赋予形式化的定义及符号，使其成为思维中的具体对象，在以后的学习中以此为对象进行新的活动。就这一意义而言，任何数学概念都是过程和结果的统一体。比如，对于函数的概念，从过程来看，它表示从自变量到因变量的一种对应过程，即f：x→y；从结果来看，作为一个数学对象，它可以直接参与数学运算，如f（x）+g（x）等。又如，对于对数的概念，从过程来看，对数log_ab是在a^N=b中求指数N的一种运算，通过运算可以求得结果，如log₂8=3；从结果来看，对数logab本身就是一个实数，可以作为操作对象直接参与运算。因此，在某课堂小结环节，面对教师“对数是什么”的提问，有的学生回答“对数是一个数”，有的学生回答“对数是一种运算”。这看似截然不同的两种回答，其实揭示了对数概念是过程与结果的辩证统一的特征。这里，“唯结果”或“唯过程”的回答都是形而上学的、错误的，其根源正如马克思所言：“在看出有差别的地方看不见统一。”^［8］

五、概念教学需要处理好内容与形式的关系

内容与形式是辩证法的一对基本范畴。内容是事物内在诸要素的总和，形式是这些内在诸要素的表现形式。^［9］任何事物既有内容，也有形式；内容决定形式，形式服务于内容。对于数学概念而言，其名称、定义等语言是其外壳，反映了其形式；这些语言所表达的意义才揭示了其实质，反映了其内容。数学概念的学习和掌握，需要从以下几个方面处理好内容与形式之间的关系：

首先，对于数学概念而言，并非其形式定义越严谨、越精确，越有利于把握其内容实质，还必须考虑到学生的可接受性。比如，基本初等函数的严格定义是采用公理化方法的，但这样的定义对中学生而言，显然是不合适的。特别是抽象程度较高的数学概念，学生接受起来比较困难。这时，为了更好地帮助学生掌握概念的实质，需要适度淡化概念的形式定义。比如，为了让学生理解导数和定积分的本質，避免极限概念成为学生认识的“拦路虎”，高中数学教材对这两个概念的定义采取了非严格的处理，即舍弃严谨的εδ语言，用“趋近于”“无限变小”等通俗易懂的语词对变化过程进行描述。这有利于学生把更多精力放在理解导数和定积分的本质上，正是新课程理念所主张的“注意适度形式化，即允许适度非形式化，以强调本质”理念的体现。

其次，要避免对概念定义中的非实质性内容进行纠缠。早在30多年前，陈重穆教授和宋乃庆教授就曾指出，中小学数学教师在教学中，在形式上和细微处孜孜以求，出现了形式和烦琐的倾向，冲淡了实质，不利于学生能力的培养。^［10］然而时至今日，仍有人尚未深刻领会这一理念，喜欢在一些无关大体的细枝末节上纠缠，没有把有限的时间和精力真正用在刀刃上。比如，教学轴对称概念后，抓住定义中“对称轴为直线”这一非本质内容进行辨析和训练，如让学生判断“圆的直径是圆的对称轴”这句话是否正确等。其实，轴对称的本质是“对折后两边能完全重合”，至于对折时沿着的是线段还是直线，无关紧要。又如，前文提到的角的概念，有些教师在教学中强调角的两边必须为射线。显然，“射线”并非角的本质属性。若将这一定义当成“真理”来较真，甚至可以得出三角形的三个角不能称作角的荒谬结论（因为三角形的边是线段）。同样的道理，要尽量避免对涉及形式与实质的问题进行争辩。

最后，要防止用概念的具体形式记忆来代替概念实质性理解。心理学研究表明，数学概念的心理表征在多数情况下并非相应的形式定义，而是由多种成分组成的复合物，其中包括丰富的、鲜活的各种概念意象。^［11］特别是面向中小学生的教材，考虑到学生的可接受性，对一些数学概念并未给出严格定义，只是通过具体事例或现象给出了描述性定义，这样就容易出现概念教学不到位的现象，即用个体的概念意象来代替对概念本质的理解。比如，对前文提到的基本事件概念（即基本事件是相对的还是绝对的），教材先举例，再给出描述性定义。但若学生的理解一直停留在“掷一枚硬币或骰子”的认识，当遇到“连续掷两枚骰子，求向上的点数之和为偶数的概率”的问题时，对能否把“（奇，偶），（奇，奇），（偶，奇），（偶，偶）”当成基本事件，就会存在理解障碍。因此在教学中，要注重概念意象与概念本质的有机整合，切勿用概念的具体形式来代替对概念实质的理解。实际上，概念意象的形成只有建立在对概念本质的正确理解上才会更可靠，概念本质的把握是因为有了概念意象的支撑而变得更加丰满。

参考文献：

［1］金岳霖.形式逻辑［M］.北京：人民出版社，1979：41-58.

［2］陈琦，刘儒德.当代教育心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，1998：141.

［3］李祎.刍议教师理解数学的几个维度［J］.数学通报，2014（6）：6-10.

［4］史宁中.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题［M］.北京：高等教育出版社，2013：56-57.

［5］张奠宙.关于数学知识的教育形态［J］.数学通报，2001（4）：2.

［6］ R.M.加涅，W.W.韦杰，K.C.戈勒斯，等.教学设计原理（第五版修订本）［M］.皮连生，王小明，庞维国，等译.上海：华东师范大学出版社，2018：46-80.

［7］ S.Lerman.Encyclopedia of Mathematics Education［M］.Dordrecht：Springer Netherlands，2014：56-58.

［8］中共中央马克思恩格斯列宁斯大林著作编译局.马克思恩格斯选集（第一卷）［M］.北京：人民出版社，1995：172.

［9］王鹏令.内容是事物的内在要素与内部形式的统一［J］.国内哲学动态，1982（10）：17-20.

［10］陈重穆，宋乃庆.淡化形式，注重实质——兼论《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》［J］.数学教育学报，1993（2）：4-9.

［11］王秀明，王家铧，李忠海.寓“ 理解”于数学概念［J］.数学教育学报，2005（2）：26-28.